高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列3 等比数列3.1 等比数列的概念及其通项公式达标测试

【基础】3.1 等比数列-1练习

一．填空题

1．记等比数列的前项和为，若，则___________.

2．设为正项等比数列(公比)前项的积，若，则__________

3．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，当时，的最小值为__________.

4．对于数列，定义的“和数列”：即已知是首项为2，公比为2的等比数列，则数列的前6项的和为___________

5．已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则___.

6．若数列的通项公式是则的前项和___________.

7．已知等比数列的前项和为，，，则___________.

8．已知等比数列的前项和为，且，则___________.

9．若在前项和为的等比数列中，，，则数列的通项公式为__________________．

10．已知是等比数列的前项和，，则___________.

11．已知为非零常数，数列与均为等比数列，且，则__________．

12.每次只能移动1个金属片；

13．正项数列中，，若，则________．

14．在数列中，，且，则___________.

15．已知数列满足，则数列的通项公式为________．

16．若正项等比数列满足，当取最小值时，数列的公比是__________.

17．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为_____

18．已知等比数列满足：，则___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由求得，得出数列的通项公式，进而得到的表达式，进而计算可得答案.

详解：由题意，等比数列中，，当时，，

两式相减可得：，可得，即，

令，可得，解得，所以，

则有

则

，

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：根据题意可得，利用等比数列的性质，可得，即可求得，同理可求得，根据对数的运算性质，即可得答案.

详解：由题意得：，

所以，

根据等比数列的性质，可得：，

设等比数列的公比为q，

所以，，

所以.

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：利用等差数列．等比数列的通项公式可得，再利用等比数列的前项和公式求出即可求解.

详解：由已知，，

∴，

∴.

∵，∴，即，

令，因为，

又，所以，所以单调递增，又，，

∴的最小值为.

故答案为:

4．【答案】

【解析】分析：利用等比数列的通项公式即可求解.

详解：由题意可得，

所以，

，

，

所以数列的前6项的和为

.

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可求得的值.

详解：设等比数列的公比，则，则，即，

，则，，解得.

因此，.

故答案为：.

6．【答案】62

【解析】分析：根据通项公式，得到数列为等比数列，求出首项和公比，利用等比数列的前项和公式，即可求得结果.

详解：由题意可得，且，所以数列是以2为首项，公比的等比数列，因此，该数列的前5项和为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用公式法求等比数列的前项和，解题的关键点是判断出数列为等比数列并求出首项和公比，属基础题.

7．【答案】

【解析】分析：利用等比数列通项公式列出方程，求出公比，再由前项和公式能求出结果．

详解：解：等比数列的前项和为，，，

，

解得，

．

故答案为：．

8．【答案】

【解析】分析：由可求得等比数列的公比，接着根据等比数列的通项公式求解即可.

详解：由等比数列性质得(为公比)，

所以，

所以.

故答案为:.

9．【答案】或

【解析】分析：利用给定条件结合等比数列通项及前n项和的意义列式求出公比q即可作答.

详解：设等比数列的公比为，

若，则，无解；

若，则，而q及a1均不为0，则有或，

解得或，解，无解，

所以或.

故答案为：或

10．【答案】2n﹣1

【解析】分析：根据等比数列通项公式和前项和公式计算，从而可知的首项和公比，再由前项和公式计算结果.

详解：解：因为，

所以，解得或舍

，所以所以数列是以1为首项，以-2为公比的等比数列，

则为也等比数列，公比为2，首项

故.

故答案为：2n﹣1.

【点睛】

结论点睛：若数列为等比数列，则数列也为等比数列，首项为，公比为.

11．【答案】3

【解析】分析：利用等比数列的性质，得到且，化简得，得到数列也为等差数列，进而求解即可

详解：因为数列与均为等比数列，

所以且，

得，故数列也为等差数列，

不难得数列为非零常数列，则．

故答案为：3

【点睛】

关键点睛：解题的关键在于，利用且，得到数列也为等差数列，属于中档题

12．【答案】9

【解析】分析：将原式化简得，故数列为等比数列，利用等比中项求得结果.

详解：，化简得，故数列为等比数列，

．

故答案为：9.

13．【答案】

【解析】分析：由，，得到且，得出数列构成以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.

详解：由，可得，

又由，可得，所以，

所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列，

所以.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：根据与之间的关系即可求解.

详解：因为①，

所以②，

所以①-②得，所以，

因为，所以，所以

故答案为：

15．【答案】

【解析】设正项等比数列的公比为，

因为，所以由等比数列的性质可得，；

因此，

当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立.

所以数列的公比是.

故答案为：.

16．【答案】

【解析】分析：由，，列方程组求解即可

详解：解：设等比数列的公比为，

由，得，

由，得，

因为，所以，解得，或（舍去），或（舍去），

所以，得，

故答案为：

17．【答案】

【解析】因为是等比数列，所以，所以，，，，

所以．

故答案为：．