北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用7 导数的应用7.1 实际问题中导数的意义测试题

【精挑】7.1 实际问题中导数的意义-1练习

一．填空题

1．已知函数存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.

2．设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为__________.

3．已知函数，若函数有四个零点，则实数的的取值范围是__________．

4．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：

①-2是函数的极值点

②1是函数的极小值点

③在x=0处切线的斜率大于零

④在区间(-，-2)上单调递减

则正确命题的序号是   ．

5．已知函数对定义域内内的任意都有，且当，其导数满足，若，则不等式的解集为__________.

6．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是______.

7．设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：______．

8．若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为________．

9．若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.

10．设当时，函数的最大值为______.

11．已知定义在上的函数的导函数为，若对于任意都有，且，则不等式的解集为________.

12．若实数满足方程，实数满足方程，则函数的极大值为______.

13．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是________．

14．若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________

15．已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为________．

16．函数的极大值为______.

17．已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是_________.

18．若对任意a，b满足0<a<b<m，都有，则实数m的最大值为_____________________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】计算，可知唯一零点，同时可知该函数为奇函数，转化为当时，函数无零点，利用不等式，以及构造函数，最后有导数进行判读即可.

详解：由题可知：函数定义域为且

因为函数存在唯一零点

所以只有一个零点0

因为

所以函数为奇函数，故只考虑当时，函数无零点

当时，有，

所以

令，则

因为

所以函数在上单调递增，又

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查函数零点问题，熟练使用等价转化的思想，化繁为简，掌握函数零点问题等价于方程根的问题又等价于两函数图象交点问题，属中档题.

2．【答案】

【解析】构造函数，由题意，只需解即可，利用导数研究的单调性即可得到答案.

详解：设，不等式的解等价于不等式的解，

因为，

所以在R上单调递增，又，

所以，所以，所以原不等式的解集为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.

3．【答案】

【解析】或，作出函数的图象，易知有3个根，所以有一个根，结合图象即可得到答案.

详解：令，得，对，，列表如下：

∴的大致图象：

由，得或，

当时，有3个根，只需有一个根，从而或，

解得或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，考查学生数形结合思想以及数学运算能力，是一道中档题.

4．【答案】①③④

【解析】观察的图象可知，，在的左．右侧导函数值由负变为正，所以①正确；

在的左．右侧导函数值均为正，所以，②不正确；

由图知，所以，③正确；

在，所以函数在是单调减函数，④正确.

综上知，正确命题的序号为①③④.

考点：应用导数研究函数的单调性．极值.

5．【答案】

【解析】由，可得对称轴是，由可得，从而得出判断的单调区间，再结合，即可得不等式的解集.

详解：因为函数对定义域内内的任意都有，

所以对称轴是，

因为满足，即，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

又因为，

所以时，，时，，时，，

当与同号时，，

所以的解集为：，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.

6．【答案】

【解析】构造函数，利用导函数研究其单调性求解最小值，只需即可，再次构造函数利用导数研究其单调性求解最小值，即可求的取值范围．

详解：由题意，令则

令，可得当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，

，

，

即等价于，

令

则令可得：，

当时，递减，时，递增，

当时，所以的解集为

的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数恒成立问题，构造函数利用导数研究其单调性求最值是解答本题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于难题.

7．【答案】76

【解析】由题意可得：，

令可得，，

则函数关于点中心对称，据此可得：

，

则：.

8．【答案】

【解析】先采用参变分离将等价转化为，结合题意应该是m小于等于右边函数的最大值，利用导数求出其最大值即可.

详解：因为

所以等价于，

记，由题意知，

因为，

所以当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以当时，，

而，，又，

所以，

所以

所以实数的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查函数的能成立问题，区间能成立或恒成立问题经常采用参变分离法转化为函数的最值问题，复杂函数最值可利用导数求解，属于难题.

9．【答案】

【解析】设，先计算，再讨论，，三种情况计算得到答案.

【详解】

设，

若判别式，则有解，设一解为，

则时，不满足恒成立，

则，此时，

因为，

①即时，函数在单调递减，，则，即，不满足题意；

②即时，记较小值为，则在单调递增，

由可得，即，不满足题意；

③即时，在，递减，

则，，则成立，综上.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.

10．【答案】

【解析】首先求导得到，根据，，即可得到函数的单调区间，根据单调区间即可求出函数的最大值.

【详解】

.

因为，所以，

当时，，，为增函数.

当时，，，为减函数.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数单调性求函数的最值，同时考查了三角函数的思想，属于中档题.

11．【答案】

【解析】设函数，利用导数结合可得在上单调递减，将化为可解得结果.

详解：即为，设函数，

则，所以在上单调递减，

又因为，所以，不等式可化为，即，所以，故解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题.

12．【答案】

【解析】首先根据对称性，数形结合求得，再分和去绝对值，利用导数求函数的极大值.

详解：由条件可知与交点的横坐标是，和交点的横坐标是，由图象可知这两个交点关于直线对称，

联立 ，解得：，即这两个交点关于点对称，

所以

所以，当时，，，

所以在上，，是增函数，

在上，，是减函数，

所以在上有极大值，

而当时，函数，，

当时，函数单调递减，当时，，函数单调递增，无极大值.

综上，的极大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的零点，以及导数求函数的极值，重点考查数形结合分析问题，分类讨论思想，属于中档题型.

13．【答案】

【解析】计算导数，可知函数的单调性并可知最大值，然后进行判断和计算可得结果.

详解：由题可知：

令或

令

所以函数在单调递减，在单调递增

故函数的极大值为

所以在开区间内的最大值一定是，

又，所以，

得实数的取值范围是．

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数判断函数的单调性，考查分析问题的能力以及判断能力，属基础题.

14．【答案】

【解析】先通过函数在存在极值点，求出的范围，再根据在单调，求出和之间的不等关系，再结合已求出的的范围，得最终的范围.

【详解】

解：因为函数在存在极值点，所以，即，

当，又在单调，

所以，即，

解得，只能取，即，

综上，，

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于和之间的不等关系，是中档题.

15．【答案】

【解析】利用导数求得在区间上的单调性和最值，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

详解：当时，，所以在区间上递减，最大值为，最小值为.

当时，在区间上没有零点，在区间上递增， 而，所以在区间上没有零点.所以不符合题意.

当时，，所以在区间上有唯一零点，所以不符合题意.

当时，在区间和区间上递减，要使的图象与轴有且只有两个不同的交点，则需，解得.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

16．【答案】

【解析】求函数导数，解得的根，判断导函数在两侧区间的符号，即可求解.

详解：,

由解得，

或时，，当时，，

是的极大值点，

函数的极大值为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.

17．【答案】

【解析】由，，求导，根据，得到，由，得到.而，然后令，用导数法求解.

详解：令，，则，，

所以，，

因为，故，所以，

因为，故.

又，令，则，

当时，为减函数，

故，所以在上恒成立，

故在上为减函数，所以，即.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．【答案】

【解析】根据0<a<b<m，都有，令，则在上是减函数，由求解.

详解：因为0<a<b<m，都有，

令，

所以在上是减函数，

所以，

解得，

所以的最大值为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.