高中数学6.2 函数的极值同步测试题

【特供】6.2 函数的极值-1课时练习

一．填空题

1．若函数的单调递减区间为，则_________________.

2．已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为______．

3．已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣（2a+1）x在x＝1处取得极大值，则实数a的取值范围是_______

4．已知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数的取值范围是______．

5．如图有一个帐篷，它下部的形状是高为（单位：米）的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为（单位：米）的正六棱锥．则帐篷的体积最大值为_____立方米．

6．已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为______；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______.

7．已知函数，若，且，则的最小值是_____.

8．已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的取值范围为______．

9．若函数有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为________．

10．已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为______.

11．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，…，则a的取值范围是________．

12．已知关于的不等式有解，则整数的最小值为______．

13．若存在，使得函数与的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为________.

14．若函数（是自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数的取值范围为________.

15．己知函数在上是减函数，在上是增函数，那么的值为___________．

16．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.

17．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.

18．设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先对函数求导，得到，根据题意，得到不等式的解集为，从而方程的两个根分别为和；根据根与系数关系，即可求出结果.

【详解】

因为，所以，

又函数的单调递减区间为，

所以不等式的解集为，

即方程的两个根分别为和；

因此，解得：，因此.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查由函数的单调区间求参数，以及由不等式的解集求参数的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性，以及三个二次之间关系即可，属于常考题型.

2．【答案】

【解析】可分类讨论，时，恒成立，只要研究即可，这可用导数研究；时，可得与都是增函数，且都有唯一零点，因此只要使它们的零点相同即可满足题意；直接验证．

【详解】

时，不等式为，不恒成立；

时，，令，，由得，

当时，，递增，时，，递减，

∴时，，要使命题成立，则，；

时，函数是增函数，在唯一零点，

，，即增函数，，但当时，，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，

∴，，

综上的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题关键是把不等式中两个式子和分别研究，减少了难度．否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难，甚至不可进行．

3．【答案】（ ，+∞）

【解析】先求导，然后对进行讨论，使得的左侧对应的值大于零，右侧对应的值小于零，即可求出实数的取值范围.

【详解】

由，可得．

①当时，，由（1）知在内单调递增，

可得当时，，当时，．

所以在内单调递减，在内单调递增，

所以在处取得极小值，不合题意．

②当时，，在内单调递增，在内单调递减，

所以当时，单调递减，不合题意．

③当时，在上单减，

当时，单调递增，

当时单调递减．

所以在处取极大值，符合题意．

综上可知，正实数的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，学生往往忽视验证两侧的导数是否异号，是难题.

4．【答案】

【解析】根据求得的值，由此化简，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由于函数在上是增函数，所以恒成立，故，即，所以.故即在上恒成立，等价于①，或②.

由①得③，构造函数，，所以在上，递减，在上，递增，最小值为，所以③等价于，解得.

由②得④.由解得.根据和的单调性可知，当且仅当时，④成立.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.

5．【答案】

【解析】设出顶点到底面中心的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．

【详解】

解：设为，．

则由题设可得正六棱锥底面边长为：．

于是底面正六边形的面积为，

帐篷的体积为．

可得：．

求导数，得．

令，解得（舍去），．

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

当时，有最大值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

6．【答案】     

【解析】（1）利用导数求得函数的单调区间，由此求得的最大值.

（2）对因式分解，将此方程有三个不同实数解，转化为，的解的个数来求解的取值范围.

【详解】

（1）的定义域为，，故在上递增，在上递减，所以是的极大值也即是最大值.

（2）由（1）知在上递增，在上递减，最大值为.

当时，当时，，当时，.

由，即.

由上述分析可知有一个解.故需有两个不同的解，由上述分析可知，解得.所以实数的取值范围是.

故答案为：（1）；（2）.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的最大值，考查利用导数研究方程的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

7．【答案】

【解析】根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.

【详解】

因为函数在上递增,在上也递增,且时,,

所以,所以,,

所以,即,

所以,,

令,

则,

当时,,当时,,

所以在上递减,在上递增,

所以时,取得最小值.

即的最小值是:.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.

8．【答案】

【解析】求导可知函数在上为增函数，进而原问题等价于对于任意的，均有，构造函数，则函数在上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．

【详解】

解：，

任意的，恒成立，所以单调递增，

不妨设，则，又，

故等价于，

即，

设，

易知函数在上为减函数，

故在上恒成立，即在上恒成立，

设，

则，

故函数在上为减函数，则，故．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．

9．【答案】或

【解析】先求解导数，结合导数的符号，确定函数的单调性，结合极值情况可求.

【详解】

，

当时，时，，时，，所以有极小值，由题意，令可得；

当时，，显然成立；

当时，，为增函数，且有，显然成立；

当时，时，，时，，时，，所以有极大值，显然成立；

当时，时，，时，，时，，所以有极小值，有极大值，

，若函数有且仅有1个零点，

则需要，即，

易知当时，恒成立.

综上可得或，故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查利用导数求解函数的零点问题，零点问题一般是结合导数，研究函数的单调性，极值等，结合图象走势情况进行求解，难度较大，综合性较强，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

10．【答案】

【解析】令，确定在上单调递增，，解不等式得到答案.

【详解】

令，当时，，

在上单调递增．

因为是偶函数，所以是奇函数．

因为，所以．

不等式等价于，所以或，解得或．

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.

11．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或

考点：函数单调性

点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况

12．【答案】

【解析】令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最小值.

【详解】

构造函数，则，

对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增.

，.

由零点存在定理知，存在，使得.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得最小值，

即，

由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，

所以，当时，，

，使得，，

因此，整数的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键就是利用极值点所满足的等式来进行代换计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

13．【答案】

【解析】分别求出函数与的导函数，设公共点为，则解得，又，则，令，求出函数的导数，研究函数的最值.

【详解】

解：设曲线与的公共点为，

因为，

所以，化简得，

解得或，

又，且，则.

因为.

所以.

设，所以，

令，得，

所以当时，；当时，.

即在上单调递增，在上单调递减，

所以b的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.

14．【答案】

【解析】先将函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点，转化为λ有两不等实根，令g（x），则直线y＝λ曲线g（x）有两不同交点，用导数方法判断函数g（x）单调性，作出函数g（x）的大致图象，结合图象即可得出结果．

【详解】

解：为函数f（x）＝λex﹣x+1有两个不同的零点，

所以λ有两不等实根，令g（x），

则直线y＝λ与曲线g（x）有两不同交点，

又，

令g′（x）＝0得x＝2，

所以，当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

所以g（x）max，

又g（1）＝0，当x＞1时，，

所以，作出g（x）的大致图象如下：

由图象可得：0＜λ，

故答案为：（0，）．

【点睛】

本题主要考查导数的应用，先将函数零点问题转化为直线与曲线交点问题，用数形结合的思想处理，属于常考题型．

15．【答案】

【解析】首先求出导函数，由函数在上是减函数，在上是增函数，

可得，代入求解；导函数等于零不一定为极值点，再验证即可.

【详解】

解:,

由题意得:,

即，解得: ,

时，，

,

令，解得:，

令，解得: ，

故在上是减函数，在上是增函数，

符合题意，.

故答案为: .

【点睛】

本题主要考查利用导函数判断函数的单调性，由函数的单调性求参数的取值范围，注意：

 “”是“为极值点”的必要不充分条件.

16．【答案】

【解析】先求的极小值点，的极小值点在区间上，由此可得的范围．

【详解】

，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点．

∵函数在区间上有最小值，即为极小值．

∴，解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数与最值的关系．连续函数在的最小值就是极小值，最大值就是极大值．但在是的最值不一定是极值．

17．【答案】

【解析】令，，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围.

【详解】

令，，.

当时，，故在为增函数，

故在上的值域为.

又当时，，当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数.

令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，

故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，

而，且在上为减函数，在上为增函数，

故，所以，即.

故答案为：.

【点睛】

本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题.

18．【答案】

【解析】由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y＝g（x），设F（x）＝f（x）﹣g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F（x）的单调性和最值，从而可判断出的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．

【详解】

解：由题意得，f′（x），f（x0）（x＞0），

即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），

所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：

y﹣（）＝（）（x﹣x0），

则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），

设F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，

则F（x0）＝0，

所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）（）

当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，

∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，

当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；

∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，

∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．

若x0＝e，0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，

当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，

故，

即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，

综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，

又f（e），所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题．新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．