高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 数列的概念同步练习题

【优质】1.1 数列的概念-3优选练习

一．填空题

1．已知数列满足，（），则________.

2．将边长分别为的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为，则_________，前个阴影部分图形的面积的平均值为__________．

3．已知数列共有21项，且， ，，则满足条件的不同数列有______个.

4．数列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），则称为的一个“谷值”。若且存在“谷值”则实数的取值范围是__________．

5．已知数列满足，则的最大值为___________.

6．设数列满足，，，则：

（1）______；

（2）数列中最小项对应的项数为______．

7．数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（n∈N），则a7= ______ ．

8．数列满足，，则______.

9．数列的前项和，则__________．

10．设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是________.

11．在数列中，已知，则的前6项分别为______.

12．已知数列满足，，则______．

13．已知数列满足：，，，，，，，…，以此类推______.

14．已知数列，的通项公式分别为，设，若，则数列中的最大项是_________.若数列中的最大项，则的取值范围是_________.

15．已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________．

16．若数列满足，则该数列的前2017项的乘积______.

17．在数列中，已知，则是这个数列中的第_____项.

18．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和（n∈N），那么a2的值为_____，数列{an}的通项公式为_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】31

【解析】根据数列的首项及递推公式依次求出．．即可.

【详解】

解：，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.

2．【答案】     

【解析】根据图形得到，再计算前项和，计算得到答案.

【详解】

根据图形知：

前项和为： 故前个阴影部分图形的面积的平均值为.

故答案为：；

【点睛】

本题考查了数列的通项公式，前项平均值，意在考查学生的应用能力.

3．【答案】

【解析】转化条件得或，求出满足的个数，再利用组合的知识即可得解.

详解：， 或，

设满足的个数为，

，

，解得，

结合组合的应用，满足要求的数列有个.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.

4．【答案】

【解析】求出,,,当,递减,递增,分别讨论,,是否存在“谷值”,注意运用单调性即可.

【详解】

解：当时,有,,

当,递减,递增,且.

若时,有,则不存在“谷值”；

若时,,则不存在“谷值”；

若时,①,则不存在"谷值"；

②,则不存在"谷值"；

③,存在"谷值"且为.

综上所述,的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查新定义及运用,考查数列的单调性和运用,正确理解新定义是迅速解题的关键,是一道中档题.

5．【答案】.

【解析】根据移项，左右两边同时平方，得出，整理即可得出，数列是周期为的数列，代入，得出的等量关系式，

令，得到二次不等式，根据二次函数得性质即可得出最大值.

【详解】

解：由题意，，

①，

于是②，

②-①得，

因为，当时，，，

此时；

当时，，，

∴，此时，

数列是周期数列，周期为2.，

于是，由①有.

设，根据，

得，，

得，当且仅当时，取等号，

所以的最大值为.

综上，的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列的周期性，二次函数的基本性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

6．【答案】1010    9或10 

【解析】（1）根据递推关系：当为奇数时，，即可求解；

（2）当为偶数时，结合求出公式，即可得解.

【详解】

（1）当为奇数时，，

即，．

（2）由，知

，

于是，由对勾函数的性质知，或．

故答案为：（1）1010；（2）9或10.

【点睛】

此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.

7．【答案】1

【解析】根据递推公式,得,把,代入可依次求出前7项即可

【详解】

由,得,

所以,,,,

故答案为：1

【点睛】

本题考查由数列的递推公式求数列的项,数列的递推公式是给出数列的一种方法

8．【答案】

【解析】由，得，累加法可求.

详解：.

,

以上各式两端分别相加，得.

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查累加法，考查计算能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】根据和项与通项关系求结果.

【详解】

当时，

当时，

因此

故答案为：

【点睛】

本题考查根据和项求通项，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．【答案】-2

【解析】根据递推公式推导数列的前后项的关系,进而可判断

【详解】

由题意即可，

,

若,则且,即该数列单增，且,

此时若存在常数,使得恒成立，则必有.

若,则,该数列为常数列,即.

当时，显然有

综上所述,.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据递推公式分析数列前后项的关系,进而求得数列的通项范围,需要思考的大小从而分情况讨论,属于难题.

11．【答案】

【解析】根据题意分别代入计算即可.

详解：易得，，，，，.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据数列通项公式求某项．特殊角的余弦值等.属于基础题.

12．【答案】

【解析】由，把代入可确定数列的周期，，求出即可。

【详解】

由，可得，，，

所以数列为周期数列，周期，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的周期性，属于基础题。

13．【答案】

【解析】根据数列项的规律进行分段，分析出第2020项所属的那一段，再结合规律即可求值．

【详解】

按分母分段，分母为的分数有个，

因为，故2020属于第64段，

则应该是分母为65的第四数，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的递推式，解题时要善于合理地分段，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

14．【答案】2     

【解析】由数列的单调性，寻找数列的最大项，从而求解.

【详解】

①当时，

当时，该数列为增数列，故其最大项为；

当时，该数列为减数列，故其最大项为；

综上所述，则此时该数列的最大项是2.

②根据题意，为更好说明问题，构造函数，

在同一坐标系中绘制出与的函数图像，如下所示：

结合题意，由图可知，若使得的最大值小于2，只需：

当时，的函数值小于2即可，

故：，解得.

故答案为：2；.

【点睛】

本题考查数列的单调性，应该用函数的角度来思考问题.

15．【答案】

【解析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.

当时，    ，解得：

当且时，

，即：

数列是以为首项，为公比的等比数列   

    ，解得：

又    或

满足条件的的取值集合为

本题正确结果：

16．【答案】

【解析】先证明，即得是以4为周期的一个数列，再求出，即得解.

详解：由递推公式，

，

则是以4为周期的一个数列.

由计算，得，.

.

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查递推数列和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

17．【答案】12

【解析】假设是数列中的项，则得，即得解.

详解：假设是数列中的项，则

所以，

所以.

所以是数列的第12项.

故答案为：12.

【点睛】

本题主要考查数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．【答案】3.    an． 

【解析】令，代入，即可求出a2的值；根据与的关系可求出，然后再利用叠乘即可求解.

【详解】

由a1＝1，前n项和（n∈N），

令，则，所以；

，

整理可得，即，

所以，

所以，即.

故答案为：3，

【点睛】

本题考查了与的关系．叠乘法求数列的通项公式，属于基础题.