北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义课后复习题

【优选】7.1 实际问题中导数的意义-1课堂练习

一．填空题

1．已知函数f（x）＝aex﹣x+2a2﹣3的值域为M，集合I＝（0，+∞），若I？M，则实数a的取值范围是_____．

2．若函数仅有1个零点，则实数的取值范围是______.

3．已知定义在上的函数的导函数为，若对于任意都有，且，则不等式的解集为________.

4．已知函数，下列说法正确的是__________.的值域是；当时，方程 有两个不等实根；若函数有三个零点时，则；经过有三条直线与相切.

5．函数的极大值为______.

6．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是：_______.

7．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是________．

8．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：

①-2是函数的极值点

②1是函数的极小值点

③在x=0处切线的斜率大于零

④在区间(-，-2)上单调递减

则正确命题的序号是   ．

9．设当时，函数的最大值为______.

10．已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是_________.

11．已知，若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是_______．

12．曲线在点处的切线方程为__________.

13．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.

14．已知函数在取得极值，则的取值范围为_______.

15．设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：______．

16．函数在上极大值为M，极小值为N，则M－N=_____.

17．已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为________．

18．若实数满足方程，实数满足方程，则函数的极大值为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意可知的最小值小于等于0，求导数，可看出时满足题意，

时可求出的最小值，由最小值小于等于0即可求出的范围，最后求并集即得实数的取值范围．

详解：由题意，的最小值小于等于0；

；

若，则在上单调递减，

当

即的值域为，满足题意；

②若时，函数在上单调递减，在上单调递增；

时，取极小值即最小值，；

令，；

则，即在上单调递增，

又，要使

；；

综上可得，实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查应用导数求函数的值域，对参数分类讨论是解题的关键，属于中档题．

2．【答案】(或)

【解析】令 分离常数，构造函数，利用导数研究 的单调性和极值，结合 与 有一个交点，求得 的取值范围．

详解：解：方程 可化为，令，有

，

当时，；当或时，，

所以函数 的增区间为，减区间为，，

可得 处 取得极小值 0， 处取得极大值，

画出 的图象和直线，

可得当时， 和 的图象有 1 个交点．

故答案为：．

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性．极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．

3．【答案】

【解析】设函数，利用导数结合可得在上单调递减，将化为可解得结果.

详解：即为，设函数，

则，所以在上单调递减，

又因为，所以，不等式可化为，即，所以，故解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题.

4．【答案】①②③

【解析】①：结合导数，用函数的单调性和奇偶性，求得的值域；②利用导数，证得方程 有两个不等实根；③根据为偶函数，故可先考虑的情况，再由对称性得到的情况.当时，首先确定是函数的零点，令，分离常数，利用导数求得的取值范围.再根据对称性，求得的取值范围.④利用导数，求得过的切线的条数.

【详解】

①函数的定义域为，且，所以为偶函数，图像关于轴对称.当时，，，.令解得，所以在上递减，在上递增，，所以，所以在上单调递增，从而.由于为偶函数，所以在上单调递减，且.所以的值域是.故①正确.

②显然，是方程的根.方程可化为.当时，即.根据①的分析，结合图像可知，当时与的图像没有公共点.故只需考虑的情况.由得，即.构造函数，，，令，解得.所以在上递减，在上递增，且，所以存在，使得.故在上递减，在上递增.，所以存在，使.综上所述，当时，方程 有两个不等实根成立，故②正确.

③为偶函数，故可先考虑的情况.当时，函数为，故方程有三个不相等的实数根.首先是方程的根.

先证：令，，，令解得.所以在上递减，在上递增.，当，.若，即，则在区间上先减后增，在区间上至多只有两个零点，不符合题意.故.

故下证：当时，由得有两个不同的实数根.构造函数，.令，，,所以在上单调递增，所以当时，.所以由可知在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，所以.

综上所述，的取值范围是.由于为偶函数，根据函数图像的对称性可知的取值范围是.故③正确.

④当时，设经过点的切线的切点为，，，故切线方程为，将代入上式得，化简得.令，，,所以在上单调递增.所以方程解得或.所以当时，有两条切线.根据为偶函数，所以当时，也有两条切线方程. 所以经过有四条直线与相切，④错误.

特别的，当时，，，即当时，在处的切线的斜率为.当时，，即当时，在处的切线的斜率为.

故答案为：①②③

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性．极值和最值，考查利用导数研究函数零点问题，考查利用导数研究函数图象的切线，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析．思考与解决问题的能力，属于难题.

5．【答案】

【解析】求函数导数，解得的根，判断导函数在两侧区间的符号，即可求解.

详解：,

由解得，

或时，，当时，，

是的极大值点，

函数的极大值为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.

6．【答案】

【解析】求得，由题意得知不等式对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，进而可求得实数的取值范围.

详解：，，

由题意可知，不等式对任意的恒成立，即，即.

因为函数在区间上单调递增，则，.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.

7．【答案】

【解析】计算导数，可知函数的单调性并可知最大值，然后进行判断和计算可得结果.

详解：由题可知：

令或

令

所以函数在单调递减，在单调递增

故函数的极大值为

所以在开区间内的最大值一定是，

又，所以，

得实数的取值范围是．

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数判断函数的单调性，考查分析问题的能力以及判断能力，属基础题.

8．【答案】①③④

【解析】观察的图象可知，，在的左．右侧导函数值由负变为正，所以①正确；

在的左．右侧导函数值均为正，所以，②不正确；

由图知，所以，③正确；

在，所以函数在是单调减函数，④正确.

综上知，正确命题的序号为①③④.

考点：应用导数研究函数的单调性．极值.

9．【答案】

【解析】首先求导得到，根据，，即可得到函数的单调区间，根据单调区间即可求出函数的最大值.

【详解】

.

因为，所以，

当时，，，为增函数.

当时，，，为减函数.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数单调性求函数的最值，同时考查了三角函数的思想，属于中档题.

10．【答案】

【解析】由，，求导，根据，得到，由，得到.而，然后令，用导数法求解.

详解：令，，则，，

所以，，

因为，故，所以，

因为，故.

又，令，则，

当时，为减函数，

故，所以在上恒成立，

故在上为减函数，所以，即.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．【答案】

【解析】当时，根据的单调性，可知若存在极值点，则两端点处的函数值一正一负；当时，由函数单调性知不合题意；当时，结合对号函数的性质可确定最值点所满足的范围；综合三种情况可得最终结论.

详解：当时，在上单调递增，，，

若在上存在最小值，则，即，解得：；

当时，，在上单调递增，不存在最小值，不合题意；

当时，，

，，

又（当且仅当时，即时取等号），

若在上存在最小值，则，解得：；

综上所述：的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数在区间内有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式，结合函数的单调性确定参数在不同范围内时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此可构造不等式求得结果.

12．【答案】

【解析】先求出的导函数，然后求出切线斜率，再写出切线方程即可．

详解：由，得，

在点，处的切线斜率，

又，在，处的切线方程为，

即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题．

13．【答案】

【解析】由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.

详解：已知定义在上的函数

若在定义域上有四个不同的解

等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，

联立可得有两个解，即

可设，则，

进而且不恒为零，可得在单调递增.

由可得

时，单调递减；

时，单调递增，

即在处取得极小值且为

作出的图象，可得时，有两个解.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.

14．【答案】

【解析】根据极值点的定义可确定，由此得到，将所求的取值范围转化为的值域的求解问题，利用导数可求得的值域，进而得到所求结果.

详解：，

在处取得极值，，则，

.

令，则，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

又当时，，，，，

综上所述：的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点与导数之间的关系．利用导数求解函数的单调性和最值的问题；关键是能够将问题转化为函数值域的求解问题，进而通过导数来研究函数的单调性和最值.

15．【答案】76

【解析】由题意可得：，

令可得，，

则函数关于点中心对称，据此可得：

，

则：.

16．【答案】

【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值作差即可．

详解：解：，，

，

令，解得：或，

令，解得：，

故在单调递增，在，单调递减，在，单调递增，

故的极大值为，

极小值为，

则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，属于基础题．

17．【答案】

【解析】利用导数求得在区间上的单调性和最值，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

详解：当时，，所以在区间上递减，最大值为，最小值为.

当时，在区间上没有零点，在区间上递增， 而，所以在区间上没有零点.所以不符合题意.

当时，，所以在区间上有唯一零点，所以不符合题意.

当时，在区间和区间上递减，要使的图象与轴有且只有两个不同的交点，则需，解得.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

18．【答案】

【解析】首先根据对称性，数形结合求得，再分和去绝对值，利用导数求函数的极大值.

详解：由条件可知与交点的横坐标是，和交点的横坐标是，由图象可知这两个交点关于直线对称，

联立 ，解得：，即这两个交点关于点对称，

所以

所以，当时，，，

所以在上，，是增函数，

在上，，是减函数，

所以在上有极大值，

而当时，函数，，

当时，函数单调递减，当时，，函数单调递增，无极大值.

综上，的极大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的零点，以及导数求函数的极值，重点考查数形结合分析问题，分类讨论思想，属于中档题型.