北师大版 (2019)7.2 实际问题中的最值问题综合训练题

【基础】7.2 实际问题中的最值问题练习

一．填空题

1．函数在上不单调，则实数a的取值范围是_____．

2．若函数在 上单调递减， 则实数的取值范围是_________.

3．函数在的最大值为________．

4．已知函数，常存在，使得，且，则的最小值为_______________.

5．函数的最小值是_____．

6．若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a的取值范围为___．

7．函数在区间上最大值与最小值的和为___．

8．函数的最大值是______________.

9．函数在区间上的最大值为__________.

10．已知在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数的最大值是    ．

11．函数的单调递减区间是__________.

12．已知函数在处取得极小值，在处取得极大值，且，则的取值范围是______.

13．函数在上的最大值是____．

14．f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如下图所示.令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的结论:

①若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称;

②若a=-1,-2<b<0,则方程g(x)=0有大于2的实根;

③若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有两个实根;

④若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有三个实根.

其中,正确的结论为________.

15．已知函数，若函数恰好有两个极大值点，则常数的取值范围是______.

16．函数在区间上的最小值为______.

17．已知函数，存在不相等的常数，，使得，且，则的最小值为____________.

18．已知函数，现给出下列结论：

①有极小值，但无最小值

②有极大值，但无最大值

③若方程恰有一个实数根，则

④若方程恰有三个不同实数根，则

其中所有正确结论的序号为_________

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求得函数的导函数，根据在区间上有极值，求得的取值范围.

详解：，令得，

由于，

分离常数得.

构造函数，，所以在上递减，在上递增，.

下证：

构造函数，，当时，①，

而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.

由于，所以当时，，故，也即.

由于，所以.

所以的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

2．【答案】

【解析】由已知可得在上恒成立在 上恒成立.

考点：1．导数及其应用；2．函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数及其应用．函数与不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力．等价转化能力．运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题,在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.由已知可得在上恒成立在上恒成立.

3．【答案】

【解析】由，当时，，所以函数在单调递增，故.

4．【答案】

【解析】首先求出函数的导数，因为存在，使得，即方程在上有两个不相等的实数根，则，

所以，，，构造函数，利用导数求出函数在上的最小值，即可得解.

详解：解：因为的定义域为，

令即，，

因为存在，使得，且，

即在上有两个不相等的实数根，且，

所以，

令，

则，当时，恒成立，

所以在上单调递减，，即的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值．单调性及最值，属于难题.

5．【答案】

【解析】对求导，讨论函数的单调性，求函数的极小值即为最小值.

详解：，令，则时，时，在上单调递减，在上单调递增.是函数的唯一极小值点，即为最小值点，.

故答案为: .

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调性和最值，属于基础题.

6．【答案】a≥﹣1.

【解析】将函数f（x）在（0，）上单调递减，转化在（0，）上恒成立 即在（0，）上恒成立 再求最大值即可.

详解：因为函数f（x）在（0，）上单调递减，

所以在（0，）上恒成立 ，

即在（0，）上恒成立 ，

因为，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

7．【答案】

【解析】先求出，根据导数的方法判定单调性，即可得出其单调区间，列出表格，即可得出其最小值与最大值．

详解：函数，，

令，又，解得．

列表如下：

由表格可知：当时，取得极大值，也是最大值，

；

由，．

，

所以最小值为．

因此最大值与最小值的和为.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查导数的方法求函数的最值，熟练掌握利用导数研究函数的单调性．极值与最值是解题的关键，属于常考题型.

8．【答案】

【解析】通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.

详解：，

当，，所以在上单调递增；

当，，所以在上单调递减；

所以.

【点睛】

一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

9．【答案】

【解析】求出导函数，，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果．

详解：数，

，

，，

，

当，时，函数单调递增；

函数在区间，上的最大值为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．【答案】3

【解析】详解：因为在区间[1，+∞）上是单调增函数，所以在区间[1，+∞）上恒成立，因此

11．【答案】

【解析】对函数求导，再解不等式，既得答案.

详解：因为函数，可得

因为，所以当，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间，属于简单题.

12．【答案】

【解析】求导数，利用导函数的图象开口向下且，得，的约束条件，根据据线性规划求出目标函数的最值，即可求得的取值范围．

详解：由，所以，

由函数在处取得极小值，在处取得极大值，

所以，是的两个根，且导函数的图象开口向下，

 由，得，

 即 , 化简得，

满足条件的约束条件的可行域如图阴影部分所示：

令，则当直线，经过点时，取得最大值，

联立方程 ，可得点的坐标为，

所以，

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数的极值以及不等式求解函数的最值，同时考查了学生的转化思想，考查分析问题解决问题的能力．

13．【答案】

【解析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．

详解：函数，，令，解得．

因为，函数在上单调递增，在单调递减；

时，取得最大值，．

故答案为．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性．极值与最值是解题的关键．

14．【答案】②

【解析】由函数为奇函数，当时与有相同的奇偶性；的图象可由上下平移得到．充分利用以上知识点逐项分析即可解答．

详解：①若，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以①错误；

②当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，所以②正确；

③若，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，

那么仍有三个零点，所以有三个实根，所以③错误；

④若，则的图象由的图象向上平移2个单位长度，它此时有2个零点，即有二个实根，所以④错误．

故答案为：②．

【点睛】

本题考查奇函数的图象特征及函数与的奇偶性关系，同时考查由到的图象变化．属于中档.

该题考查利用导数研究函数的单调性．极值，考查数形结合思想，属中档题．

15．【答案】

【解析】利用导数研究的单调性，结合函数图像的上下平移以及翻折变换，列出不等式即可求得.

详解：因为，故可得，

令，故可得或，又，

故在区间单调递增，在单调递减，在单调递增.

其函数示意图如下所示：

若得到，即将进行上下平移，

且将关于轴进行翻折变换，

若满足题意，只需的图像如下所示：

则向上平移应小于个单位，向上平移应小于个单位，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值点，涉及函数平移以及翻折变换，属综合困难题.

16．【答案】

【解析】首先求出函数的导数，再令．得到函数的单调性，从而可得函数的最值；

详解：解：因为，则定义域为

所以

令解得，即在上单调递增，令解得，即在上单调减，

所以在处取得极小值，也就是最小值且，

又因为，，

所以函数在区间上的最小值为，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.

17．【答案】

【解析】求出，由已知可得为的两根，求出关系，并将用表示，从而把表示为关于的函数设为，利用的单调性，即可求解.

详解：因为的定义域为，

，

令，即，，

因为存在，，使得，且，

即在上有两个不相等的实数根，，

且，，所以，，

∴

，

令，

则，

当时，恒成立，

所以在上单调递减，

∴，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查最值问题．根与系数关系．函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理．计算求解能力，属于中档题.

18．【答案】②④

【解析】

所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；

因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性．草图确定其中参数范围．从图象的最高点．最低点，分析函数的最值．极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性．周期性等．