北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念同步练习题

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【名师】2.1 导数的概念课时练习一．填空题1．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，过点和的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，当取最大值时，双曲线的方程为________.2．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在．两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.3．已知定义在上的奇函数，当时，，则在点处的切线方程为_______.4．函数在处的切线方程是____________.5．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.6．已知直线与曲线相切，则实数k的值为______．7．曲线在点处的切线方程为______.8．函数在处的切线方程为__________．9．若函数的图象在点处的切线过点，则__________．10．曲线上一动点处的切线斜率的最小值为________.11．曲线在点处的切线方程为__________.12．已知抛物线过点，且在点处与直线相切，则__________，____________，_________________.13．已知函数，则在点处的切线方程为______.14．已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.15．已知点P在曲线上，其中e是自然对数的底数，曲线在点P处的切线的倾斜角为，则点P的纵坐标为______________.16．已知函数，则函数在处的切线方程为______.17．，设函数图像上点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是____．18．函数的图象在处的切线方程为___________.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：设点的坐标为，则，利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标，可求得直线的方程，并求得点的坐标，可得出，利用三角换元思想求得的最大值及其对应的．的值，由此可求得双曲线的标准方程.详解：设点的坐标为，则，对于二次函数，求导得，由于抛物线在点处的切线与直线垂直，则，解得，则，所以，点的坐标为，抛物线的焦点为，直线的斜率为，所以，直线的方程为，该直线交轴于点，，可设，，其中，，，，当时，即当时，取得最大值，此时，，，因此，双曲线的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.2．【答案】【解析】分析：求出函数的导数，由化简可得，利用可得出，结合基本不等式可求得的取值范围.详解：，，由题意可得，即，，化简可得，即，而，，则，当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，所以，，因此，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用切线斜率相等求参数的取值范围，涉及导数几何意义以及基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．【答案】【解析】分析：根据奇函数的性质求出当时函数的解析式，利用导数的几何意义求切线的方程；详解：当时，，，，，切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义．奇函数的性质，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力，求解时注意先求解析式再求导数.4．【答案】【解析】分析：求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.详解：，则，，.因此，函数在处的切线方程是，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.5．【答案】【解析】分析：设出切点坐标，求导，得出过该切点的切线方程，再代入原点坐标，解出切点的坐标，可得答案.详解：设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为：.【点睛】本题考查求函数过某点的切线方程，一般解决切线方程的问题，不知切点时需设切点，属于基础题.6．【答案】【解析】详解：设切点为,切线：即，又所以，即7．【答案】【解析】分析：由题意可得切点，对求导可得，即为切线斜率，由此可求其切线方程.详解：由，可得切点，其切线方程为即.故答案为：.【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题.8．【答案】【解析】分析：先求得导函数与切点坐标，即可求得切线方程.详解：函数，当时，所以切点坐标为，而，由导数的几何意义可知，所以切线方程为，化简可得，故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，属于基础题.9．【答案】5【解析】分析：由，求得，再求，由点斜式方程求解参数即可详解：解：，切点所以切线方程为：切线过点，，故答案为：5【点睛】考查曲线在某一点的切线过已知点求其中参数，基础题.10．【答案】【解析】分析：根据曲线，求导得到，再利用基本不等式求得导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值.详解：因为曲线所以，当且仅当，即时，取等号.所以在点处的切线斜率的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．【答案】【解析】分析：先求出的导函数，然后求出切线斜率，再写出切线方程即可．详解：由，得，在点，处的切线斜率，又，在，处的切线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题．12．【答案】3    -11    9  【解析】分析：先求函数的导函数，再由题意知，函数过点，，且在点处的切线的斜率为1，即，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可.详解：解：由于抛物线过点，则，，又，因为点处与直线相切，即切线的斜率为1，即，．又因为切点为，．把①②③联立得方程组，解得：，即，，．故答案为：3，-11，9.【点睛】本题考查导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值，考查计算能力.13．【答案】【解析】分析：根据，求导，再求得，，写出切线方程.详解：因为所以，所以.又，所以在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．【答案】【解析】分析：求导函数，确定其值域，即可求出的取值范围．详解：，，,，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于基础题．15．【答案】2【解析】分析：求出函数的导数得到，解得，代入曲线方程求出的值即可．详解：设，，，，解得：，，故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义．倾斜角和斜率的关系，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力.16．【答案】【解析】分析：先求函数在处的导数，再求函数值，利用点斜式求出方程即可.详解：由已知得且，，则切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.17．【答案】【解析】分析：求出函数的导数，判断导函数的范围，得到切线的斜率的范围，然后求解切线的倾斜角的范围．详解：解：因为，所以，所以切线的斜率的范围为设点P处的切线的倾斜角为，可得，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线的向量的范围以及倾斜角的范围的求法，属于基础题．18．【答案】【解析】分析：求出导函数，计算出切线斜率，同时计算出函数值，然后可得切线方程．详解：由得，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题，函数图象在点处的切线方程是．