北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义同步测试题

【精品】7.1 实际问题中导数的意义-1同步练习

一．填空题

1．若是函数的极值点，则在上的最小值为______.

2．若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为________．

3．设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的x的取值范围是_________．

4．函数在区间上的最大值是__________.

5．已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为______．

6．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是______.

7．已知定义域为的函数，，若存在唯一实数，使得，则实数的值是__________.

8．函数y＝3x3﹣9x+5在[﹣2，2]的最大值与最小值之差为_____

9．若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.

10．设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为__________.

11．已知函数.若，则实数a的取值范围是________.

12．已知函数存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.

13．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.

14．已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.

15．若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________

16．函数y＝x2？lnx的图象在点（1，0）处切线的方程是_____．该函数的单调递减区间是_____．

17．已知函数，，若关于x的方程有3个不同的实数根，则实数a的取值集合为________.

18．若对任意a，b满足0<a<b<m，都有，则实数m的最大值为_____________________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间上的最小值．

详解：，

则，解得，所以，

则.令，得或；

令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.

【点睛】

本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a．

2．【答案】

【解析】先采用参变分离将等价转化为，结合题意应该是m小于等于右边函数的最大值，利用导数求出其最大值即可.

详解：因为

所以等价于，

记，由题意知，

因为，

所以当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以当时，，

而，，又，

所以，

所以

所以实数的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查函数的能成立问题，区间能成立或恒成立问题经常采用参变分离法转化为函数的最值问题，复杂函数最值可利用导数求解，属于难题.

3．【答案】3     

【解析】有奇偶性可求得第一空；设，利用导数求得函数的单调性，再根据单调性解不等式即可．

详解：解：∵是奇函数，∴，

设，则，，

∴在上单调递减，

由得，即，

∴，得，

故答案为：3；．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题．

4．【答案】6

【解析】利用导数求出极值，然后求区间端点处的函数值，进行大小比较即可．

详解：对求导可得，

令y′=0，得x=1或-1，

当x=1，y=-6，当x=-1，y=6，当x=2，y=6，当x=-2，y=-6，

所以函数在区间[？2,2]上的最大值为6，

故答案为：6.

【点睛】

本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属于导数的基础应用，求出极值与端点处函数值，最大的即为最大值，属于基础题.

5．【答案】

【解析】构造函数，则，所以的单调递减，将转化成，又，再根据函数单调性即可求出结果.

详解：设，所以，

因为，所以，所以在上为减函数，

因为函数是定义在上的增函数，所以，所以在上恒成立，又因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，又在上为减函数，所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.

6．【答案】

【解析】构造函数，利用导函数研究其单调性求解最小值，只需即可，再次构造函数利用导数研究其单调性求解最小值，即可求的取值范围．

详解：由题意，令则

令，可得当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，

，

，

即等价于，

令

则令可得：，

当时，递减，时，递增，

当时，所以的解集为

的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数恒成立问题，构造函数利用导数研究其单调性求最值是解答本题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于难题.

7．【答案】0

【解析】通过导数，分别研究和的单调性和最值，得到，，从而得到，得到，，从而得到的值.

【详解】

，，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以.

，，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以.

所以，当且仅当时，等号成立.

而存在唯一实数，使得，

所以可得，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，根据函数的最值求参数的值，属于中档题.

8．【答案】12

【解析】对该函数进行求导，判断单调性，根据单调性求解函数在区间上的最值.

【详解】

因为y＝3x3﹣9x+5，

故，

令，又，解得和，

故函数在和上单调递增；

令，又，解得,

故函数在单调递减.

则函数在上的最大值

；

则函数在上的最小值

；

故该函数的最大值与最小值的差为

故答案为：12.

【点睛】

本题考查由导数求函数的最值，属导数应用基础题.

9．【答案】

【解析】设，先计算，再讨论，，三种情况计算得到答案.

【详解】

设，

若判别式，则有解，设一解为，

则时，不满足恒成立，

则，此时，

因为，

①即时，函数在单调递减，，则，即，不满足题意；

②即时，记较小值为，则在单调递增，

由可得，即，不满足题意；

③即时，在，递减，

则，，则成立，综上.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.

10．【答案】

【解析】构造函数，由题意，只需解即可，利用导数研究的单调性即可得到答案.

详解：设，不等式的解等价于不等式的解，

因为，

所以在R上单调递增，又，

所以，所以，所以原不等式的解集为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.

11．【答案】

【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，从而脱去解不等式即可.

详解：由可知，

函数为奇函数，

在上恒成立，所以为增函数，

由得，即，

等价于，解得，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性．单调性的综合应用，属于中档题.

12．【答案】

【解析】计算，可知唯一零点，同时可知该函数为奇函数，转化为当时，函数无零点，利用不等式，以及构造函数，最后有导数进行判读即可.

详解：由题可知：函数定义域为且

因为函数存在唯一零点

所以只有一个零点0

因为

所以函数为奇函数，故只考虑当时，函数无零点

当时，有，

所以

令，则

因为

所以函数在上单调递增，又

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查函数零点问题，熟练使用等价转化的思想，化繁为简，掌握函数零点问题等价于方程根的问题又等价于两函数图象交点问题，属中档题.

13．【答案】

【解析】设，判断 为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.

【详解】

设，

则在是偶函数，

当时，，

由得，

记，

，，

故函数在增，而，

所以在减，在增，，

当时，，当时，，

因此的图象为

因此实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.

14．【答案】

【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.

点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

15．【答案】

【解析】先通过函数在存在极值点，求出的范围，再根据在单调，求出和之间的不等关系，再结合已求出的的范围，得最终的范围.

【详解】

解：因为函数在存在极值点，所以，即，

当，又在单调，

所以，即，

解得，只能取，即，

综上，，

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于和之间的不等关系，是中档题.

16．【答案】y＝x﹣1    （0，e）． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，结合导数与单调性的关系可求函数的单调递减区间．

详解：函数y＝x2？lnx的导函数为。

所以函数图像上点处的切线的斜率为.

故图象在点（1，0）处切线的方程是.

又由，解得：

所以函数的单调递减区间为：

故答案为：， 

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义及导数在单调性判断中的应用，属于基础试题．

17．【答案】

【解析】由，根据关于 x的方程有3个不同的实数根，分所以方程在有1个根，在有2个根和方程在有2个根，在有1个根，利用判别式法和导数法求解.

详解：，

因为关于 x的方程有3个不同的实数根，

如图所示：

则.

当时，若方程有1个实数根，

联立得，即，

则，

解得：，

此时，

令，

，

当时，，当时，，

所以时，函数取得极小值：，

又，

所以当时，方程在有1个根，在有2个根，符合题意.

当时，若方程有2个实数根，

则，解得：，

此时则需方程在有1个根，

令，

所以，

当时，，当时，，

所以时，函数取得极小值：，

令，

则，

解得，

所以，符合题意.

综上：若关于x的方程有3个不同的实数根，则实数a的取值集合为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查考查函数与方程，导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.

18．【答案】

【解析】根据0<a<b<m，都有，令，则在上是减函数，由求解.

详解：因为0<a<b<m，都有，

令，

所以在上是减函数，

所以，

解得，

所以的最大值为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.