高中数学1.2 瞬时变化率习题

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【优编】1.2 瞬时变化率优选练习一．填空题1．函数的图象在点处的切线方程是______．2．已知直线与曲线相切，则______.3．已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为_________.4．函数在点处的切线方程是_____．5．设点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离为_______.6．已知曲线在点处的切线方程为，则=________.7．的图像在处的切线方程为________.8．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为_______．9．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．10．已知定义在上的函数满足且，若恒成立，则的取值范围为_______________．11．若直线与曲线相切，则实数的值为______.12．函数的图像在点处的切线方程为__________.13．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是______.14．若直线为函数图象的切线，则它们的切点的坐标为______15．已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为______16．设，当取得最小值时，函数的最小值为___________.17．曲线在点处的切线方程为___________18．曲线在点处的切线方程为______．
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：先由函数求导，再计算和，然后由直线的点斜式写出切线方程．详解：由题意知，，，所以函数的图象在点处的切线方程是，即．故答案为：.2．【答案】【解析】分析：设切点坐标为，然后利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，利用待定系数法求解的值即可.详解：设直线与曲线的切点坐标为，则在点处的切线方程为，则，且，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查曲线在某一点处的切线方程，属于简单题.3．【答案】【解析】分析：将点的坐标代入切线方程可求得的值，利用导数的几何意义可求得的值，进而可求得的值.详解：由于函数的图象在点处的切线方程为，则点在直线上，可得，解得，直线的斜率为，由导数的几何意义可得.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的切线方程求值，要注意切点在切线上以及导数值等于切线的斜率的应用，考查计算能力，属于基础题.4．【答案】【解析】分析：求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.详解：由题意，函数，可得，则且，所以在点处切线方程是，即．故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.5．【答案】【解析】分析：设平行于的直线与曲线相切于点，得到，求得，结合点到直线的距离公式，即可求解.详解：由题意，函数，可得，设平行于直线的直线与曲线相切于点，可得，令，解得，可得，即点，则点到直线的距离为，即点点P到直线的最小距离为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离的求解，其中解答中把曲线上的点到直线的距离之和为切点到直线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算能力.6．【答案】【解析】分析：先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出，再由切点坐标，即可求出结果.详解：因为的导数为，又函数在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即.故.故答案为：.【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.7．【答案】【解析】分析：求出在处的导数值，即切线斜率，再求出，即可求出切线方程.详解：，，，又，则切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.8．【答案】【解析】分析：利用换元法令，求出的表达式，再利用切线方程即可求出.详解：令，则，所以，即，，，，所以切线方程为，即，故答案为：.【点晴】此题考换元法求函数解析式和曲线的切线方程的求法，属于简单题.9．【答案】40.15【解析】分析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，求出水净化到纯净度为时所需费用函数的导数，即可算出结果．详解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为．所以，又因为，所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元，故答案为：40.15.【点睛】本题考查函数的导数的实际意义，考查学生的计算能力，比较基础．10．【答案】【解析】分析：求出的解析式为，结合函数图象即可得出的范围．详解：＞0，∴为增函数，，∴存在唯一一个常数，使得，∴，即，令可得，∴，故而，∵恒成立，即恒成立．∴y=ex的函数图象在直线上方，不妨设直线与的图象相切，切点为（x0，y0），则，解得 , ．如图，∴当,即时，y=ex的函数图象在直线上方，即恒成立，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数解析式的确定，及恒成立问题与函数图象的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档题.11．【答案】【解析】分析：先求函数的导数，则，写出切线方程与结合条件可得，从而得出答案.详解：,设切点为，则切线的斜率为曲线在切点处的切线方程为，所以解得.故答案为：【点睛】本题考查根据切线方程求参数的值，属于基础题.12．【答案】【解析】分析：根据函数，求导得到，再分别求得，由点斜式写出切线方程.详解：因为函数，所以，所以，所以函数图像在点处的切线方程为，故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.13．【答案】（或）【解析】分析：由题意可知，直线的斜率为，对函数求导，由求得切点的坐标，再利用点斜式可求得直线的方程.详解：直线的斜率为，由于直线与直线平行，则直线的斜率为，对函数求导得，令，解得或（舍去），所以切点的坐标为.故直线的方程为，即故答案为：（或）.14．【答案】或【解析】分析：设切点坐标为，对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，求出切点横坐标，进而可求出结果.详解：设直线与函数图象切于点，由得，则在点处的切线斜率为，解得，所以，即切点坐标为或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求切点坐标，属于基础题型.15．【答案】【解析】分析：函数有三个零点，可转化为与直线有三个交点，对 分类讨论，当时不满足条件，当时求出过原点与函数在上的切线，数形结合即可求解.详解：如图，函数恰有三个零点，等价于方程，有三个解，即函数与函数的图象有三个交点，又有为过原点的直线由图可知，当时，函数的图象与函数的图象没有有三个交点，不满足条件.当时, 当且仅当为的切线的时候，方程恰有两个解，故而，令为的切线，设切点为，则切线的方程为，由于切线过原点，所以，即，此时直线的斜率为，由题意知，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数切线的求法，函数的零点个数的判定，数形结合的思想，属于中档题. 16．【答案】10【解析】分析：表示点与点距离的平方，而点是直线上任一点，点（）是反比例函数在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得，从而得，再利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值详解：解：表示点与点距离的平方，而点是直线上任一点，点是反比例函数在第四象限上的点，当是斜率为的直线与相切的切点时，点到直线的距离即为的最小值，由，，所以，当且仅当取等号，所以函数的最小值为10，故答案为：10【点睛】此题考查两点间的距离公式以及导数几何意义的应用，考查绝对值三角不等式的应用，考查分段函数，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题17．【答案】【解析】分析：求导，将代入导函数，可求出切线的斜率，进而利用点斜式，可求出切线方程.详解：点在曲线上，求导得，当时，，则切线斜率为1，所以切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．【答案】【解析】分析：先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．详解：解：令 ， ，切线方程为 ．故填： ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程．