全册综合验收评价

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册全册综合同步测试题，共10页。
全册综合验收评价 (时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设全集U＝{x∈N|x≤5}，A＝{x∈N|log2x＜2}，则∁UA等于(　　)A．{0,4,5}　　　　　　　　　 B．{4,5}C．{5}   D．{x|4≤x≤5}解析：选A　∵A＝{x∈N|log2x＜2}＝{1,2,3}，全集U＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁UA＝{0,4,5}．2．不等式≤1成立的一个必要不充分条件是(　　)A．－2＜x＜1  B．－2≤x＜1C．－2≤x≤1  D．x＜－2解析：选C　∵≤1，∴≤0，解得－2≤x＜1.∴不等式≤1成立的一个必要不充分条件是－2≤x≤1.3．已知P(－1，t)在角α终边上，若sin α＝，则t的值为(　　)A.  B．－2C．2  D．±2解析：选C　∵P(－1，t)在角α终边上，sin α＝，∴＝，解得t＝2.4．若关于x的不等式x2＋ax－b＜0(a，b为常数)的解集为(－2,1)，则不等式bx2＋ax－3＞0的解集是(　　)A.∪(1，＋∞)  B．C．(－∞，－1)∪  D．解析：选A　∵关于x的不等式x2＋ax－b＜0(a，b为常数)的解集为(－2,1)，∴解得a＝1，b＝2，∴所求不等式bx2＋ax－3＞0即为2x2＋x－3＞0，解得x＜－或x＞1，∴不等式bx2＋ax－3＞0的解集是∪(1，＋∞)．5．设函数f(x)＝tan，若a＝f(log32)，b＝，c＝f(20.2)，则(　　)A．a＜b＜c  B．b＜c＜aC．c＜a＜b  D．b＜a＜c解析：选D　∵f(x)在(0，π)上单调递增，log32＝，log＝，且log25＞log23＞1，∴0＜＜＜1，∴0＜log＜log32＜1.又1＜20.2＜2，∴0＜log＜log32＜20.2＜π，∴b＜a＜c.6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若f＝0，则不等式f(2x－1)＜0的解集为(　　)A.　　　　　 B．C.  D．∪解析：选A　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴若f＝0，则不等式f(2x－1)＜0等价为f(|2x－1|)＜f，即|2x－1|＜，即－＜2x－1＜，得＜x＜，即不等式的解集为.7．在△ABC中，若sin A＋cos A＝，则tan A的值为(　　)A．±  B．C．3  D．－3解析：选D　由题意可知，A∈(0，π)，由sin A＋cos A＝，①两边平方可得1＋2sin Acos A＝，则2sin Acos A＝－＜0.∴sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＝＝，②联立①②可得sin A＝，cos A＝－.∴tan A＝＝－3.8．若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)A．7  B．8C．9  D．10解析：选C　根据题意，x∈，则1－4x＞0，则＋＝＋＝[4x＋(1－4x)]＝5＋＋≥5＋2× ＝9，当且仅当1－4x＝2x，即x＝时等号成立，则＋的最小值为9，若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，即不等式＋≥m恒成立，必有m≤9恒成立，故实数m的最大值为9.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知函数f(x)＝则下列结论中正确的是(　　)A．f(－2)＝4  B．若f(m)＝9，则m＝±3C．f(x)是偶函数  D．f(x)在R上单调递减解析：选AD　由于－2<0，所以f(－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；由f(m)＝9>0知m≤0，且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；由f(x)的图象(图略)可知f(x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误，D选项正确．综上，正确的结论是A、D.10．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)A．ab＋bc＝2ac  B．ab＋bc＝acC.＝＋  D．＝－解析：选AD　依题意设4a＝6b＝9c＝k，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，对于A，ab＋bc＝2ac，即＋＝2，因为＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；对于C，＋＝＋＝2logk4＋logk6＝logk96≠＝2logk9＝logk81，故C错误；对于D，－＝2logk6－logk4＝logk＝logk9＝，故D正确．11．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f( x)＝sin(2x＋φ)(　　)A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增解析：选BD　函数f(x)图象向左平移个单位长度后的解析式为f(x)＝sin＝sin，由题得f(0)＝sin＝1，解得φ＝－，所以f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，即为函数f(x)的单调增区间；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，即为函数f(x)的单调减区间．所以当k＝0时，x∈时单调递增，B符合；当k＝－1时，x∈时单调递增，D符合．12．关于函数f(x)＝sin 2x＋sin x＋cos x，以下说法中正确的是(　　)A．最小正周期为2π  B．最小值为－C．在区间单调递增  D．关于x＝对称解析：选ABD　∵f(x＋2π)＝sin[2(x＋2π)]＋sin(x＋2π)＋cos(x＋2π)＝sin 2x＋sin x＋cos x＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期为2π，故A正确；设t＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，∴t2＝(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x，∴sin 2x＝t2－1，∴y＝sin 2x＋sin x＋cos x＝t2－1＋t＝t2＋t－1＝2－，t∈[－，]，∴当t＝－时，函数取得最小值－，故B正确；由B可知C错误；∵f＝sin＋sin＋cos＝sin(π－2x)＋cos x＋sin x＝sin 2x＋sin x＋cos x＝f(x)，∴函数关于x＝对称，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知x＞0，则的最大值为________．解析：因为＝， 又x>0时，x＋≥2 ＝4, 当且仅当x＝， 即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为.答案：14.的值为________．解析：＝＝＝＝－1.答案：－115．设函数f(x)＝那么函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．解析：当x≤0时，f(f(x))＝f(2x)＝log22x＝x；当0<x≤1时，f(f(x))＝f(log2x)＝2log2x＝x；当x>1时，f(f(x))＝f(log2x)＝log2(log2x)．所以由f(f(x))＝1得x＝1或x＝4，即函数有两个零点．答案：216．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ).(1)函数f(x)的最小正周期为________；(2)若函数f(x)在区间上有且只有三个零点，则φ的值是________．解析：(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝＝π.(2)由x∈，可得2x＋φ∈，根据函数f(x)在区间上有且只有三个零点，可得解得所以φ＝－.答案：(1)π　(2)－四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)U＝R，非空集合A＝{x|x2－5x＋6＜0}，集合B＝{x|(x－a)(x－a2－2)＜0}．(1)a＝时，求(∁UB)∩A.(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)x2－5x＋6＜0，解得2＜x＜3.∴A＝(2,3)．∵a2＋2＞a，∴集合B＝{x|(x－a)(x－a2－2)＜0}＝(a，a2＋2)．a＝时，B＝.∴∁UB＝∪.∴(∁UB)∩A＝.(2)若x∈B是x∈A的必要条件，则解得a≤－1或1≤a≤2.∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．18．(12分)设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.(1)求f(3)的值；(2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数；并由此求出函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值．解：(1)∵f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9，∴f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.(2)令t＝log3x，则－2≤t≤2，且f(x)＝(log3x＋2)(1＋log3x)＝t2＋3t＋2，令g(t)＝t2＋3t＋2＝2－，故当t＝－时，函数g(t)即f(x)取得最小值为－，此时求得x＝3－＝；当t＝2时，函数g(t)即f(x)取得最大值为12，此时求得x＝9.19．(12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋2cos2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若f(x)在区间上的最小值为1，求m的最小值．解：(1)因为f(x)＝(1－cos 2x)＋＝－cos 2x＋＋2，＝sin 2x－cos 2x＋2＝sin＋2，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ (k∈Z)，得f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝sin＋2，因为x∈，所以2x－∈.要使f(x)在区间上的最小值为1，即y＝sin在区间上的最小值为－1.所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.20．(12分)党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3 000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，因为底面长为x米，所以底面的宽为，依题意有y＝3 000＋150×16＋120×2＝5 400＋480，因为x＞0，由基本不等式和不等式的性质可得5 400＋480≥5 400＋480×2＝9 240，当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9 240元．21．(12分)已知函数y＝f(x)是二次函数，且满足f(0)＝3，f(1)＝f(3)＝0.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(log2x)，x∈[2,8]的最小值；(3)若x∈[1，t](t＞1)，试将y＝f(x)的最小值表示成关于t的函数g(t)．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，因为f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，又f(1)＝f(3)＝0，所以解得所以f(x)＝x2－4x＋3.(2)令t＝log2x，x∈[2,8]，则y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，t∈[1,3]，所以当t＝2即x＝4时，ymin＝－1.(3)f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1，t](t＞1)，①当1＜t≤2时，f(x)在[1，t]上单调递减，所以f(x)的最小值g(t)＝t2－4t＋3.②当t＞2时，f(x)在[1,2]上单调递减，在[2，t]上单调递增，所以f(x)的最小值g(t)＝－1，综上所述，g(t)＝22．(12分)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1.(1)求函数f(x)在区间上的最小值；(2)若f(x)＝－，x∈，求cos 2x的值；(3)若函数y＝f(ωx)(ω＞0)在区间上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．解：(1)f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.∵x∈，∴2x＋∈，故2sin∈[－1,2]，∴函数f(x)在区间上的最小值为－1.(2)∵f(x)＝2sin＝－，∴sin＝－，又∵x∈，∴2x＋∈，故cos＝，∴cos 2x＝cos＝coscos＋sinsin＝.(3)当x∈时，2ωx＋∈，于是k∈Z.∴k∈Z.∵ω＞0，∴ω的取值范围为.