高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值习题

【优编】6.2 函数的极值-1作业练习

一．填空题

1．已知（为常数）在上有最小值3，那么此函数在上的最大值为______.

2．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围__________

3．设函数，，其中．.若恒成立，则当取得最小值时，的值为______.

4．已知函数有两个不同的极值点,且不等式恒成立,则的取值范围是__________．

5．设函数，函数为的导函数．

（1）若，都有成立（其中），求的值；

（2）证明：当时，；

（3）设当时，恒成立，求实数的取值范围．

6．已知函数，存在，使得成立，则实数的取值范围为_______.

7．已知函数，，若对于任意，总是存在两个不同的，，使得，则实数a的取值范围为_____________.

8．已知，是函数，的两个极值点，若，则的取值范围为______．

9．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，．则不等式的解集为__________．

10．已知函数下列四个命题：

①f(f(1))>f(3)；               ②x0∈(1,+∞),f'(x0)=-1/3；

③f(x)的极大值点为x=1；       ④x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1

其中正确的有_________（写出所有正确命题的序号）

11．己知函数有极值，则实数的取值范围为_____________

12．已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在_____处取得极值.

13．已知函数,若函数在区间上存在两个不同的极值点，且，则实数的取值范围是_____________.

14．函数，，当时，函数仅在处取得最大值，则的取值范围是______.

15．函数的单调递增区间为__________．

16．函数，的最大值是______.

17．已知函数,若在上单调递增，则实数的取值范围是_____．

18．已知,在处有极值,则 ______ ．

参考答案与试题解析

1．【答案】43.

【解析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合（为常数）在上有最小值3，求出的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值.

【详解】

，

,

令，解得或，

当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，

所以在时有极小值，也是上的最小值，

即，

函数在上的最大值在或时取得，

，

函数在上的最大值为43.

故答案为：43

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.

2．【答案】

【解析】由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a<0，结合导数求得最大．小值，解不等式即可得到所求范围.

【详解】

解：恒成立  只需

由得：，令解得：

在单调递减，在单调递增

，恒成立

即只需

当时，令

则，与矛盾

当时，  解得

在单调递增，在单调递减

综上所述：

【点睛】

本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

3．【答案】

【解析】构造函数，可知该函数关于点对称，然后分．．三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出函数在区间上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当取得最小值时的值.

【详解】

构造函数，则，

由于，

所以，函数的图象关于点对称，且.

①当时，，函数在区间上单调递增，

则，

所以，

此时，当，时，取最小值；

②当时，对任意的，，函数在区间上单调递减，

则，

所以，

此时，当，时，取最小值；

③当时，令，得，令，列表如下：

不妨设，则，则，

，

，且，，

，若，则，

若，则，但，

，

所以，.

当时，，

当且仅当，时，即当，时，取得最小值;

当时，.

综上所述，当，时，取得最小值，此时.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

4．【答案】

【解析】根据函数有两个不同的极值点,通过求导,可以求出的取值范围,求出 的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出的取值范围.

【详解】

,因为函数有两个不同的极值点,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有：,解得.

,

设,

,故在上单调递增,故,所以.因此

的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.

5．【答案】（1）（2）证明见解析（3）

试题分析：（1）求导，利用对应项系数相等求即可即可

（2）证明等价证明，构造函数求最值即可证明

（3）讨论，恒成立，转化为证明，构造函数，求导求最值，证明当时不成立，当时，利用（2）放缩证明h(x)在区间上是单调递减函数即可求解，当时，构造函数，证明不成立即可求解

【详解】

（1），则

因为，即恒成立（其中），

则，，即，且

（2）当时，要证即证，

令，则，

当时，，即在区间上是单调递增函数，

当时，，即在区间上是单调递减函数，

则当时，，即当时，，也即，

所以当时，

（3）当，本题无意义，显然不成立，

所以不合题意，

当时，等价于，

由题设，此时有，

当时，若，则有，此时不成立，

即不成立，所以不合题意，

当时，令，

则等价于，即当且仅当，

，

又由（1）得，即，代入上式得：

，

①当时，由（2）知，即，

则

，此时函数h(x)在区间上是单调递减函数，

则，即恒成立，此时符合题意，

②当时，令，则，

又，则，即函数在区间上是单调递增函数，

即，也即，

则

当时，有，即函数在区间上是单调递增函数，

所以，即，所以不合题意，

综上可得，所求实数a的取值范围为

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题

【解析】

6．【答案】

【解析】由于时，，则转化为，只要求得在上的最小值即可．

【详解】

易知当时，，

存在，使得成立，则，

设，则，∴．

当时，，单调递减，所以．

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，考查不等式恒成立问题．解题关键是把不等式恒成立转化为求函数最值．本题属于中档题．

7．【答案】

【解析】利用导数求出在上的值域，利用导数求出在上不同的对应相同的的范围，根据题意可得，列不等式即可求得实数a的取值范围．

【详解】

解：，，

，

可得：函数在上单调递增，在上单调递减．

而．

．

，

在上单调递增，

又，

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

时，．

令．

对于任意，总是存在两个不同的，

使得．

，且．

解得．

∴实数a的取值范围为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值．方程与不等式的解法．等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

8．【答案】

【解析】先由题得所以，.化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.

【详解】

由题得函数的定义域为，

，

所以是方程的两个实数根，

所以，

因为，，

所以，

所以.

所以

=

记，

所以

由，

所以在单调递减，

又由洛必达法则得当时，，即，

所以函数g(x)的值域为.

即的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．【答案】

【解析】令，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集．

【详解】

令，

则，

所以在上为单调递增，且，

所以，

解得．

由是定义在上的奇函数得，

所以在为偶函数，且

所以不等式的解集为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

10．【答案】①    ②    ③    ④

【解析】

函数 的图形如图所示，对于① ，，①正确；对于② ， 时，，故 ②正确；对于③，根据图形可判断③ 正确；对于④ ， 时， ，故④正确，故答案为① ② ③ ④.

【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数的极值，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1．确定方程根的个数；2．求参数的取值范围；3．求不等式的解集；4．研究函数性质．

11．【答案】

【解析】求出函数的导函数，则有可变零点，求三角函数的值域得到结果.

【详解】

由可得：，

∵函数有极值，

∴有可变零点，

∴，即，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.

12．【答案】-1

【解析】利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．

【详解】

由图象，得当时， ，当且时， ， ，即函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极小值.

【点睛】

本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用，函数的极值的判断，是基础题．

13．【答案】

【解析】要求实数的取值范围，从条件“函数在区间上存在两个不同的极值点”入手，将此条件转化为方程有两个不等正实数解，结合进行求解即可得解.

【详解】

解：因为函数,所以，又函数在区间上存在两个不同的极值点，即方程有两个不等正实数解，则 ，解得 ，①

由题意可知，

解得： ，即，②

联立①②得：实数的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数与导数综合应用，重点考查了化归与转化思想，函数与方程思想及运算求解能力，属综合性较强的题型.

14．【答案】

【解析】求出原函数的导函数，对分类，根据函数在上的单调性逐一分析求解．

【详解】

解：．

若，则在上恒成立，在上单调递减，不合题意；

若，由，得，，

在上单调递减，不合题意；

若，当时，，在上单调递增，符合题意；

当时，，在上单调递减，不合题意；

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

要使当时，函数仅在处取得最大值，

则，即．

综上，实数的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．

15．【答案】

【解析】先求导，根据导数正负求解单增区间即可

【详解】

由题可知，，，令得，当时，，单调递增；时，，单调递减，故的单调递增区间为

故答案为：

【点睛】

本题考查根据导数求解函数增减区间，属于基础题

16．【答案】

【解析】利用导数求出函数的极值点，并利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值.

【详解】

，

，

当时，，则.

令，得，当时，.

所以当时，；当时，.

故函数在上单调递增，在上单调递减.

因此，当时，函数取得最大值，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求正弦型函数的最值，解题时要熟悉导数与最值的基本关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

17．【答案】

【解析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，构造函数，利用导数求得的最小值，进而求得的取值范围.

【详解】

依题意，当时，恒成立，即，也即在上恒成立，构造函数，则，所以函数在区间上递减，在区间上递增，在处取得极小值也即是最小值，故，所以.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.

18．【答案】

【解析】由题知为极值点,故,又联立求解即可.

【详解】

由题,,故

故答案为-6

【点睛】

本题主要考查了已知极值点与极值求参数的问题.属于基础题型.