2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（卷一）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 长为9，6，5，4四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
2. 下列图案中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，，点E在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点D，连接，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
4. 下列度数没有可能是多边形内角和的是（ ）
A. 360° B. 720°
C. 810° D. 2 160°
5. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（ ）

A ∠1＝∠2＋∠A B. ∠1＝2∠A＋∠2
C. ∠1＝2∠2＋2∠A D. 2∠1＝∠2＋∠A
6. 如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则至多可以构成正确的结论的个数是（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，点是外的一点，点分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，则线段的长为（ ）

A. B. C. D. 7
8. 如图，，，则等于（ ）

A. B. C. D.

9. 下列运算正确的是（ ）
A. 3x2+2x3=5x6 B. 50="0" C. 2-3= D. （x3）2=x6
10. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）

A. B.
C. D.
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 当x=___时，分式无意义．
12. 如图，在△ABC中，AM是中线，AN是高．如果BM＝3.5cm，AN＝4cm，那么△ABC的面积是___________cm2．

13. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm.

14. 当x＝________时，分式值为1.
15. 如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.

16. 如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为________.

17. 已知，，则__________．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)

三、解 答 题(共8题，共66分)
19 分解因式：
(1)10a－5a2－5； (2)(x2＋3x)2－(x－1)2.
20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（，5），（，3）．
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
⑶写出点B′的坐标．

21. 如图，B处在A处的南偏西42°的方向，C处在A处的南偏东16°的方向，C处在B处的北偏东72°的方向，求从C处观测A、B两处的视角∠ACB的度数.

22. 先化简，再求值：，其中x＝－．
23. 如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.
(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．
(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．

24. 等边△ABC中，AO是BC边上的高，D为AO上一点，以CD为一边，在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE
（2）过点C作CH⊥BE，交BE的延长线于H，若BC=8，求CH的长．
25. 列方程或方程组解应用题：
京通公交通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？
26. 等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（没有与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（卷一）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 长为9，6，5，4四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【正确答案】C

【详解】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故选C．
2. 下列图案中，轴对称图形（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
解：A、没有是轴对称图形，故此选项错误；
B、没有是轴对称图形，故此选项错误；
C、没有是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选D．
考点：轴对称图形．

3. 如图，在中，，，点E在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点D，连接，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】ACD

【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠DBC，然后利用三角形的外角性质求出∠DOC，再根据邻补角可得∠ACE=120°，由角平分线的定义求出∠ACD=60°，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，根据BD平分∠ABC和CD平分∠ACE，可得AD平分∠BAC的邻补角，由邻补角和角平分线的定义可得∠DAC.
【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°， 故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=×50°=25°，
∵∠DOC是△OBC的外角，
∴∠DOC =∠OBC+∠ACB=25°+60°=85°， 故B选项没有正确；
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE=180°-60°= 120°，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠ACE=60°，
∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；
∵BD平分∠ABC，
∴点D到直线BA和BC的距离相等，
∵CD平分∠ACE
∴点D到直线BC和AC的距离相等，
∴点D到直线BA和AC的距离相等，
∴AD平分∠BAC的邻补角，
∴∠DAC=(180°-70°)=55°， 故D选项正确．
故选ACD．
本题主要考查了角平分线的定义，性质和判定，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义，性质和判定.
4. 下列度数没有可能是多边形内角和的是（ ）
A. 360° B. 720°
C. 810° D. 2 160°
【正确答案】C

【详解】试题分析：多边形内角和公式为（n-2）×180°，可将四个选项代入公式，计算出n为正整数就是多边形内角和，若没有是则说明没有是多边形的内角和．经计算可得810°除以180°等于4.5没有是整数，所以810°没有是多边形的内角和．故选C
【结束】
5. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（ ）

A. ∠1＝∠2＋∠A B. ∠1＝2∠A＋∠2
C. ∠1＝2∠2＋2∠A D. 2∠1＝∠2＋∠A
【正确答案】B

【详解】如图在ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
折叠之后在ADF中，∠A+∠2+∠3=180°，
∴∠B+∠C=∠2+∠3，∠3=180°-∠A-∠2，
又在四边形BCFE中∠B+∠C+∠1+∠3=360°，
∴∠2+∠3+∠1+∠3=360°
∴∠2+∠1+2∠3=∠2+∠1+2（180°-∠A-∠2）=360°，
∴∠2+∠1-2∠A-2∠2=0，∴∠1＝2∠A＋∠2．
故选B

本题主要考查三角形内角和，四边形内角和以及三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角和的理解及掌握．在求∠A、∠1与∠2的数量关系时，用到了等量代换的思想，进行角与角之间的转换．
6. 如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则至多可以构成正确的结论的个数是（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【分析】将条件进行组合后，利用三角形全等的判定进行判断即可.
【详解】①②③为条件，根据SAS，可判定；可得结论④；
①②④为条件，根据SSS，可判定；可得结论③；
①③④为条件，SSA没有能证明,
②③④为条件，SSA没有能证明,
至多可以构成正确结论2个，
故选B.
本题考查的是全等三角形的判定，可根据全等三角形的判定定理和性质进行求解．
7. 如图，点是外的一点，点分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，则线段的长为（ ）

A. B. C. D. 7
【正确答案】A

【分析】根据轴对称性质可得出PM=MQ，PN=RN，因此先求出QN的长度，然后根据QR=QN+NR进一步计算即可.
【详解】由轴对称性质可得：PM=MQ=2.5cm，PN=RN=3cm，
∴QN=MN−MQ=1.5cm，
∴QR=QN+RN=4.5cm，
故选：A.
本题主要考查了轴对称性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

8. 如图，，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：D.
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系.
（1）三角形的外角等于与它没有相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件.

9. 下列运算正确的是（ ）
A. 3x2+2x3=5x6 B. 50="0" C. 2-3= D. （x3）2=x6
【正确答案】D

【详解】试题分析： A、没有是同类项，没有能合并，故A错误；B、非0数的0次幂等于1，故B错误；
C、2-3=，故C错误；D、底数没有变指数相乘，故D正确；
故选D．
考点：1.幂的乘方与积的乘方；2.合并同类项；3.零指数幂；4.负整数指数幂．

10. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A

【分析】左图中阴影部分的面积＝a2−b2，右图中矩形面积＝（a＋b）（a−b），根据二者面积相等，即可解答．
【详解】解：由题意可得：a2−b2＝（a−b）（a＋b）．
故选：A．
此题主要考查了乘法的平方差公式，属于基础题型．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 当x=___时，分式无意义．
【正确答案】2

【详解】试题分析：根据分式分母为0分式无意义的条件，要使在实数范围内有意义，必须x﹣2=0，即x=2．
12. 如图，在△ABC中，AM是中线，AN是高．如果BM＝3.5cm，AN＝4cm，那么△ABC的面积是___________cm2．

【正确答案】14

【详解】解：∵AM是中线，
∴BC=2BM=2×3.5=7，
∵AN是高，
∴S△ABC=．
故14．
13. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm.

【正确答案】6

【详解】试题解析：∵AB∥CF，
∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，
在△AED和△CEF中
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴FC=AD=5cm，
∴BD=AB-AD=11-5=6（cm）．
14. 当x＝________时，分式的值为1.
【正确答案】.

【详解】由题意得：4x+3=x-5，解得：x= ，
当x=时，分母x-5≠0，原分式有意义，
故答案为.
15. 如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.

【正确答案】30°

【详解】试题解析：（1）连接CE，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△BCE与△ACE中，

∴△BCE≌△ACE（SSS）
∴∠BCE=∠ACE=30°
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
在△BDE与△BCE中，

∴△BDE≌△BCE（SAS），
∴∠BDE=∠BCE=30°．
16. 如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为________.

【正确答案】9

【分析】要求CE的长度，只需要求出AE的长度即可.通过，可知，通过等量代换可知，从而得出，则CE的长度可求.
【详解】∵

∵
∴

∴



故答案为9
本题主要考查等腰三角形的性质，能够通过等量代换找到是解题的关键.

17. 已知，，则__________．
【正确答案】48

【分析】利用幂的运算中同底数幂相乘，底数没有变指数相加的运算方法，先将分解成几个数相乘的形式，即可得出结果．
【详解】解：
故48．
本题主要考查的是幂的运算中同底数幂相乘的运算法则，掌握同底数幂相乘，底数没有变指数相加是解题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)

【正确答案】①②③④

【详解】①正确.
∵∠BAC＝90°
∴∠ABE+∠AEB=90°
∴∠ABE=90°-∠AEB
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠DBE+∠BFD=90°
∴∠DBE=90-∠BFD
∵∠BFD=∠AFE
∴∠DBE=90°-∠AFE
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠DBE
∴90°-∠AEB=90°-∠AFE
∴∠AEB=∠AFE
∴AE=AF
②正确.
∵∠BAC=90°
∴∠BAF+∠DAC=90°
∴∠BAF=90°-∠DAC
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠C+∠DAC=90°
∴∠C=90°-∠DAC
∴∠C=∠BAF
∵FH∥AC
∴∠C=∠BHF
∴∠BAF=∠BHF
在△ABF和△HBF中

∴△ABF≌△HBF
∴AF=FH
③正确.
∵AE=AF，AF=FH
∴AE=FH
∵FG∥BC，FH∥AC
∴四边形FHCG是平行四边形
∴FH=GC
∴AE=GC
∴AE+EG=GC+EG
∴AG=CE
④正确.
∵四边形FHCG是平行四边形
∴FG=HC
∵△ABF≌△HBF
∴AB=HB
∴AB+FG=HB+HC=BC
故正确的答案有①②③④.
三、解 答 题(共8题，共66分)
19. 分解因式：
(1)10a－5a2－5； (2)(x2＋3x)2－(x－1)2.
【正确答案】(1)－5(a－1)2；(2) (x2＋4x－1)(x＋1)2.

【详解】试题分析：（1）提取公因式-5后，再用完全平方公式进行分解即可；
（2）原式运用平方差公式进行分解后，再用完全平方公式进行分解即可.
试题解析：(1)原式＝－5(a2－2a＋1)＝－5(a－1)2.
(2)原式＝(x2＋3x＋x－1)(x2＋3x－x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x2＋2x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x＋1)2.
20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（，5），（，3）．
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出△ABC关于y轴对称△A′B′C′；
⑶写出点B′的坐标．

【正确答案】⑴⑵如图，⑶B′(2,1)


【分析】（1）易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位；
（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；
（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
【详解】解：
（1）如图；
（2）如图；

（3）点B′的坐标为（2，1）．
21. 如图，B处在A处的南偏西42°的方向，C处在A处的南偏东16°的方向，C处在B处的北偏东72°的方向，求从C处观测A、B两处的视角∠ACB的度数.

【正确答案】∠ACB=92°．

【详解】试题分析：根据方向角定义,即可求得∠EBA,∠EBC,∠DAC的度数,然后根据三角形内角和定理即可求解.
试题解析：如图，∵AD，BE是正南正向，
∴BE∥AD，
∵∠EBA=42°，
∴∠BAD=∠EBA=42°，
∵∠DAC=16°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=42°+16°=58°，
又∵∠EBC=72°，
∴∠ABC=72°-42°=30°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-58°-30°=92°．

本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．
22. 先化简，再求值：，其中x＝－．
【正确答案】，

【分析】首先根据分式的混合运算法则对原式进行化简，代入值进行求解即可．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝
当时，原式＝
本题主要考查了学生对完全平方公式和平方差公式的应用，解题的关键在于观察题目，通过两个公式进行因式分解，然后化简求值．
23. 如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.
(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C度数．
(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．

【正确答案】(1)∠C＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析

【分析】（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是∆ABD的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C．
（2）EF⊥BC，可得到∠EDF＝90°－∠DEF，∠EDF又是∆ABD的外角，可得到∠BAD＝∠EDF－∠B=90°－∠DEF－∠B，然后可将 BAC用含∠DEF、∠B的角来表示，即 BAC =2(90°－∠DEF－∠B),利用∠B、 BAC、C的和为180°求得三角之间的等量关系．
【详解】(1)∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，
∴∠EDF＝80°.
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°.
∴∠C＝180°－40°－80°＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：
∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°－∠DEF.
∵∠EDF＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B.
∴∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.
∴∠C－∠B＝2∠DEF.
本题主要考查考生对三角形外角和性质得理解及灵活运用，以及对三角形内角和，角平分线的定义的理解．此为易考点及．考查考生等量代换思想的形成及掌握，在解题过程中涉及到角与角之间的转换．此为难点．
24. 等边△ABC中，AO是BC边上的高，D为AO上一点，以CD为一边，在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE
（2）过点C作CH⊥BE，交BE的延长线于H，若BC=8，求CH的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）CH=4

【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，∠DCE=60°，故可得出∠ACD=∠BCE，再由SAS定理即可得出结论；
（2）先由等边三角形三线合一的性质得出∠CAD的度数，再由△ACD≌△BCE得出∠CAD=∠CBE，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴AD=BE；
（2）∵△ABC是等边三角形，AO是BC边上的高，
∴∠BAC=60°，且AO平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=30°．
又∵CH⊥BE，BC=8，
∴在Rt△BCH中，CH=BC=×8=4，
即CH=4．
25. 列方程或方程组解应用题：
京通公交通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？
【正确答案】小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．

【分析】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，根据已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的，可列方程求解．
【详解】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，
∴=×，
解得x=27，
经检验：x=27是原方程的解，且符合题意．
答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．
本题考查分式方程的应用，理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系，根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的列方程求解．
26. 在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（没有与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．
【正确答案】（1）40°；（2）①补图见解析；② 证明见解析.

【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）①根据要求作出图形，如图2；
②根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
试题解析：（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ=20°，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60°﹣20°﹣20°=20°，∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°；
（2）①如图2；
②∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM．

考点：三角形综合题．









2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（卷二）
一、选一选（每题3分，共24分）
1. 下面图案中是轴对称图形的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，找出轴对称图形的个数即可．
【详解】解：各图案中，是轴对称图形的有：第（1）第（2）个，共2个.
故选B.
本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.
2. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC是（　　）
A. 钝角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【正确答案】B

【详解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=55°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选B．
点睛：本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定，熟记三角形的内角和是解题的关键．
3. 在和中，，高，则和的关系是( )
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 以上都没有对
【正确答案】C

【详解】试题解析：当∠C′为锐角时，如图1所示，

∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，
∴∠C=∠C′；
当∠C为钝角时，如图3所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，
∴∠C=∠A′C′D′，
∴∠C+∠A′C′B′=180°．
故选C.
4. 如图，中，，D是中点，下列结论中没有正确的是（ ）

A. B. C. 平分 D.
【正确答案】D

【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D没有正确）．
故选：D．
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
5. 由下列条件没有能判定为直角三角形的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或角是否是90°即可.
【详解】A、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，故是直角三角形，正确；
B、∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴∠B=×180°=90°，故是直角三角形，正确；
C、∵（）2+（）2≠（）2，故没有能判定是直角三角形；
D、∵（b+c）（b-c）=a2，∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确．
故选C．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
【正确答案】A

【详解】解：另一直角边长是：=5．则直角三角形的面积是×12×5=30．
故选A．
7. 下列说法中正确的是（　　）
A. 两个直角三角形全等 B. 两个等腰三角形全等
C. 两个等边三角形全等 D. 两条直角边对应相等的直角三角形全等
【正确答案】D

【详解】试题解析：A、两个直角三角形只能说明有一个直角相等，其他条件没有明确，所以没有一定全等，故本选项错误；
B、两个等腰三角形，腰没有一定相等，夹角也没有一定相等，所以没有一定全等，故本选项错误；
C、两个等边三角形，边长没有一定相等，所以没有一定全等，故本选项错误；
D、它们的夹角是直角相等，可以根据边角边定理判定全等，正确．
故选D．
8. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别为81 cm2和144 cm2，则正方形③的边长为（　　）

A. 225 cm B. 63 cm C. 50 cm D. 15 cm
【正确答案】D

【详解】试题解析：∵四边形①、②、③都是正方形，
∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠DBC=90°，
∴∠AEB=∠CBD．
在△ABE和△CDB中，
，
∴△ABE≌△CDB（AAS），
∴AE=BC，AB=CD．
∵正方形①、②的面积分别81cm2和144cm2，
∴AE2=81，CD2=144．
∴AB2=63．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AE2+AB2=81+144=225，
∴BE=15．
故选D．
二、填 空 题（每题2分，共20分）
9. 如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是___________
【正确答案】80°

【详解】试题解析：180°-50°×2
=180°-100°
=80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
10. 直角三角形的两条直角边分别是9和12，则斜边是___________
【正确答案】15

【详解】试题解析：由一个直角三角形两条直角边分别是9和12，
利用勾股定理得斜边长为=15．
11. 如图，在中，为斜边的中点，=6 cm,=8 cm，则 的长为___________cm.

【正确答案】5

【详解】试题解析：由勾股定理得，AB==10cm，
∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=×10=5cm．
12. 如图，在中，，点为中点，，则的度数为_____．

【正确答案】55°

【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【详解】解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°-70°）=55°．
故55°．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13. 已知等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为7 cm，则底边长为__________．
【正确答案】1 cm或7 cm

【分析】分7cm是腰或底边两种情况进行讨论．
【详解】解：当底为7cm时，此时腰长为4cm和4cm，满足三角形的三边关系；
当腰为7cm时，此时另一腰为7cm，则底为1cm，满足三角形的三边关系；
所以底边长为1cm或7cm．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，没有要漏解．
14. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东60°的方向走了12 km，乙往南偏东30°的向走了5 km，这时甲、乙两人相距___________km
【正确答案】13

【详解】试题解析：如图所示，

∵甲往北偏东60°的方向走了12km，乙往南偏东30°的向走了5km，
∴∠AOB=90°，
∴AB==13（km）．
15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，如果∠B=20°，则∠CAD=_____________

【正确答案】50°

【分析】

【详解】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=20°，
∵∠C=90°，
∴∠CAD=180°-20°×2-90°=180°-40°-90°=50°，
故答案为50°．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．
16. 如图，中，, 分别上动点，且，当=_______时，才能使和全等.

【正确答案】3或8

【详解】试题解析：分为两种情况：①当AP=3时，
∵BC=3，
∴AP=BC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，

∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
②当AP=8时，
∵AC=8，
∴AP=AC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，

∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
故答案为3或8．
17. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．

【正确答案】3cm

【分析】由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm ），∠DEB=90°，
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
故答案为3cm．
本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
18. 如图，，已知中，,的顶点分别在边上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持没有变，在运动过程中，点到点的距离为____________.

【正确答案】7

【详解】试题解析：如图，取AB的中点D，连接CD．

∵AC=BC=5，AB=6．
∵点D是AB边中点，
∴BD=AB=3，
∴CD==4；
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有值，值是OD+CD，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=3，
∴OD+CD=3+4=7，即OC=7．
三解 答 题（共56分）
19. 如图，在正方形网格上有一个△DEF.
(1)作△DEF关于直线HG的轴对称图形；
(2)作△DEF的EF边上的高；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）3.

【分析】（1）分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用钝角三角形高线作法得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，△DEF关于直线HG的轴对称图形为△D′E′F′；
（2）如图所示，DH即为所求；
（3）S△DEF=×3×2=3．

此题主要考查了作图--轴对称变换和三角形面积求法，关键是确定组成图形的对应点位置．
20. 如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，有一海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一没有明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向海岛O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【正确答案】（1）见详解；（2）BC=25海里

【分析】（1）连接AB，然后作AB的垂直平分线，交OA于一点C，则点C即为所求；
（2）由（1）可设AC=BC=x，则有OC=45-x，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：（1）连接AB，分别以点A、B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，交OA于点C，则C即为所求；如图所示：

（2）连接BC，如图所示：

由（1）及OB=15海里，OA=45海里，可设AC=BC=x，则有OC=45-x，
在Rt△BOC中，
，即，
解得：，即BC=25海里．
本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键．
21. 如图，是的平分线，点在上，且交于点.试说明: 平分.

【正确答案】证明见解析.

【分析】先根据SAS证明△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质得到CD=ED，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠DEC=∠FEC，从而得出结论．
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ACD与△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=ED，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠DEC=∠FEC，
∴CE平分∠DEF．
本题考查是三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
22. 已知：如图，在中，是的中点，点在上，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若=2，求四边形的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）1．

【分析】（1）首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，再证明BD=CD，∠DCF=∠A，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，继而可得出结论；
（2）根据全等可得S△AED=S△CFD，进而得到S四边形CEDF=S△ADC，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【详解】解：（1）证明：如图，连接CD．

因为，
所以是等腰直角三角形
所以
因为为的中点
所以，平分，
所以
又因为
所以
所以，
因为
所以
即
(2)因为
所以
所以
因为是的中点
所以
所以．
23. 如图，在中，平分，于点.
（1）求的度数．
（2）求证：

【正确答案】（1）22.5；（2）证明见解析．

【详解】试题分析：(1)因为∠E=∠A，∠CDE=∠BDA，可得∠ECD=∠ABD,由条件知∠ABC=45°且BD平分∠ABC，从而得解.
（2）延长BA，CE交于点F，证△ABD≌△ACF，通过角之间的关系，得到BF=BC，又由CE⊥BD，进而可求解．
试题解析：（1）∵
∴∠ABC=45°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC=22.5°
在△ABD和△ECD中，∠E=∠A，∠CDE=∠BDA
∴∠ECD=∠ABD=22.5°；
（2）证明：如图所示，延长BA，CE交于点F，

∵∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
又∵AB=AC，
在Rt△ABD和Rt△ACF中

∴Rt△ABD≌Rt△ACF，
∴BD=CF，
在Rt△FBE和Rt△CBE中
∵BD平分∠ABC，
∴∠BCF=∠F，
∵∠BEC=90°
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵BE=BE
∴Rt△FBE≌Rt△CBE
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
即BD=2CE．
24. 如图，已知中，是边上的点，将绕点旋转，得到.
（1）当时，求证.
（2）在（1）的条件下，猜想， ，有怎样的数量关系，并说明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【详解】试题分析：（1）利用旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再计算出∠EAD′=∠DAE=45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以DE=D′E；
（2）由（1）知△AED≌△AED′得到ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠ACB=45°，则根据性质得性质得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=90°，于是根据勾股定理得CE2+D′C2=D′E2，所以BD2+CE==DE2．
试题解析：（1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAD′=∠DAE，
在△AED与△AED′中
，
∴△AED≌△AED′，
∴DE=D′E；
（2）解：BD2+CE==DE2．理由如下：
由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，∠B=∠ACD′，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′
∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，
∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，
在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2，
∴BD2+CE==DE2．
点睛：旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
25. 如图，已知点D为OB上的一点，请用直尺和圆规按下列要求进行作图，保留作图痕迹．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a ；
（3）爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使
得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP
与∠ODP的数量关系，并说明理由．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）或．

【详解】试题分析：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a；
（3）以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，利用HL证明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P=∠ODP，再根据平角的定义即可求解．
试题解析：（1）如图，OC即为所求；

（2）如图，OP=a；
（3）∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，
PN⊥OB于N，则PM=PN．
在△E2PM和△DPN中，
，
∴△E2PM≌△DPN（HL），
∴∠OE2P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OA于另一点E1，连接PE1，
则此点E1也符合条件PD=PE1，

∵PE2=PE1=PD，
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，
∵∠OE2P=∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP=180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
26. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都没有是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【正确答案】解：（1）SAS；△AFE．
（2）∠B+∠D=180°．
（3）BD2+EC2=DE2．理由见解析

【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【详解】解：（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AEF（SAS）．
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，

∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故∠B+∠ADC=180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，

∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2．
本题考查了全等三角形性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（卷二）
一、选一选（每题3分，共24分）
1. 下面图案中是轴对称图形的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC是（　　）
A 钝角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
3. 在和中，，高，则和的关系是( )
A 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 以上都没有对
4. 如图，中，，D是中点，下列结论中没有正确的是（ ）

A. B. C. 平分 D.
5. 由下列条件没有能判定为直角三角形的是（　　）
A. B.
C. D.
6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
7. 下列说法中正确是（　　）
A. 两个直角三角形全等 B. 两个等腰三角形全等
C. 两个等边三角形全等 D. 两条直角边对应相等直角三角形全等
8. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别为81 cm2和144 cm2，则正方形③的边长为（　　）

A. 225 cm B. 63 cm C. 50 cm D. 15 cm
二、填 空 题（每题2分，共20分）
9. 如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是___________
10. 直角三角形两条直角边分别是9和12，则斜边是___________
11. 如图，在中，为斜边的中点，=6 cm,=8 cm，则 的长为___________cm.

12. 如图，在中，，点为中点，，则的度数为_____．

13. 已知等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为7 cm，则底边长为__________．
14. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东60°的方向走了12 km，乙往南偏东30°的向走了5 km，这时甲、乙两人相距___________km
15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，如果∠B=20°，则∠CAD=_____________

16. 如图，中，, 分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.

17. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．

18. 如图，，已知中，,的顶点分别在边上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持没有变，在运动过程中，点到点的距离为____________.

三解 答 题（共56分）
19. 如图，在正方形网格上有一个△DEF.
(1)作△DEF关于直线HG的轴对称图形；
(2)作△DEF的EF边上的高；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．

20. 如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，有一海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一没有明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向海岛O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
21. 如图，是的平分线，点在上，且交于点.试说明: 平分.

22. 已知：如图，在中，是的中点，点在上，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若=2，求四边形的面积．

23. 如图，在中，平分，于点.
（1）求的度数．
（2）求证.

24. 如图，已知中，是边上的点，将绕点旋转，得到.
（1）当时，求证.
（2）在（1）的条件下，猜想， ，有怎样的数量关系，并说明理由．

25. 如图，已知点D为OB上的一点，请用直尺和圆规按下列要求进行作图，保留作图痕迹．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a ；
（3）爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使
得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP
与∠ODP的数量关系，并说明理由．

26. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都没有是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．