高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 数列的概念随堂练习题

【特供】1.1 数列的概念-1作业练习

一．填空题

1．若数列满足，若恒成立，则的最大值是______

2．已知数列满足，则______.

3．数列满足，，则_________．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若(n∈N)，，则=___________.

5．数列满足：，，则__________.

6．已知集合，将A中的正整数从小到大排列为．．．，若，则正整数__________.

7．数列中，，，则______.

8．若数列满足递推公式，且，则___________．

9．若数列满足，，且，则______.

10．数列满足，，则_____

11．已知数列的前项和，则__________．

12．已知数列满足，则______.

13．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，奇数的个数为__________．

14．普林斯顿大学的康威教授于年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作，其中为．．．．．，即第一项为，外观上看是个，因此第二项为；第二项外观上看是个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此第四项为，，按照相同的规则可得其它，例如为．．．．．.给出下列四个结论：

①若的第项记作，的第项记作，其中，则,；

②中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字；

③的每一项中均不含数字；

④对于，，的第项的首位数字与的第项的首位数字相同.

其中所有正确结论的序号是___________.

15．已知数列满足，（），则______.

16．已知，，，则_____．

17．若集合至少含有两个元素（实数），且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“成功集合”，已知集合，则的子集中共有__________个“成功集合”．

18．已知数列的前项和为，，，，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】分析：先求出，再求出的最小值即得解.

详解：由题得（1）

（2）

（1）-（2）得

所以，

适合，所以,

所以数列为递增数列，

所以，

由题得.

所以的最大值是2.

故答案为：2

【点睛】

方法点睛：数列的最值一般利用函数的单调性求解，而数列单调性的判断一般可以通过定义法判断.

2．【答案】

【解析】令求得的值，令，由题干中的等式得出，两式相减可得，再对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式.

详解：对任意的，.

当时，则有；

当时，，

则，

两式相减得，解得.

满足，因此，对任意的，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用求，一般利用来求解，但需对是否满足在时的表达式进行检验，考查计算能力，属于基础题.

3．【答案】16

【解析】分析：根据数列的递推关系式，结合，即可求解.

详解：由题意，数列满足，，

可得.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：根据递推关系式列出数列的前几项，即可得数列是以3为周期的数列，从而得解；

详解：解：因为，，所以，，，所以数列是以3为周期的数列，

所以

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：由题意，把转化为，可判断出为等比数列，求出的通项公式，即可得到.

详解：因为，

所以，

所以，

又因为，

所以为首项为1，公比为3的等比数列，

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式；

6．【答案】1516

【解析】分析：利用平方差公式可得，对和分别研究即可得到集合中的所有正整数，然后从小到大排列，观察规律可得出结果.

详解：，

当时，表示奇数；

当时，表示4的倍数；

所以中的整数从小到大排列为，即数列满足，又因为，所以，

故答案为：1516.

7．【答案】

【解析】分析：根据递推关系可得数列是以3为周期的周期数列，即可求解.

详解：，，

，，，

数列是以3为周期的周期数列，

，.

故答案为：.

8．【答案】2021

【解析】分析：根据递推关系式，将式子递推到即可.

详解：因为，，

所以

故答案为：2021.

9．【答案】55

【解析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出

详解：由得，

.

故答案为：55

【点睛】

本题主要考查了累乘法求数列通项和数列中的项，属于基础题.

10．【答案】

【解析】根据，利用累加法求数列的通项公式.

详解：因为，

所以，

所以，

，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查累加法求数列的通项公式，属于中档题.

11．【答案】

【解析】分析：当时，求得；当时，类比写出，由求出，再将代入检验，即可求出答案.

详解：当时，

     当时，由，得，

        两式相减，，

     将代入上式，，

     通项公式为

故答案为.

点睛：本题主要考查已知数列的前项和，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：

（1）当时， 求出；

（2）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；

（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．

12．【答案】2020

【解析】因为，所以，

式子两端除以，整理得：，即为常数列.

因为，所以，所以，所以.故答案为：2020

13．【答案】1348

【解析】分析：根据斐波那契数列的特点：从第一项起，每三个数一组其中有2个奇数1个偶数，即可求前2021项中奇数的个数.

详解：由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个偶数，

∵的整数部分为，余数为，

∴该数列的前2021项中共有个偶数，奇数的个数为.

故答案为：

14．【答案】①③④

【解析】分析：列出．的前四项，观察规律，可判断①的正误；利用反证法可判断②的正误；利用②中的结论可判断③的正误；根据和各项首位数字出现的周期性可判断④的正误.

详解：对于①，，，，，，，

，，，，，，

由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同，

所以，，①正确；

对于②，若中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为，即，

由题中定义可知，中必有连续三个位置上的数字均为，即，.

以此类推可知，中必有连续三个位置上的数字均为，这与矛盾，②错误；

对于③，由②可知，的每一项不会出现某连续三个数位上都是，故中每一项只会出现．．，③正确；

对于④，对于，，有，，，，，，，

由上可知，记数列的首位数字构成数列，则数列为：．．．．．．．，

且当时，；

记的第项记为，则，，，，，，，，，

记数列的首位数字构成数列，则数列为：．．．．．．．．．，

且当时，.

由上可知，，，，，

所以，当时，，④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列中的新定义，解题时要紧扣“外观数列”的定义，充分利用数列的规律．数列的周期性等基本性质来解决问题.

15．【答案】

【解析】根据递推公式计算得到数列周期为，故，得到答案.

详解：，，故，，

，故数列周期为，，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据递推公式计算数列的项，意在考查学生的计算能力和推断能力，确定数列周期为是解题的关键.

16．【答案】

【解析】由递推公式可得数列具有周期性，且，则，进而求得即可.

详解：解：由题知，所以，

，所以数列具有周期性，且，

因为，则，

当时，，所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的周期性的应用，考查运算求解能力，属于基础题型.

17．【答案】49

【解析】分析：设集合的子集中有个成功集合，则，，当时得递推关系，进而根据递推关系得.

详解：设集合的子集中有个成功集合，则，．

对于时，可将满足要求的子集分为两类：

一类是含有的子集，去掉后剩下小于的单元素子集或满足要求的子集，前者有个，后者有个；

另一类是不含的子集，即满足要求的子集，有个．

于是，．

从而根据递推关系得：，，，，，．

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的递推关系问题，考查逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于设集合的子集中有个成功集合，则，，进而根据题意得递推关系，再计算即可.

18．【答案】4

【解析】分析：归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.

详解：由题得，

，

，

,

,

,

所以数列的周期为6，，

，

所以.

故答案为：4

【点睛】

关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期.