人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换同步达标检测题

课时跟踪检测（四十四）

 二倍角的正弦、余弦、正切公式

层级(一)　“四基”落实练

1．若tan α＝2，则等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.  D．1

解析：选C　因为tan α＝2，

所以＝＝＝＝.

2．已知α∈(0，π)，且2cos 2α＝cos α＋cos2 α，则sin α等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由2cos 2α＝cos α＋cos2α，可得2(2cos2α－1)＝cos α＋cos2α，整理可得：3cos2α－cos α－2＝0，

解得cos α＝－或1，因为α∈(0，π)，

所以cos α＝－，可得sin α＝＝.

3．(多选)下列选项中，与sin的值互为相反数的是(　　)

A．2cos215°

B．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°

C．2sin 15°sin 75°

D.

解析：选BC　∵sin＝sin＝－，

2cos215°＝2×＝1＋cos 30°＝1＋；

cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝；

2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；

＝tan 45°＝1，

∴与sin的值互为相反数的是B、C.

4．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于(　　)

A．－  B．－

C.   D.

解析：选A　由sin α＋cos α＝，

平方得1＋2sin αcos α＝，

∴2sin αcos α＝－.

∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝.

∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.

∴cos α－sin α＝－，

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－.

5．已知cos＝，则sin等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选D　因为cos＝，则sin＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.

6．化简：＝________.

解析：原式＝＝－

＝＝－1.

答案：－1

7．化简：＝________.

解析：＝＝＝＝.

答案：

8．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．

解：∵cos x＝，x∈，

∴sin x＝－＝－，

∴sin 2x＝2sin xcos x＝－，

∴cos＋sin2x

＝＋

＝－sin 2x＝－×＝.

层级(二)　能力提升练

1．已知tan 2α＝－2，且满足＜α＜，则的值为(　　)

A.  B．－

C．－3＋2  D．3－2

解析：选C　已知tan 2α＝－2，且满足＜α＜，

则tan 2α＝＝－2，解得tan α＝，

所以＝＝＝－3＋2.

2．化简：tan 70°cos 10°·(tan 20°－1)的结果是________．

解析：原式＝·cos 10°

＝cos 10°－cos 10°·

＝cos 10°－＝

＝

＝＝－1.

答案：－1

3．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x＋cos x取得最大值，则tan＝________.

解析：f(x)＝sin x＋cos x＝2sin.

∵当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，

∴θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z，

∴tan＝tan＝tan＝＝2＋.

答案：2＋

4．已知函数f(x)＝sin2－sin2＋cos 2x，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的值域．

解：f(x)＝sin2－sin2＋cos 2x

＝－＋cos 2x

＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.

(1)f(x)的最小正周期为＝π.

(2)由x∈，得2x＋∈，

∴－≤sin≤1，

∴f(x)∈[－1,2]．

即f(x)在区间上的值域为[－1,2]．

5．已知α为锐角且tan＝3.

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

解：(1)因为tan＝3，所以＝3，

即＝3，解得tan α＝.

(2)

＝

＝

＝＝cos α＋sin α.

因为α为锐角且tan α＝，所以cos α＝2sin α.

由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，

所以sin α＝，cos α＝，

可得cos α＋sin α＝.即原式＝.

层级(三)　素养培优练

1.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　由题意可知小正方形的边长为1，直角三角形两直角边长度差为1，大正方形的面积为25，边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长，设直角三角形的直角边分别为a，b且a<b，则b＝a＋1，所以a2＋b2＝(a＋1)2＋a2＝25，得a2＋a－12＝0，所以a＝3或a＝－4(舍去)，所以b＝4，所以sin θ＝，cos θ＝，sin 2θ＝2sin θcos θ＝.故选D.

2．从①cos，②sin2这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

已知函数f(x)＝g(x)h(x)，其中g(x)＝2sin x，h(x)＝________.

(1)写出函数f(x)的一个周期(不用说明理由)；

(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．

解：选①，(1)因为f(x)＝2sin xcos

＝2sin x(cos x－sin x)

＝2sin xcos x－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x－1

＝sin－1，

故函数的周期T＝π.

(2)因为x∈，所以2x＋∈.

当2x＋＝－，即x＝－时，函数取得最小值－2，

当2x＋＝，即x＝时，函数取得最大值－1.

选②，(1)f(x)＝2sin xsin2

＝sin x

＝－(sin2x－sin x)，

故函数的一个周期T＝2π.

(2)由x∈，可得sin x∈，

当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，

当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最小值－1－.