数学选择性必修 第二册1.1 数列的概念课堂检测

【优选】1.1 数列的概念-1优选练习

一．填空题

1．已知正整数数列满足则当时，______．

2．在数列，，，则_______．

3．已知数列的首项，前n项和为，且满足，则___________.

4．在数列中，是它的第_______项．

5．已知数列满足，，则的最小值为______.

6．已知数列对任意的满足，若，则__________.

7．设为数列的前项和，且，，则______.

8．已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时n的值为_______．

9．已知正整数数列满足,则当时，___________.

10．已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1（n∈N），则a5=______.

11．数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即．．．．．．．．．．．．．，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若则__________

12．在数列中，，则___________.

13．已知数列．满足：，，且，，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在的取值范围为___________.

14．如下图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列的前4项，则__________.

15．设函数的定义如下表，数列满足，且对任意的，均有，则______．

16．已知数列，，且，则______．

17．已知数列满足，则______.

18．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1-4-2-1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．例如：正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．“冰雹猜想”可表示为数列（为正整数），．若，则的所有可能取值之和为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列从第二项起是周期数列，从而可得结论．

详解：由题意，，，，，，…，

数列从第二项起是周期数列，周期为3，

所以，，，

所以

故答案为：．

2．【答案】9899

【解析】分析：用累加法直接求解即可.

详解：在数列，，，所以

累加得：，

所以9899

故答案为：9899

3．【答案】

【解析】分析：直接利用递推公式求出.

详解：∵，

∴当n=1时，，∴，

当n=2时，，∴，

当n=3时，，∴.

故答案为：

4．【答案】6

【解析】根据题意，可得数列的通项公式，进而解＝可得的值，即可得答案．

详解：根据题意，数列中，其通项公式，

令＝，解得，即是数列的第6项.

故答案为：6

【点睛】

本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．

5．【答案】6

【解析】分析：根据题意，利用叠加法求得，得到，结合基本不等式和，进行验证，即可求解.

详解：由题意，数列满足，，

可得

，则

，

当且仅当时，即时，等号成立，

又因为，当时，；

当时，，

所以的最小值为.

故答案为：6

6．【答案】16

【解析】分析：根据，，令p=q=1可求得，依次类推可以求出.

详解：∵，∴，，.

故答案为：16.

7．【答案】54

【解析】分析：由依递推式依次求出．

详解：由已知，，，，

所以.

故答案为：54.

8．【答案】5

【解析】分析：解不等式得到项的正负，即可得答案；

详解：当或，

当取得最小值时，即取得最小值，

n的值为.

故答案为：5.

9．【答案】4

【解析】分析：根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列从第二项起是周期数列，从而可得结论．

详解：由题意，，，，，，…，

数列从第二项起是周期数列，周期为3，

所以．

故答案为：4.

10．【答案】31

【解析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.

详解：因为，,

所以，，，.

故答案为：31.

【点睛】

本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

11．【答案】60

【解析】分析：利用化简得出，即可得出结果.

详解：由于，则

，

因此，.

故答案为：60.

12．【答案】

【解析】分析：根据已知条件求得，用累乘法求得.

详解：依题意，，

即，

所以

.

故答案为：

【点睛】

累乘法求数列的通项公式，主要把握住.

13．【答案】．．．．

【解析】分析：推导出数列是周期为的周期数列，计算得出数列．均是以为公差的等差数列，设，分．．三种情况讨论，分析数列的单调性，可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.

详解：对任意的，有，

且，，，，，.

设，则

，

所以，数列是以公差为的等差数列，

设（其中为常数且），

所以，

，

所以，数列均是以为公差的等差数列，

（其中，，为中的一个常数）.

当时，对任意的，有；

当时，.

①若，则对任意的，有，所以，数列为递减数列；

②若，则对任意的，有，所以，数列为递增数列；

故只需，可满足题意.

因为，，，，，

所以，，，，，，，

解得，，，，.

故答案为：．．．．

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用数列的周期性求首项的取值范围，解题的关键在于通过构造新数列，利用数列的单调性得出不等式求解.

14．【答案】

【解析】分析：依题意可得，，且，再依次计算可得；

详解：解：依题意可知，，，，且

所以，

故答案为：

15．【答案】2

【解析】分析：根据题意，分别求得 ，得到数列是周期为4的数列，即可求解.

详解：由题意，数列满足，且对任意的，均有，

可得，，，，，…，

所以是周期为4的数列，所以．

故答案为：.

16．【答案】

【解析】分析：首先根据题意得到，再根据求解即可.

详解：

.

故答案为：

17．【答案】10

【解析】由题得时，；

当时，.

故答案为：10

18．【答案】83

【解析】分析：利用“冰雹猜想”可表示为数列的递推公式，结合，逆推．．．．的可能值，最后加总所有可能情况值即可.

详解：由题意，可能情况有：