北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值课时训练

【优选】6.3 函数的最值-1练习

一．填空题

1．若函数在存在唯一极值点，且在上单调，则的取值范围为__________.

2．若函数有极值,则函数的极值之和的取值范围是________.

3．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现，求：函数对称中心为___________；

4．若是函数的两个极值点，则____，____.

5．关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是___________．

6．已知函数在处取得最小值m，函数，则________，曲线在点处的切线的斜率为________.

7．已知，则函数的值域是__________.

8．函数的最小值为______．

9．已知函数的极大值点，则=_______.

10．若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则的取值范围是______

11．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是_________．

12．已知函数，，给出如下四个命题：

①的单调递增区间为；

②时，的极小值点为；

③时，在上存在唯一零点；

④若在（为自然对数的底数）上的最小值为3，则．

其中的真命题有______．（填上你认为所有正确的结论序号

13．设函数，为坐标原点，，．若对此函数图象上的任意一点，都满足成立，则的值为________．

14．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为             ．

15．已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为________.

16．函数的值域为_________．

17．在闭区间上的最大值．最小值分别是_________________________ .

18．函数的单调递增区间是____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】，故，根据周期得到，故，解得答案.

详解：，则，故，解得，

，故，，即，

，则，故，

则，解得；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

2．【答案】

【解析】先求导，方程在上有根求出的范围，根据韦达定理即可化简，根据的范围即可求出．

详解：解：的定义域是，

，

存在极值，

在上有根，

即方程在上有根．

设方程的两根为，，

，，

即

，

，

，

，

故函数的极值之和的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题

3．【答案】

【解析】根据题意求解的根,进而求得拐点,即对称中心的坐标即可.

详解：由题, ,故,令可得.代入可得.故其对称中心为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求导分析函数的对称中心问题,需要根据题意求解的根.属于基础题.

4．【答案】     

【解析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得以及，再结合对数运算即可容易求得结果.

详解：，

.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.

5．【答案】

【解析】通过参数分离，将表示成关于的式子，构造函数，再利用导数求出函数在定义域上的极值，从而得解.

详解：由，得，

令，

函数的定义域为，

则，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增.

所以，，

当时，，

故实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查的是利用导数求参数的取值范围问题，解题的关键是进行参数分离，属于中档题. 求函数在某一区间的取值范围，关键是求出函数在这一区间的最大值与最小值，求解过程为：先利用导数研究函数的单调性，求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值.

6．【答案】     

【解析】（1）由题求得，进而求得当时，单调递减，当时，单调递增，从而函数有最小值，即可；

（2）求出，得即可.

详解：

，

因为，

所以，当时，单调递减；

当时，，单调递增.

从而时，.

因为，

所以，

故曲线在点处的切线的斜率为.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查用导数求函数的单调性．最值．切线的斜率，属于中档题.

7．【答案】

【解析】对函数求导后，根据．的解集，确定函数的单调区间，进而可得函数的最值，即可得解.

详解：对函数求导得，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

又，，，

所以函数的值域是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的值域，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】先求出函数的定义域，再对函数求导，求出函数的极值，即可求出其最小值.

详解：解：函数的定义域为，

由，得，

令，则，

因为当时，，当时，，

所以 在时取得极小值，此时取得最小值，

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】

此题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.

9．【答案】

【解析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可.

详解： ， ，令，则.

当时，＞0，则单调递增；

当时，＜0，则单调递减，

当x=-2时，的极大值，故的极大值点是a=-2，

故答案：-2.

【点睛】

本题考查了函数的单调性．极值问题，考查导数的应用，是一道基础题.

10．【答案】；

【解析】首先求出的导数，由题意可知有解，即有解，令，求得的最值，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，

因为函数的“友导”函数，

所以有解，即有解，

令，则，

设，则，所以在上单调递增，

因为，

所以当时，，当时，，

所以在区间上单调递减，在区间单调递增，

所以当，函数，

所以，即实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的新定义，以及利用导数在函数中的综合应用，其中解答中合理构造新函数，数列应用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分离参数思想，构造思想，以及推理与运算能力.

11．【答案】

【解析】将问题转化为解不等式，令，根据函数的单调性以及奇偶性求出的范围即可.

详解：由可得，

令，则，故在上单调递增，

又是奇函数，故，，

故，解得：，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性，属于中档题.

12．【答案】②④

【解析】求出函数的定义域以及导函数，根据的取值范围以及函数的单调性与导数的关系可判断①；根据极小值点的定义可判断②；根据零点存在性定理可判断③；根据函数的单调性可判断④.

详解：函数的定义域为，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，解得，函数的单调递增区间为，故①错误；

当时，，令，解得，即函数在上单调递增，

令，解得，函数在单调递减，

所以的极小值点为，故②正确；

当时，由，

当时，函数有唯一一个零点；

当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为，，

当时，即时，函数有两个零点；

时，仅有一个零点；，函数无零点，故③错误；

当时，函数在上单调递增，则，

解得，显然不成立；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，即，，解得，成立；

当，即，，解得，显然不成立，

故④正确；

故答案为：②④

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性．研究函数的极值点．研究函数的最值．函数的零点，综合性比较强，属于中档题.

13．【答案】

【解析】由于点在函数的图象上，因此题中只要设出点坐标为，求出，则最大值，这又可根据导数的知识求解．

详解：设，，

，

∵对此函数图象上的任意一点，都满足成立，且点恰在函数上，

∴当与重合时，取得最大值，即对函数而言，为极大值，

∴，故（∵）．

【点睛】

本题考查利用导数及构造函数求参，观察发现特殊点处取最大值，进而求出答案，本题难度中等．

14．【答案】

【解析】由题知，则,可得在区间，为增函数，在上，…，，为减函数，故在处取得最大值.

考点：由导函数求函数的最值.

15．【答案】

【解析】由函数解析式及不等式，分离参数并构造函数，经过两次求导，可判断的单调性，结合零点存在定理可知存在使得，再求出的范围，进而由不等式有解，即可求得整数的最小值.

详解：函数，，

且不等式有解，

所以，即有解，

只需，

令，，

则，设

则，

即在内单调递增，

而，

，

所以存在使得，

而当时单调递减，当时单调递增，

所以在处取得极小值，即为最小值.

此时，

，

设，

恒成立，

单调递增，

，即，

又因为，即

而，所以整数的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数与函数单调性．极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题.

16．【答案】

【解析】利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．

详解：由题意，可得，

令，，即，

则，

当时，，当时，，

即在为增函数，在为减函数，

又，，，

故函数的值域为：．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．

17．【答案】3，-17

【解析】先求导函数，再求得函数再区间内的极值和端点值，比较大小可确定最值.

详解：由，得.当时，；当时，；当时，，故的极大值．极小值分别为.又，故函数在区间上的最大值．最小值分别3，-17.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数最值；若函数在 上连续，那么函数在上必有最大值和最小值，且函数的最大值或最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处.

18．【答案】

【解析】求函数求导，令导函数大于零构建不等式，其解集为单调增区间.

详解：因为函数，则，

令，可得，所以单调递增区间是.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调增区间，属于基础题.