高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性随堂练习题

【精品】1.2 数列的函数特性练习

一．填空题

1．设数列中， ，则通项___________。

2．数列{}满足：，若对任意正整数n，都有（k∈N）成立，则的值为_________

3．已知数列满足，，则=       ．

4．数列满足，．则数列的通项公式=____________．

5．
数列中， 为数列的前项和，且，则这个数列前项和公式__________．

6．
数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．

7．已知数列的前n项和，那么等于___．

8．
在数列中，，，则__________．

9．数列 1, 2, 3, 4, 5, 的前n项和等于________ ．

10．已知数列的通项公式为。则它的前项依次为_____．

11．已知数列，，, 则_______

12．对于实数，定义：，已知数列满足，，，设表示数列的前和，若，则的值为__________.

13．已知数列的通项公式为，请写出一个能说明“若为递增数列，则”是假命题的的值_____________

14．已知数列的前项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为________________.

15．已知，则数列的通项公式为_________________

16．数列{}的构成法则如下：＝1，如果－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式＝－2.否则用递推公式＝3，则＝________.

17．
若不等式恒成立，则的范围__________．

18．正项数列中，满足那么＝__.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】∵∴， ，

， ， ， ，

将以上各式相加得：

故应填；

【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；

【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；

2．【答案】

【解析】由题意知即求数列{an}的最小项，由数列的单调性即可得．

【详解】

对任意正整数n，都有an≥ak（k∈N），则ak为数列{an}中的最小项．

，则,

,

n=1，2时，n2-2n-1＜0， n≥3时，n2-2n-1＞0,

∴a1＞a2＞a3＜a4＜，

∴当n=3时，an取得最小值a3=

即对任意正整数n，都有an≥a3成立，则ak=a3=

故答案为：

【点睛】

求解数列中的最大项或最小项的一般方法：

（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；

（2）可以用或；

（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.

3．【答案】

【解析】，，累和得

考点：累和法求数列的通项公式

【方法点睛】本题考察的是由数列的递推公式求通项公式，此类题型是数列章节的重点，常见的求解方法有如下几种：累和法，适用于的形式，累乘法，适用于的形式，构造法，适用于的形式，适当的配凑常数使其变形为，转化等比数列求解，形如的递推公式可两边同除以指数式，转化为的形式，形如的递推公式可通过两边取倒数的方法转化为的形式

4．【答案】

【解析】，可得，利用等差数列的求和公式可得结果.

【详解】

，

可得

，故答案为.

【点睛】

本题主要考查已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列．等比数列（先根据条件判定出数列是等差．等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.

5．【答案】

【解析】∵，∴，化简得， ，两边同除以得，所以是公差为2的等差数列，其首项，所以， ，故答案为.

6．【答案】或

【解析】

【分析】

分类讨论和两种情况即可求得的值.

【详解】

当时，恒成立，当时：

当数列的公差时，即，

据此可得，则，

当数列的公差时，由题意有：，，

两式作差可得：，

整理可得：，即：，①

则，②

②-①整理可得：恒成立，

由于，故，据此可得：，

综上可得：的值为或.

【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，数列的前n项和与通项公式的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．【答案】5

【解析】根据题意，由数列的前n项公式可得a3＝S3﹣S2，代入数据计算可得答案．

【详解】

根据题意，数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣1，

则a3＝S3﹣S2＝（32﹣1）﹣（22﹣1）＝5；

故答案为：5.

【点睛】

本题考查数列的前n项和公式的应用，注意an＝sn﹣sn﹣1的应用，属于基础题．

8．【答案】-1.

【解析】分析：求出数列的周期，然后求解数列的项．

详解：数列{an}满足，，

可得a2=﹣1，a3=2，a4=，所以数列的周期为3，

a2=﹣1，

故答案为：﹣1．

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理．变形，变成等差．等比数列，或用累加法．累乘法．迭代法求通项．

9．【答案】

【解析】Sn＝(1＋2＋3＋＋n)＋＝＋＝＋1－

10．【答案】4,7,10,15

【解析】本题可以依次将带入数列的通项公式中并计算即可得出结果，在计算过程中要注意当为正奇数和为正偶数时通项公式不同。

【详解】

当时，

当时，

当时，

当时，，综上所述，故答案为

【点睛】

本题考查的是利用数列的通项公式求值，考查了计算能力，是简单题。在计算过程中，要注意当为正奇数和为正偶数时所对应的通项公式是不同的。

11．【答案】80

【解析】把 变形为，从而是一个等差数列.

【详解】

由题设有，是首项为，公差为的等差数列，故，故，填.

【点睛】

一般地，如果数列满足递推关系（，那么我们有两种基本的转化策略：

（1）拆分：即把转化为，其中 ；

（2）同除以 ：即把转为为，再用累加法求通项.

12．【答案】118

【解析】对a分类讨论，利用递推关系可得周期性，进而得出所求结果.

【详解】

①当时，因为，，可得：

，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或，不合题意舍去.

②当时，因为，，可得：，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或（舍去）

所以，, ,所以，故填118.

【点睛】

本题主要考查了数列递推关系，数列的周期性，分类讨论方法，属于难题.

13．【答案】内任意一个数均可

【解析】由题意，数列为递增数列，转化恒成立，求得实数，进而可得得到答案.

【详解】

由题意，数列的通项公式为，若为递增数列，

则恒成立，

即恒成立，所以实数，

所以“若为递增数列，则”是假命题的的值可取.

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系，数列的单调性，不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的单调性和不等式的恒成立，求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

14．【答案】4

【解析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{}，求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜（5

﹣λ）an，整理后得到5﹣λ．然后根据数列的单调性求得最值得答案．

【详解】

当n=1时，，得a1=4；

当n≥2时，，两式相减得，得，

∴．

又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．

∵an＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an，等价于5﹣λ．

记，n≥2时，．

∴n≥3时，，．

∴5﹣λ，即，

∴整数λ的最大值为4.

故答案为:4

【点睛】

本题考查了数列通项的求法，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了

不等式的恒成立问题，是中档题．(2)解答本题的关键有两点,其一是根据求数列的通项,其二是求的最大值.

15．【答案】

【解析】根据，可知，进而知道，即可求出数列的通项公式。

【详解】

由题意知，，令，则，所以，即，所以.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式及其求解方法，属于中档题。

16．【答案】

【解析】先求，再求以此类推，求得的值.

【详解】

由于，且不是自然数，所以.由于，之前出现过，故.由于为自然数且之前未出现过，故.由于为自然数且之前未出现过，所以.由于，之前出现过，所以.

【点睛】

本小题主要考查递推数列求数列的每一项.题目通过设定数列的两种变化方式，也即给出递推关系，有递推关系求出后面的项.

17．【答案】

【解析】分析：先研究左边数列单调性，进而得最小值，即得的范围.

详解：设

．

∴是关于递增数列，

∴，

∴．

点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列．递减数列或是常数列.

②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.

③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件

18．【答案】

【解析】由已知，∴数列是等比数列，又，∴，∴，∴．