北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值复习练习题

【优编】6.2 函数的极值-1课堂练习

一．填空题

1．已知函数，，若函数有个零点(互不相同)，则实数的取值范围为__________．

2．已知函数，，若对于任意，总是存在两个不同的，，使得，则实数a的取值范围为_____________.

3．设函数在定义域(0，+∞)上是单调函数，，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是______．

4．已知函数，若使得成立则的最小值是__________.

5．已知函数f(x)＝x2－alnx＋x－，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是______．

6．设函数f(x)＝，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，则实数a的范围 _____

7．已知函数下列四个命题：

①f(f(1))>f(3)；               ②x0∈(1,+∞),f'(x0)=-1/3；

③f(x)的极大值点为x=1；       ④x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1

其中正确的有_________（写出所有正确命题的序号）

8．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围__________

9．已知函数的极小值大于0，则实数的取值范围为_________.

10．已知函数在上是增函数，函数，若（为自然对数的底数）时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

11．设函数，，其中．.若恒成立，则当取得最小值时，的值为______.

12．已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为______.

13．若函数（是自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数的取值范围为________.

14．己知函数有极值，则实数的取值范围为_____________

15．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______；若，则函数的所有极值点之和为_______.

16．已知函数在上存在唯一零点，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上）

①；②；③；④.

17．已知函数，存在，使得成立，则实数的取值范围为_______.

18．已知，是函数，的两个极值点，若，则的取值范围为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】可先对求导，结合图像判断有三个交点的区间，又函数，可先画出的图像，结合图像判断有两个交点的取值范围，结合取值范围进一步判断即可

【详解】

由，令得或，

当，单调递增；当，单调递减；

当，单调递增，

函数的极大值为，极小值为，画出函数图像，如图：

当有三个交点时，；

再根据题意画出图像，如图：

当时，要使，即函数图像在时，与要有两个交点，如图：

，故

故答案为：

【点睛】

本题考查根据函数零点个数求解参数取值范围，分段函数图像的画法，导数判断函数最值，数形结合的思想，综合性强，属于难题

2．【答案】

【解析】利用导数求出在上的值域，利用导数求出在上不同的对应相同的的范围，根据题意可得，列不等式即可求得实数a的取值范围．

【详解】

解：，，

，

可得：函数在上单调递增，在上单调递减．

而．

．

，

在上单调递增，

又，

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

时，．

令．

对于任意，总是存在两个不同的，

使得．

，且．

解得．

∴实数a的取值范围为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值．方程与不等式的解法．等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

3．【答案】

【解析】先利用换元法求出，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题．

【详解】

解：由题意可设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

由得，

∴对恒成立，

令，，则，

由得，

∴在上单调递减，在单调递增，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．

4．【答案】

【解析】由，求出的表达式，从而得到的表达式，设，利用导数得到其最小值，即可求出的最小值.

【详解】

由题意 ，即

所以

所以

设 ，则

令，可得

由当时，可得递增

当时，，递减

当时，递增

即在处取得极小值且为最小值

则的最小值是

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数在研究函数中的应用以及对数和指数的运算，属于难题.

5．【答案】(－∞，1]

【解析】分离参数m，根据函数单调性求出函数的最小值，根据函数最小值判断.

【详解】

对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≥mx恒成立，即恒成立，即，又当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，所以.因为

所以问题等价转化为在上恒成立，即在上恒成立.

设（），

①当时，因为，所以，因此在上是单调递增函数，所以，即在上恒成立；

②当时，在上，有；在上，有，所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数.当，有，即在上不恒成立.综合①②得：实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了利用参变分离法解决含参的不等式恒成立问题，考查了学生综合分析．转化与划归．分类讨论，数学运算能力，属于难题.

6．【答案】

【解析】由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a<0，结合导数求得最小值，解不等式即可得到所求范围.

【详解】

若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，即.

当a≠0时，当x＝时，－ax2＝0.

①当a＝0时，f(x)＝在(－∞，0)上的值域为(0，＋∞)，满足要求；

②当a<0时，f(x1)min＝f()＝0，而f(x2)>0恒成立，所以不可能有f(x2)≤f(x1)；

③当0<a≤时，f(x2)min＝f（）＝0，而f(x1)≥0恒成立，满足要求；

④当a>时，设g(x)＝－ax2，则g′(x)＝－－2ax＝

易得g(x)在上递增，在上递减，在(2,)单调递减

所以,

所以

综上：

【点睛】

本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

7．【答案】①    ②    ③    ④

【解析】

函数 的图形如图所示，对于① ，，①正确；对于② ， 时，，故 ②正确；对于③，根据图形可判断③ 正确；对于④ ， 时， ，故④正确，故答案为① ② ③ ④.

【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数的极值，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1．确定方程根的个数；2．求参数的取值范围；3．求不等式的解集；4．研究函数性质．

8．【答案】

【解析】由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a<0，结合导数求得最大．小值，解不等式即可得到所求范围.

【详解】

解：恒成立  只需

由得：，令解得：

在单调递减，在单调递增

，恒成立

即只需

当时，令

则，与矛盾

当时，  解得

在单调递增，在单调递减

综上所述：

【点睛】

本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

9．【答案】

【解析】对求导，求出极小值点，然后判断的单调性求出极小值，再由的极小值大于0，建立关于的不等式，求出的范围．

【详解】

解：由，得，

令，则，

因为的极小值大于0，

必有极小值点，故，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以极小值，

所以，

综上，的取值范围为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．

10．【答案】

【解析】对求导令解得，要使不等式恒成立，只要使即可，再根据的范围无法直接得出，对分情况讨论，分别求出，。

【详解】

∵函数在上是增函数，

∴在上恒成立，即

要使不等式恒成立，只要使即可

当时，，

①当时，，

可以看出，在上单调递减，

∴，

，

即。

②当时，，在上单调递减，

∴，

，即无法成立。

综上所述，实数的取值范围是。

故答案为：。

【点睛】

本题考查了分情况求含参绝对值型函数的最值问题，遇到绝对值要去绝对值，分成绝对值内表达式大于等于0和小于0（或大于0和小于等于0）两种情况去讨论，写成分段函数的形式。本题属于中等题。

11．【答案】

【解析】构造函数，可知该函数关于点对称，然后分．．三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出函数在区间上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当取得最小值时的值.

【详解】

构造函数，则，

由于，

所以，函数的图象关于点对称，且.

①当时，，函数在区间上单调递增，

则，

所以，

此时，当，时，取最小值；

②当时，对任意的，，函数在区间上单调递减，

则，

所以，

此时，当，时，取最小值；

③当时，令，得，令，列表如下：

不妨设，则，则，

，

，且，，

，若，则，

若，则，但，

，

所以，.

当时，，

当且仅当，时，即当，时，取得最小值;

当时，.

综上所述，当，时，取得最小值，此时.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

12．【答案】

【解析】令，确定在上单调递增，，解不等式得到答案.

【详解】

令，当时，，

在上单调递增．

因为是偶函数，所以是奇函数．

因为，所以．

不等式等价于，所以或，解得或．

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.

13．【答案】

【解析】先将函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点，转化为λ有两不等实根，令g（x），则直线y＝λ曲线g（x）有两不同交点，用导数方法判断函数g（x）单调性，作出函数g（x）的大致图象，结合图象即可得出结果．

【详解】

解：为函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点，

所以λ有两不等实根，令g（x），

则直线y＝λ与曲线g（x）有两不同交点，

又，

令g′（x）＝0得x＝2，

所以，当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

所以g（x）max，

又g（1）＝0，当x＞1时，，

所以，作出g（x）的大致图象如下：

由图象可得：0＜λ，

故答案为：（0，）．

【点睛】

本题主要考查导数的应用，先将函数零点问题转化为直线与曲线交点问题，用数形结合的思想处理，属于常考题型．

14．【答案】

【解析】求出函数的导函数，则有可变零点，求三角函数的值域得到结果.

【详解】

由可得：，

∵函数有极值，

∴有可变零点，

∴，即，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.

15．【答案】     

【解析】求出导函数，仅在处有极值，则恒成立，由此可得的范围；时可求得的所有极值点，然后求和。

【详解】

，如果仅在处有极值，那么的,∴.

当时，，三个极值点为,，所以极值点的和为。

故答案为：；.

【点睛】

本题考查函数的导数与极值问题，要注意对导数存在的函数，函数的极值点不仅要导数值为0，还要在此点两侧导数值符号相反，否则不是极值点．

16．【答案】①③

【解析】有唯一解，即的根为.令，求出，研究的性质，而在上有唯一解，在上递减，在上递增，考虑和时函数的变化，只能有，这样可判断①③正确，②错误，结合③再由零点存在定理判断④错误。

【详解】

由题意知有唯一解，即的根为.令，，令得，当时，有唯一解，满足，故在上单调递减，上单调递增.又因为，，因此，即，故.另外，令，故在上单调递增，，故④错误.

故答案为：①③。

【点睛】

本题考查函数零点分布问题，首先把问题转化，使得要研究的函数简单化，再利用导数研究此函数性质，得出零点需满足的条件。本题难度较大，属于困难题。

17．【答案】

【解析】由于时，，则转化为，只要求得在上的最小值即可．

【详解】

易知当时，，

存在，使得成立，则，

设，则，∴．

当时，，单调递减，所以．

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，考查不等式恒成立问题．解题关键是把不等式恒成立转化为求函数最值．本题属于中档题．

18．【答案】

【解析】先由题得所以，.化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.

【详解】

由题得函数的定义域为，

，

所以是方程的两个实数根，

所以，

因为，，

所以，

所以.

所以

=

记，

所以

由，

所以在单调递减，

又由洛必达法则得当时，，即，

所以函数g(x)的值域为.

即的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.