高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题达标测试

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【精挑】7.2 实际问题中的最值问题-1课时练习一．填空题1．下列命题中正确的命题序号是_________  ①命题“若则或”的否命题是“若则或”；②不等式中当且仅当取等号；③函数的最小值为4；④若函数在上满足，则在上单调递增；⑤函数的导数是2．已知不等式恒成立，则的最小值为______.3．已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是_______.4．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____________.5．已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则的取值范围为________.6．当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________．7．若在上单调递减，则实数取值范围__________.8．函数的最小值为______________．9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________．10．函数在上不单调，则实数a的取值范围是_____． 11．若函数在是增函数，则的最大值是________.12．若函数在区间单调递增，则的取值范围是__________.13．已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____.14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．15．已知函数，则__________.16．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_______________________．17．已知函数的定义域为，其导函数为，对任意，恒成立，且，则不等式的解集为________.18．已知函数，若，都有：，则实数的最小值是___________.
参考答案与试题解析1．【答案】②⑤【解析】分析：根据否命题的条件和结论都否定，则①错误；由三角不等式性质知②正确；由基本不等式求函数最值的等号成立条件知③错误；由函数的导数与单调性知④错误；由求导公式得⑤正确.详解：①命题“若则或”的否命题是“若则且”；故①错误；由三角不等式性质知②正确；③函数，当且仅当，即时等号成立，，故③错误；若可导函数在上满足，则在上单调递增；故④错误；由求导公式得⑤正确.故答案为：②⑤【点睛】函数的单调性与导数的关系函数在某个区间内可导：(1)若，则在这个区间内单调递增；(2)若，则在这个区间内单调递减；(3)若，则)在这个区间内是常数函数．2．【答案】【解析】分析：令，求得，求得函数的单调性与最大值，得到，得到，设设，设，得到，利用导数求得函数最大值，即可求解.详解：令，其中，可得，当时，，此时函数单调递增，无最大值，不符合题意；当时，令，即，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，因为恒成立，即恒成立，即，可得恒成立，设，设，可得，则，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：3．【答案】【解析】先对函数求导，判定其单调性，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.详解：因为，所以，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；画出函数的大致图象如下，当时，由得或，为使满足关于的不等式恰有两个整数解，只需，即；当时，由得，即或，所以，不能满足题意；当时，由得或，所以，不能满足题意；综上，.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.4．【答案】【解析】不等式变形为（），然后求出函数的最小值即可得．详解：∵，∴不等式可化为，设，，当时，，递减，时，，递增，∴，不等式在上恒成立，则．故答案为：．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．5．【答案】【解析】可知，从而根据条件可判断为减函数或存在极值点，求导数，从而可判断不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程有解，这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围.详解：，要满足，使得成立，则函数为减函数或存在极值点，，当时，不恒成立，即函数不是减函数，只能存在极值点，有解，即方程有解，即，，故答案为：【点睛】本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性．极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.6．【答案】【解析】分析：先对不等式进行整理，得到对恒成立，设，利用导数求出的值域，然后根据一次函数保号性得到关于的不等式组，通过配凑系数，得到答案.详解：因为对恒成立，两边同除以得对恒成立，故令，，不等式转化为，，令得，所以，，单调递减，，，单调递增，所以时，取最小值为，当时，；当时，；所以的值域为，根据一次函数保号性可知令，得，解得，所以，故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题.7．【答案】【解析】由题可知，求导，由于在上单调递减，则转化为在上恒成立，分离参数法，转化为在上恒成立，构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出即可得出取值范围.详解：解：，，由于在上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，设，，知，时，，单调递增，，，即实数取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求参数范围，以及利用函数解决恒成立问题，考查转化思想和计算能力.8．【答案】【解析】先求出，得出单调性，从而得到最小值.详解：因为，定义域为由，得，，得，所以在上单调递减，在上单调递增，故．故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.9．【答案】【解析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立，再分类讨论即可得答案.详解：解：因为函数在上单调递增，所以在区间上恒成立，当时，显然在区间上恒成立，当时，因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，所以 在区间上恒成立，所以综上实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.10．【答案】【解析】，令得，由于，分离常数得.构造函数，，所以在上递减，在上递增，.下证：构造函数，，当时，①，而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.由于，所以当时，，故，也即.由于，所以.所以的取值范围是故答案为：11．【答案】3【解析】首先求出函数的导函数，因为函数在是增函数，所以在恒成立，令，，利用导数说明其单调性，求出，即可得到参数的取值范围与最大值；详解：解：因为所以又因为函数在是增函数，所以在恒成立，即在恒成立，令，所以令，解得或，则，在上单调递增，所以，所以，故的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查函数单调性的应用．函数导数与函数单调性之间的关系．不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．12．【答案】【解析】等价于在区间上恒成立，分离参数后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值．详解：解：函数在区间单调递增，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令其在上单调递增，，当时，时，函数递减，时，；函数递增，；故答案为：．【点睛】该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．13．【答案】【解析】对于函数求导，可知或 时，， 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解.详解：对于函数，当或 时，，当时，，所以 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数，所以 ，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【答案】．【解析】详解：分析：由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式的解集．详解：由图象特征可得，导数，在上，在上，所以等价于或，解得或，即不等式的解集为．点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求得函数的单调性是本题解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．15．【答案】e【解析】，令得所以16．【答案】【解析】当，函数在上单调递增，且时， ，时， ，所以不可能存在唯一的整数，使得，所以不符合题意，当时，由于，所以，令，，其定义域为， 则，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值，又由．，当时，画出函数的大致图像，又由函数的图像是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象（如图），过点的直线介于．之间时满足条件，直线过点时，的值为2；该直线过点时，的值为，由图知的取值范围是．故答案为：.17．【答案】【解析】构造函数，由变形得，即，再根据的单调性即可求解.详解：令，，所以单调递增，不等式，等价于，因为，所以等价于，则，又，故的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数的单调性解不等式，解题的关键是会构造函数，考查学生的灵活应变能力.18．【答案】1【解析】分析：由已知等价转化恒成立关系后，构造新函数由其单调性再次转化为其导函数大于等于零恒成立问题，变量分离求最值可得.详解：不妨设，因为在上单调递减，则，故，记，则在区间上单调递增，所以在上恒成立，所以，故k的最小值为1.故答案为:1【点睛】等价转化是解决问题的途径，构造新函数是关键，此题属于难题.