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高中数学5.4 三角函数的图象与性质同步达标检测题
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这是一份高中数学5.4 三角函数的图象与性质同步达标检测题,共6页。
课时跟踪检测(四十) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值层级(一) “四基”落实练1.下列关系式中正确的是( )A.sin 11°<cos 10°<sin 168°B.sin 168°<sin 11°<cos 10°C.sin 11°<sin 168°<cos 10°D.sin 168°<cos 10°<sin 11°解析:选C 由诱导公式,得cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,由正弦函数y=sin x在0°≤x≤90°上是单调递增的,所以sin 11°<sin 12°<sin 80°,即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.2.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间上单调递增的是( )A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|解析:选A 作出函数f(x)=|cos 2x|的图象如图所示.由图象可知f(x)=|cos 2x|的周期为,在区间上单调递增.同理可得f(x)=|sin 2x|的周期为,在区间上单调递减,f(x)=cos|x|的周期为2π.f(x)=sin|x|不是周期函数,故选A.3.(多选)已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数解析:选ABC f(x)=-cos x,其图象关于y轴对称,是偶函数,所以D错误,A、B、C正确.4.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin有( )A.最大值1,最小值-1 B.最大值1,最小值-C.最大值2,最小值-2 D.最大值2,最小值-1解析:选D 因为-≤x≤,所以-≤x+≤,所以-≤sin≤1,所以-1≤f(x)≤2.5.(多选)已知函数f(x)=2sin,下列说法正确的是( )A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为2C.f(x)在区间上为减函数D.为f(x)的一个零点解析:选ABCD f(x)的最小正周期为2π,故A正确;当sin=1时,f(x)的最大值为2,故B正确;因为x∈,所以x+∈⊆,所以f(x)在区间上为减函数,故C正确;f=2sin=2sin π=0,所以为f(x)的一个零点,故D正确.6.函数y=sin(x∈[0,π])的单调递增区间为________.解析:y=-sin,∵x∈[0,π],∴-≤x-≤.要求函数的单调递增区间,则≤x-≤,即≤x≤π.∴y=sin(x∈[0,π])的单调递增区间为.答案:7.已知函数y=sin在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值是________.解析:因为T==6.所以在[0,+∞)第一次出现最大值x==,第二次出现最大值x=,所以t≥.又因为t∈Z,所以t的最小值为8.答案:88.求下列函数的值域.(1)y=5sin x-1;(2)y=2sin,x∈;(3)y=2cos+1,x∈.解:(1)因为-1≤sin x≤1,所以-5≤5sin x≤5,所以-6≤5sin x-1≤4,即函数的值域为[-6,4].(2)因为x∈,所以2x-∈.此时-1≤sin≤,所以-2≤2sin≤.故所求函数的值域为[-2,].(3)令u=3x-,因为x∈,所以u∈,因为y=cos u在u∈,上单调递增,在(0,π)上单调递减,所以-1≤cos≤1,所以-1≤2cos+1≤3,即函数的值域为[-1,3]. 层级(二) 能力提升练1.函数y=3sin(x∈[0,π])的单调递增区间是( )A. B.C. D.解析:选A 函数y=3sin=-3sin,令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,求得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,可得函数的单调递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z,再根据x∈[0,π],可得函数的单调递增区间为.2.函数y=3cos2x-4cos x+1,x∈的最小值是( )A.- B.C.0 D.-解析:选D 令t=cos x,x∈,∴t∈,y=3t2-4t+1=32-.∵y=32-在t∈上单调递减,∴当t=,即x=时,ymin=3×2-4×+1=-.3.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.解析:依题意得≥⇒T≥π,又ω>0,所以≥π⇒0<ω≤2.由<x<π得+<ωx+<ωπ+,由f(x)在上单调递减得⇒≤ω≤.答案:4.设函数f(x)=sin,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.解:(1)最小正周期T==π,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)令t=2x-,则由≤x≤可得0≤t≤,∴当t=,即x=时,f(x)min=×=-1;当t=,即x=时,f(x)max=×1=.5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上是增函数,α,β是锐角三角形的两个内角,试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系.解:由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.因为函数f(x)是偶函数且在[-4,-3]上是增函数,所以函数f(x)在[0,1]上是增函数.又α,β是锐角三角形的两个内角,则有α+β>,即>α>-β>0,因为y=sin x在上为增函数,所以sin α>sin=cos β,且sin α∈[0,1],cos β∈[0,1],所以f(sin α)>f(cos β). 层级(三) 素养培优练1.(多选)若f(x)=3sin(2x+φ)+a,对任意实数x都有f=f,且f=-4.则实数a的值等于( )A.-1 B.-7C.1 D.7解析:选AB 因为对任意实数x都有f=f,所以直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.当x=时,f(x)取得最大值或最小值.所以f=3+a或-3+a.由3+a=-4得a=-7;由-3+a=-4得a=-1.2.已知f(x)=-2asin+2a+b,x∈,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解:∵≤x≤,∴≤2x+≤,∴-1≤sin≤.假设存在有理数a,b,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1},则当a>0时,解得(不合题意,舍去);当a=0时,f(x)=b(不合题意,舍去);当a<0时,解得故a=-1,b=1时,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1}.
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