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2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共42页。试卷主要包含了单 选 题，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（A卷）
一、单 选 题（本题共12小题，每题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 下面4个图案，其中没有是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 一个三角形的两边长为3和7，第三边长为偶数，则第三边为（）
A. 6 B. 6或8 C. 4 D. 4或6
5. 下列从左到右变形，属于分解因式的是（ ）
A （a﹣3）（a+3）=a2﹣9 B. x2+x﹣5=x（x+1）﹣5
C. a2+a=a（a+1） D. x3y=x•x2•y
6. 如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（ ）
A AB B. BC C. DC D. AE+AC
7. 若分式的值为零，则x等于（ ）
A. 0 B. 2 C. ±2 D. ﹣2
8. 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A. 2mn B. （m+n）2 C. （m-n）2 D. m2-n2
9. 如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ）
A. 80° B. 100° C. 140° D. 160°
10. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A. 2∠A=∠1-∠2 B. 3∠A=2（∠1-∠2）
C. 3∠A=2∠1-∠2 D. ∠A=∠1-∠2
11. 如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A. 24° B. 25° C. 30° D. 36°
12. 如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 若要使分式有意义，则x的取值范围是________
14. 数学在我们的生活中无处没有在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=______
15. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是_______．(没有再添加辅助线和字母)
16. 化简的结果是________
17. 已知关于x分式方程无实数解，则a=________
18. 如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB=________cm．
19. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则S△OFE=________
20. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形．
21. （1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）解方程：
22. 化简求值：已知，求的值
23. 如图，（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使△PAB周长最短．（只需作图，保留作图痕迹）
24. 已知等边三角形ABC，延长BA至E，延长BC至D，使得AE=BD，求证：EC=ED
25. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供没有应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
26. 在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？________（填“成立”或“没有成立”）
（3）在（2）条件下，当∠DBA=________时，存在AQ=2BD，说明理由．
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（A卷）
一、单 选 题（本题共12小题，每题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 下面4个图案，其中没有是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】根据轴对称图形的概念可知只有选项D没有是轴对称图形，故选D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
【详解】解： =．
故选B．
3. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．∵点P（3，﹣2）关于y轴的对称点是（﹣3，﹣2），∴点P（3，﹣2）关于y轴的对称点在第三象限．
故选C．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
4. 一个三角形的两边长为3和7，第三边长为偶数，则第三边为（）
A. 6 B. 6或8 C. 4 D. 4或6
【正确答案】B
【详解】试题解析：设第三边为x，
则7−3
∴第三边长是6或8.
故选B.
点睛：三角形的任意两边之和大于第三边.
5. 下列从左到右的变形，属于分解因式的是（ ）
A. （a﹣3）（a+3）=a2﹣9 B. x2+x﹣5=x（x+1）﹣5
C. a2+a=a（a+1） D. x3y=x•x2•y
【正确答案】C
【详解】分解因式是把一个多项式化为几个整式的积的形式，A.是整式的乘法，没有是分解因式；B.等号右边没有是几个整式的积的形式，没有是分解因式；C.是分解因式；D.左边没有是一个多项式，没有是分解因式，故选C.
6. 如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（ ）
A. AB B. BC C. DC D. AE+AC
【正确答案】A
【分析】由题意证明△ACB≌△ECD（AAS）即可得结果．
【详解】解：设AB、DC相交于点O，
∵∠1＝∠2，,
∴，
∴∠B＝∠D，
∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD，
即∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（AAS），
∴AB＝ED．
故选：A．
本题主要考查全等三角形判定与性质，熟知几种全等三角形的证明方法是解题的关键．
7. 若分式的值为零，则x等于（ ）
A. 0 B. 2 C. ±2 D. ﹣2
【正确答案】D
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母没有为0．
【详解】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，2x-4=0，∴x=2没有满足条件．
当x=-2时，2x-4≠0，∴当x=-2时分式的值是0．
故选D．
本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零．注意：“分母没有为零”这个条件没有能少．
8. 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A. 2mn B. （m+n）2 C. （m-n）2 D. m2-n2
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2．
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．
故选C．
9. 如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ）
A. 80° B. 100° C. 140° D. 160°
【正确答案】C
【分析】先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．
【详解】∵
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，
故选C．
考查了四边形的内角和，等腰三角形的两个底角相等的性质．
10. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A. 2∠A=∠1-∠2 B. 3∠A=2（∠1-∠2）
C. 3∠A=2∠1-∠2 D. ∠A=∠1-∠2
【正确答案】A
【分析】根据折叠性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．
【详解】解：是沿折叠得到，
，
又，，
，
即，
整理得：．
故选：A．
本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，把、、转化到同一个三角形中是解题的关键．
11. 如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A. 24° B. 25° C. 30° D. 36°
【正确答案】B
【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB
∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，
∴∠ABD2=∠ABD1 =∠ABC，∠ACD2=∠ACD1 =∠ACB，
同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故选：B
12. 如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④
【正确答案】A
【详解】试题解析：
过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
所以①正确.
故选A.
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 若要使分式有意义，则x的取值范围是________
【正确答案】x≠﹣4
【详解】试题解析：由题意得：
解得：
故答案为
14. 数学在我们的生活中无处没有在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=______
【正确答案】60°
【详解】试题解析：∵台球桌四角都是直角,
∵∠1=∠2，
故答案为
15. 如图，在△ABC中，D是BC边上中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是_______．(没有再添加辅助线和字母)
【正确答案】∠B=∠C（答案没有）
【分析】答案没有根据AB=AC，推出∠B=∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED=∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED=∠AFD推出∠B=∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可．
【详解】解：答案没有，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等；
理由是：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
④∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠B=∠C，
即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
故答案为答案没有，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD．
本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16. 化简的结果是________
【正确答案】
【详解】试题解析：原式
故答案为
17. 已知关于x的分式方程无实数解，则a=________
【正确答案】1
【详解】试题解析：去分母，得，
方程无实数根，
则：
把代入
则：
解得：
故答案为
18. 如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB=________cm．
【正确答案】6
【详解】在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE=3cm，
∴BC=6cm，
∵AB=AC，∠ABC为60°，
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=6cm，
故6.
19. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则S△OFE=________
【正确答案】4
【详解】试题解析：作EG⊥OA于G，
∵EFOB，
∵EG=CE=2，
故答案为:
点睛：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半.
20. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形．
【正确答案】45°或67.5°或90°
【分析】若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的值．
【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，
①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=45°，
∴∠A=90°；
②当AO=OP时，则∠A=∠APO==67.5°；
③当OP=AP时，则∠A=∠AON=45°，
综上可知∠A为45°或67.5°或90°，
故答案为45°或67.5°或90°．
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
21. （1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）解方程：
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：提取公因式法和公式法相.
运用平方差公式进行因式分解.
按照解分式方程的步骤解方程即可.
试题解析：
（1），
（2）
（3）两边乘,得到，
，
，
检验：当时，，
故是分式方程的根.
点睛：因式分解的常用方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.
22. 化简求值：已知，求的值
【正确答案】5.
【详解】试题分析： 已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算,整理得到,代入原式计算即可.
试题解析：
，
.
23. 如图，（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使△PAB周长最短．（只需作图，保留作图痕迹）
【正确答案】（1）详见解析；（2）A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）;（3）详见解析
【详解】试题分析：（1）分别作出点A、B、C关于轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）根据对称的性质写出关于轴对称的的各顶点坐标；
（3）连结或交y轴于点P，则点P即为所求.
试题解析：
（1）如图所示：
(2)
(3)连结或交y轴于点P，则点P即为所求.
24. 已知等边三角形ABC，延长BA至E，延长BC至D，使得AE=BD，求证：EC=ED
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：延长BD到F,使BF=BE,连接EF.证明△EBC≌△EFD,即可求证.
试题解析：
证明:延长BD到F,使BF=BE,连接EF.则BF-BC=BE-BA.
即CF=AE;又AE=BD.
故CF=BD, DF=BC.
∵∠B=60°.
∴△BEF为等边三角形,BE=EF;∠B=∠F=60°.
∴△EBC≌△EFD(SAS),
EC=ED
25. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供没有应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【正确答案】（1）80元；（2）3700元
【详解】解：（1）设批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价是（x+4）元．
∴3×
解得x=80
经检验：x=80是原分式方程的解
∴批购进书包的单价是80元
（2）批购进书包的数量是：2000÷80=25 个
批购进书包的数量是：6300÷84=75 个
∴商店共盈利：120×（25+75）－2000－3600=3700元
答：批购进书包的单价是80元，商店共盈利3700元
26. 在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？________（填“成立”或“没有成立”）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA=________时，存在AQ=2BD，说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）（2）成立，理由见解析；（3）当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出
△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延长BA交PQ于H，由于 得到 推出△AQC≌△BPC(ASA)，即可得出结论；
（3）当时，存在根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过△PBC≌△ACQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
试题解析：
（1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ
(2)成立，
理由：延长BA交PQ于H，
∠AQC=∠BQD,
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中,
∴△AQC≌△BPC(ASA)，
∴AQ=BP，
故答案为成立；
（3）22.5°，
当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC与△QAC中，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
故答案为22.5°.
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、没有选或选出的答案超过一个均记零分.
1. 下列根式中没有是最简二次根式的是
A. B. C. D.
2. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A B. C. D.
3. 如图，,要使,还需添加一个条件，那么在①；②；③；④这四个关系中可以选择的是
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
6. 下列运算：（1）；（2）；（3） ；（4）.其中错误的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 若,则A为( )
A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab
8. 练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有
① ②
③ ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 关于的分式方程的解，下列说确的是
A. 没有论取何值，该方程总有解
B. 当时该方程解为
C. 当时该方程解为
D. 当时该方程的解为
10. 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值
A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大6倍
C. 缩小为原来的12倍 D. 没有变
11. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则△BC′F的周长为（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
12. 如图，AD是△ABC角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④
二、填 空 题：本大题共6小题，共24分，只要求填写结果，每小题填对得4分．
13. 在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,且BD∶DC=5∶3,则D到AB的距离为____cm.
14. 已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的顶角是______°．
15. 分解因式： =__________________________________.
16. 若x2-mx+36是一个完全平方式，则m=____________________.
17. 当______时，分式值为零．
18. 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为______．
三、解 答 题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程．
19. （1）计算.
（2）计算：
20. 根据要求，解答下列问题：
（1）计算：
（2）化简.
21. 如图，已知点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足.连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，求证：OE=4EF．
22. 如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）△GFC是等边三角形.
23. 如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设出发的时间为秒．
出发秒后，求的周长．
问满足什么条件时，为直角三角形？
另有一点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
24. 如图所示，港口A位于灯塔C的正南方向，港口B位于灯塔C的南偏东60°方向，且港口B在港口A的正东方向的135公里处.一艘货轮在上午8时从港口A出发，匀速向港口B航行.当航行到位于灯塔C的南偏东30°方向的D处时，接到公司要求提前交货的通知，于是提速到原来速度的1.2倍，于上午12时准时到达港口B，顺利完成交货.求货轮原来的速度是多少？
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、没有选或选出的答案超过一个均记零分.
1. 下列根式中没有是最简二次根式的是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用最简二次根式满足的条件逐一判断即可．
【详解】试题解析：A．是最简二次根式，没有符合题意；
B．，没有是最简二次根式，符合题意；
C．最简二次根式，没有符合题意；
D． 是最简二次根式，没有符合题意．
故选：B．
本题考查最简二次根式，最简二次根式满足的条件：被开方数没有含开得尽方的因数或因式，被开方数没有含分母，分母没有含根式，这是解这类题的关键．
2. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；
当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选D．
3. 如图，,要使,还需添加一个条件，那么在①；②；③；④这四个关系中可以选择的是
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【正确答案】D
【详解】试题解析：①∵AC=AD，∠ABD=∠ABC，AB=AB，
∴没有能推出△ABC≌△ABD，故错误；
②根据BC=BD，AB=AB，∠ABD=∠ABC，根据SAS能推出△ABC≌△ABD，故正确；
③∵∠C =∠D，∠DAB=∠CAB，AB=AB，
∴根据AAS能推出△ABC≌△ABD，故正确；
∵∠DAB=∠CAB，AB=AB，∠ABD=∠ABC，
∴根据ASA能推出△ABC≌△ABD，故正确；
④∵∠CAB=∠DAB，AB=AB，∠ABD=∠ABC，
∴根据ASA能推出△ABC≌△ABD，故正确；
正确的有②③④.
故选D．
4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选B．
本题主要考查了尺规作图—作已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
5. 如图，，，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
【正确答案】C
【详解】解：∵，
∴
∴,
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，
∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故选C
6. 下列运算：（1）；（2）；（3） ；（4）.其中错误的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
详解】试题解析：（1），计算结果正确；
（2），原计算结果错误；
（3），原计算结果错误；
（4），原计算结果错误.
计算结果错误的个数有3个.
故选C.
7. 若,则A为( )
A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab
【正确答案】C
详解】试题解析：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，
∴A=（a+b）2-（a-b）2=4ab．
故选C．
点睛：完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．
8. 练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有
① ②
③ ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：①x3+x=x（x2+1），没有符合题意；
②x2-2xy+y2=（x-y）2，符合题意；
③a2-a+1没有能分解，没有符合题意；
④x2-16y2=（x+4y）（x-4y），符合题意，
故选B
9. 关于的分式方程的解，下列说确的是
A. 没有论取何值，该方程总有解
B. 当时该方程的解为
C. 当时该方程的解为
D. 当时该方程的解为
【正确答案】C
【详解】试题解析：分式方程去分母得：m（x+1）-x=0，即（m-1）x=-m，
当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0，即m≠1时，解得：x=；
当m=2时，方程的解为x=-2，
故选C.
10. 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值
A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大6倍
C. 缩小为原来的12倍 D. 没有变
【正确答案】A
【详解】试题解析：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得，
可见新分式是原分式的3倍．
故选A．
11. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则△BC′F的周长为（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【正确答案】A
【详解】试题解析：由折叠可得，BC'=CD=AB=4，C'F=CF，
∴BF+C'F=BF+CF=BC=8，
∴△BC′F的周长=BC'+BF+C'F=4+8=12.
故答案为12．
点睛：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．
12. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2EC，
∴AC=3EC=3BF，故④正确．
故选D．
二、填 空 题：本大题共6小题，共24分，只要求填写结果，每小题填对得4分．
13. 在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,且BD∶DC=5∶3,则D到AB的距离为____cm.
【正确答案】6
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．
【详解】∵∠C=90，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，
∴CD就是D到AB距离，
∵BD:DC=5:3，BC=16cm，
∴CD=6，
即D到AB的距离为6cm.
故答案为6.
本题考查的知识点是角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质.
14. 已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的顶角是______°．
【正确答案】50°或80°
【分析】根据等腰三角形的性质计算即可；
【详解】解：∵三角形时等腰三角形，
∴当50°是一个底角时，顶角是；
当50°是顶角时，符合题意；
∴它的顶角是50°或80°．
故答案是50°或80°．
本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．
15. 分解因式： =__________________________________.
【正确答案】
【详解】试题解析：-2x3y+12x2y2-18xy3
=-2xy（x2-6xy+9y2）
=-2xy（x-3y）2，
故答案为-2xy（x-3y）2．
16. 若x2-mx+36是一个完全平方式，则m=____________________.
【正确答案】±12
【详解】试题解析：∵x2+mx+36是一个完全平方式，
∴m=±12.
故答案为±12.
17. 当______时，分式值为零．
【正确答案】﹣2
【分析】根据分式值为零及分式成立的条件求解即可．
【详解】解：要使分式为零，则分子x2﹣4＝0解得：x＝±2，
而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣4≠0，
x＝2时分母x﹣2＝0，分式没有意义，
所以x的值为﹣2．
故﹣2．
本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母没有为零分式的值为零．
18. 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为______．
【正确答案】8或10
【分析】本题考查的是利用勾股定理求出第三边，根据等积法求出最短边上的高.
【详解】当10为斜边时，另一条直角边为8，所以最短边上的高为8；当10为直角边时，最短的直角边为6，则最短边上的高是10.
故答案为8或10.
三、解 答 题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程．
19. （1）计算.
（2）计算：
【正确答案】(1) ；(2) .
【详解】试题分析：（1）前三项化简二次根式，后一项运用平方差公式进行计算，进行合并同类二次根式 即可得解；
（2）运用平方差公式和完全平方公式分别把括号去掉，再合并同类项即可得出结果.
试题解析：（1）原式=
=
=；
（2）原式=-（a2-9b2）+a2-4ab+4b2
=-a2+9b2+a2-4ab+4b2
=.
20. 根据要求，解答下列问题：
（1）计算：
（2）化简.
【正确答案】（1）3x-2；（2）.
【详解】试题分析：（1）分别运用多项式除以单项式和多项式乘以多项式把括号去掉，再合并同类项即可求出结果；
（2）先把括号内的分式通分，并把分子分母分解因式，把除法运算转化为乘法运算进行分式的乘除运算，进行计算即可得解 ．
试题解析：（1）原式=-3x2+4x-3x+3x2-2+2x
=3x-2；
(2)原式=
=
=.
21. 如图，已知点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足.连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，求证：OE=4EF．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据角平分线的性质得到ED=EC，证明Rt△ODE≌Rt△OCE，得到OD=OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半解答即可．
试题解析：（1）证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，又ED=EC，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵∠AOB=60°，
∴∠BOE=30°，
∴OE=2DE，
∵ED⊥OB，OE⊥CD，∠BOE=30°，
∴∠FDE=30°，
∴DE=2EF，
∴OF：FE=3：1．
∴OE=4EF．
22. 如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）△GFC是等边三角形.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△ACE≌△BCD；
（2）利用△ACE≌△BCD得出∠CBG=∠CAF，再运用平角定义得出∠BCG=∠ACF进而得出△BCG≌△ACF,因此CG=CF，再由∠ACF=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△GFC是等边三角形．
【详解】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
,
∴△ACE≌△BCD；
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBG=∠CAF．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACF=60°．
∴∠BCG=∠ACF，
在△BCG和△ACF中，，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴CG=CF；
∵∠ACF=60°，
∴△GFC是等边三角形．
本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
23. 如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设出发的时间为秒．
出发秒后，求的周长．
问满足什么条件时，直角三角形？
另有一点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【正确答案】（1）；（2）当或，为直角三角形；（3）当或秒时，直线把的周长分成相等的两部分
【分析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；
（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0
【详解】解：，
动点从点开始，按的路径运动，速度为每秒
出发秒后，则
，由勾股定理可得
的周长为：；
，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒
在上运动时为直角三角形，
当在上时，时，为直角三角形，
解得：
速度为每秒
综上所述：
当或，为直角三角形；
当点在上，在上，
则
直线把的周长分成相等的两部分，
，
；
当点在上，在上，
则
直线把的周长分成相等的两部分，
，
当或秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质，但是此题涉及动点问题，是一个难点．
24. 如图所示，港口A位于灯塔C的正南方向，港口B位于灯塔C的南偏东60°方向，且港口B在港口A的正东方向的135公里处.一艘货轮在上午8时从港口A出发，匀速向港口B航行.当航行到位于灯塔C的南偏东30°方向的D处时，接到公司要求提前交货的通知，于是提速到原来速度的1.2倍，于上午12时准时到达港口B，顺利完成交货.求货轮原来的速度是多少？
【正确答案】货轮原来的速度是30公里/时.
【详解】试题分析：根据方向角、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质得到CD=BD，CD=2AD，求出AD、BD的长，根据题意列出分式方程，解方程即可．
试题解析：由题意得，∠A=90°，∠ACB=60°，∠ACD=30°，
∴∠DCB=30°，
∠B=30°，
∴∠DCB=∠B，
∴CD=BD，
∵∠A=90°，∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴BD=2AD，又AB=135，
∴AD=45，BD=90，
设货轮原来的速度是x海里/时，由题意得，
，
解得，x=30，
检验：当x=30时，1.2x≠0，
∴x=30是原方程的解，
答：货轮原来的速度是30海里/时．
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（A卷）
一、单 选 题（本题共12小题，每题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 下面4个图案，其中没有是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 一个三角形的两边长为3和7，第三边长为偶数，则第三边为（）
A. 6 B. 6或8 C. 4 D. 4或6
5. 下列从左到右变形，属于分解因式的是（ ）
A （a﹣3）（a+3）=a2﹣9 B. x2+x﹣5=x（x+1）﹣5
C. a2+a=a（a+1） D. x3y=x•x2•y
6. 如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（ ）
A AB B. BC C. DC D. AE+AC
7. 若分式的值为零，则x等于（ ）
A. 0 B. 2 C. ±2 D. ﹣2
8. 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A. 2mn B. （m+n）2 C. （m-n）2 D. m2-n2
9. 如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ）
A. 80° B. 100° C. 140° D. 160°
10. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A. 2∠A=∠1-∠2 B. 3∠A=2（∠1-∠2）
C. 3∠A=2∠1-∠2 D. ∠A=∠1-∠2
11. 如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A. 24° B. 25° C. 30° D. 36°
12. 如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 若要使分式有意义，则x的取值范围是________
14. 数学在我们的生活中无处没有在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=______
15. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是_______．(没有再添加辅助线和字母)
16. 化简的结果是________
17. 已知关于x分式方程无实数解，则a=________
18. 如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB=________cm．
19. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则S△OFE=________
20. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形．
21. （1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）解方程：
22. 化简求值：已知，求的值
23. 如图，（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使△PAB周长最短．（只需作图，保留作图痕迹）
24. 已知等边三角形ABC，延长BA至E，延长BC至D，使得AE=BD，求证：EC=ED
25. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供没有应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
26. 在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？________（填“成立”或“没有成立”）
（3）在（2）条件下，当∠DBA=________时，存在AQ=2BD，说明理由．
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（A卷）
一、单 选 题（本题共12小题，每题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 下面4个图案，其中没有是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】根据轴对称图形的概念可知只有选项D没有是轴对称图形，故选D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
【详解】解： =．
故选B．
3. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．∵点P（3，﹣2）关于y轴的对称点是（﹣3，﹣2），∴点P（3，﹣2）关于y轴的对称点在第三象限．
故选C．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
4. 一个三角形的两边长为3和7，第三边长为偶数，则第三边为（）
A. 6 B. 6或8 C. 4 D. 4或6
【正确答案】B
【详解】试题解析：设第三边为x，
则7−3
∴第三边长是6或8.
故选B.
点睛：三角形的任意两边之和大于第三边.
5. 下列从左到右的变形，属于分解因式的是（ ）
A. （a﹣3）（a+3）=a2﹣9 B. x2+x﹣5=x（x+1）﹣5
C. a2+a=a（a+1） D. x3y=x•x2•y
【正确答案】C
【详解】分解因式是把一个多项式化为几个整式的积的形式，A.是整式的乘法，没有是分解因式；B.等号右边没有是几个整式的积的形式，没有是分解因式；C.是分解因式；D.左边没有是一个多项式，没有是分解因式，故选C.
6. 如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（ ）
A. AB B. BC C. DC D. AE+AC
【正确答案】A
【分析】由题意证明△ACB≌△ECD（AAS）即可得结果．
【详解】解：设AB、DC相交于点O，
∵∠1＝∠2，,
∴，
∴∠B＝∠D，
∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD，
即∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（AAS），
∴AB＝ED．
故选：A．
本题主要考查全等三角形判定与性质，熟知几种全等三角形的证明方法是解题的关键．
7. 若分式的值为零，则x等于（ ）
A. 0 B. 2 C. ±2 D. ﹣2
【正确答案】D
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母没有为0．
【详解】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，2x-4=0，∴x=2没有满足条件．
当x=-2时，2x-4≠0，∴当x=-2时分式的值是0．
故选D．
本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零．注意：“分母没有为零”这个条件没有能少．
8. 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A. 2mn B. （m+n）2 C. （m-n）2 D. m2-n2
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2．
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．
故选C．
9. 如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ）
A. 80° B. 100° C. 140° D. 160°
【正确答案】C
【分析】先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．
【详解】∵
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，
故选C．
考查了四边形的内角和，等腰三角形的两个底角相等的性质．
10. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A. 2∠A=∠1-∠2 B. 3∠A=2（∠1-∠2）
C. 3∠A=2∠1-∠2 D. ∠A=∠1-∠2
【正确答案】A
【分析】根据折叠性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．
【详解】解：是沿折叠得到，
，
又，，
，
即，
整理得：．
故选：A．
本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，把、、转化到同一个三角形中是解题的关键．
11. 如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A. 24° B. 25° C. 30° D. 36°
【正确答案】B
【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB
∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，
∴∠ABD2=∠ABD1 =∠ABC，∠ACD2=∠ACD1 =∠ACB，
同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故选：B
12. 如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④
【正确答案】A
【详解】试题解析：
过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
所以①正确.
故选A.
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 若要使分式有意义，则x的取值范围是________
【正确答案】x≠﹣4
【详解】试题解析：由题意得：
解得：
故答案为
14. 数学在我们的生活中无处没有在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=______
【正确答案】60°
【详解】试题解析：∵台球桌四角都是直角,
∵∠1=∠2，
故答案为
15. 如图，在△ABC中，D是BC边上中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是_______．(没有再添加辅助线和字母)
【正确答案】∠B=∠C（答案没有）
【分析】答案没有根据AB=AC，推出∠B=∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED=∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED=∠AFD推出∠B=∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可．
【详解】解：答案没有，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等；
理由是：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
④∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠B=∠C，
即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
故答案为答案没有，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD．
本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16. 化简的结果是________
【正确答案】
【详解】试题解析：原式
故答案为
17. 已知关于x的分式方程无实数解，则a=________
【正确答案】1
【详解】试题解析：去分母，得，
方程无实数根，
则：
把代入
则：
解得：
故答案为
18. 如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB=________cm．
【正确答案】6
【详解】在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE=3cm，
∴BC=6cm，
∵AB=AC，∠ABC为60°，
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=6cm，
故6.
19. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则S△OFE=________
【正确答案】4
【详解】试题解析：作EG⊥OA于G，
∵EFOB，
∵EG=CE=2，
故答案为:
点睛：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半.
20. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形．
【正确答案】45°或67.5°或90°
【分析】若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的值．
【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，
①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=45°，
∴∠A=90°；
②当AO=OP时，则∠A=∠APO==67.5°；
③当OP=AP时，则∠A=∠AON=45°，
综上可知∠A为45°或67.5°或90°，
故答案为45°或67.5°或90°．
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
21. （1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）解方程：
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：提取公因式法和公式法相.
运用平方差公式进行因式分解.
按照解分式方程的步骤解方程即可.
试题解析：
（1），
（2）
（3）两边乘,得到，
，
，
检验：当时，，
故是分式方程的根.
点睛：因式分解的常用方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.
22. 化简求值：已知，求的值
【正确答案】5.
【详解】试题分析： 已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算,整理得到,代入原式计算即可.
试题解析：
，
.
23. 如图，（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使△PAB周长最短．（只需作图，保留作图痕迹）
【正确答案】（1）详见解析；（2）A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）;（3）详见解析
【详解】试题分析：（1）分别作出点A、B、C关于轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）根据对称的性质写出关于轴对称的的各顶点坐标；
（3）连结或交y轴于点P，则点P即为所求.
试题解析：
（1）如图所示：
(2)
(3)连结或交y轴于点P，则点P即为所求.
24. 已知等边三角形ABC，延长BA至E，延长BC至D，使得AE=BD，求证：EC=ED
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：延长BD到F,使BF=BE,连接EF.证明△EBC≌△EFD,即可求证.
试题解析：
证明:延长BD到F,使BF=BE,连接EF.则BF-BC=BE-BA.
即CF=AE;又AE=BD.
故CF=BD, DF=BC.
∵∠B=60°.
∴△BEF为等边三角形,BE=EF;∠B=∠F=60°.
∴△EBC≌△EFD(SAS),
EC=ED
25. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供没有应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【正确答案】（1）80元；（2）3700元
【详解】解：（1）设批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价是（x+4）元．
∴3×
解得x=80
经检验：x=80是原分式方程的解
∴批购进书包的单价是80元
（2）批购进书包的数量是：2000÷80=25 个
批购进书包的数量是：6300÷84=75 个
∴商店共盈利：120×（25+75）－2000－3600=3700元
答：批购进书包的单价是80元，商店共盈利3700元
26. 在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？________（填“成立”或“没有成立”）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA=________时，存在AQ=2BD，说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）（2）成立，理由见解析；（3）当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出
△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延长BA交PQ于H，由于 得到 推出△AQC≌△BPC(ASA)，即可得出结论；
（3）当时，存在根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过△PBC≌△ACQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
试题解析：
（1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ
(2)成立，
理由：延长BA交PQ于H，
∠AQC=∠BQD,
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中,
∴△AQC≌△BPC(ASA)，
∴AQ=BP，
故答案为成立；
（3）22.5°，
当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC与△QAC中，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
故答案为22.5°.
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、没有选或选出的答案超过一个均记零分.
1. 下列根式中没有是最简二次根式的是
A. B. C. D.
2. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A B. C. D.
3. 如图，,要使,还需添加一个条件，那么在①；②；③；④这四个关系中可以选择的是
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
6. 下列运算：（1）；（2）；（3） ；（4）.其中错误的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 若,则A为( )
A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab
8. 练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有
① ②
③ ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 关于的分式方程的解，下列说确的是
A. 没有论取何值，该方程总有解
B. 当时该方程解为
C. 当时该方程解为
D. 当时该方程的解为
10. 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值
A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大6倍
C. 缩小为原来的12倍 D. 没有变
11. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则△BC′F的周长为（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
12. 如图，AD是△ABC角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④
二、填 空 题：本大题共6小题，共24分，只要求填写结果，每小题填对得4分．
13. 在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,且BD∶DC=5∶3,则D到AB的距离为____cm.
14. 已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的顶角是______°．
15. 分解因式： =__________________________________.
16. 若x2-mx+36是一个完全平方式，则m=____________________.
17. 当______时，分式值为零．
18. 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为______．
三、解 答 题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程．
19. （1）计算.
（2）计算：
20. 根据要求，解答下列问题：
（1）计算：
（2）化简.
21. 如图，已知点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足.连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，求证：OE=4EF．
22. 如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）△GFC是等边三角形.
23. 如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设出发的时间为秒．
出发秒后，求的周长．
问满足什么条件时，为直角三角形？
另有一点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
24. 如图所示，港口A位于灯塔C的正南方向，港口B位于灯塔C的南偏东60°方向，且港口B在港口A的正东方向的135公里处.一艘货轮在上午8时从港口A出发，匀速向港口B航行.当航行到位于灯塔C的南偏东30°方向的D处时，接到公司要求提前交货的通知，于是提速到原来速度的1.2倍，于上午12时准时到达港口B，顺利完成交货.求货轮原来的速度是多少？
2022-2023学年北京市八年级上册数学期末专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、没有选或选出的答案超过一个均记零分.
1. 下列根式中没有是最简二次根式的是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用最简二次根式满足的条件逐一判断即可．
【详解】试题解析：A．是最简二次根式，没有符合题意；
B．，没有是最简二次根式，符合题意；
C．最简二次根式，没有符合题意；
D． 是最简二次根式，没有符合题意．
故选：B．
本题考查最简二次根式，最简二次根式满足的条件：被开方数没有含开得尽方的因数或因式，被开方数没有含分母，分母没有含根式，这是解这类题的关键．
2. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；
当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选D．
3. 如图，,要使,还需添加一个条件，那么在①；②；③；④这四个关系中可以选择的是
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【正确答案】D
【详解】试题解析：①∵AC=AD，∠ABD=∠ABC，AB=AB，
∴没有能推出△ABC≌△ABD，故错误；
②根据BC=BD，AB=AB，∠ABD=∠ABC，根据SAS能推出△ABC≌△ABD，故正确；
③∵∠C =∠D，∠DAB=∠CAB，AB=AB，
∴根据AAS能推出△ABC≌△ABD，故正确；
∵∠DAB=∠CAB，AB=AB，∠ABD=∠ABC，
∴根据ASA能推出△ABC≌△ABD，故正确；
④∵∠CAB=∠DAB，AB=AB，∠ABD=∠ABC，
∴根据ASA能推出△ABC≌△ABD，故正确；
正确的有②③④.
故选D．
4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选B．
本题主要考查了尺规作图—作已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
5. 如图，，，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
【正确答案】C
【详解】解：∵，
∴
∴,
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，
∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故选C
6. 下列运算：（1）；（2）；（3） ；（4）.其中错误的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
详解】试题解析：（1），计算结果正确；
（2），原计算结果错误；
（3），原计算结果错误；
（4），原计算结果错误.
计算结果错误的个数有3个.
故选C.
7. 若,则A为( )
A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab
【正确答案】C
详解】试题解析：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，
∴A=（a+b）2-（a-b）2=4ab．
故选C．
点睛：完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．
8. 练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有
① ②
③ ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：①x3+x=x（x2+1），没有符合题意；
②x2-2xy+y2=（x-y）2，符合题意；
③a2-a+1没有能分解，没有符合题意；
④x2-16y2=（x+4y）（x-4y），符合题意，
故选B
9. 关于的分式方程的解，下列说确的是
A. 没有论取何值，该方程总有解
B. 当时该方程的解为
C. 当时该方程的解为
D. 当时该方程的解为
【正确答案】C
【详解】试题解析：分式方程去分母得：m（x+1）-x=0，即（m-1）x=-m，
当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0，即m≠1时，解得：x=；
当m=2时，方程的解为x=-2，
故选C.
10. 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值
A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大6倍
C. 缩小为原来的12倍 D. 没有变
【正确答案】A
【详解】试题解析：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得，
可见新分式是原分式的3倍．
故选A．
11. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则△BC′F的周长为（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【正确答案】A
【详解】试题解析：由折叠可得，BC'=CD=AB=4，C'F=CF，
∴BF+C'F=BF+CF=BC=8，
∴△BC′F的周长=BC'+BF+C'F=4+8=12.
故答案为12．
点睛：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．
12. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2EC，
∴AC=3EC=3BF，故④正确．
故选D．
二、填 空 题：本大题共6小题，共24分，只要求填写结果，每小题填对得4分．
13. 在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,且BD∶DC=5∶3,则D到AB的距离为____cm.
【正确答案】6
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．
【详解】∵∠C=90，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，
∴CD就是D到AB距离，
∵BD:DC=5:3，BC=16cm，
∴CD=6，
即D到AB的距离为6cm.
故答案为6.
本题考查的知识点是角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质.
14. 已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的顶角是______°．
【正确答案】50°或80°
【分析】根据等腰三角形的性质计算即可；
【详解】解：∵三角形时等腰三角形，
∴当50°是一个底角时，顶角是；
当50°是顶角时，符合题意；
∴它的顶角是50°或80°．
故答案是50°或80°．
本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．
15. 分解因式： =__________________________________.
【正确答案】
【详解】试题解析：-2x3y+12x2y2-18xy3
=-2xy（x2-6xy+9y2）
=-2xy（x-3y）2，
故答案为-2xy（x-3y）2．
16. 若x2-mx+36是一个完全平方式，则m=____________________.
【正确答案】±12
【详解】试题解析：∵x2+mx+36是一个完全平方式，
∴m=±12.
故答案为±12.
17. 当______时，分式值为零．
【正确答案】﹣2
【分析】根据分式值为零及分式成立的条件求解即可．
【详解】解：要使分式为零，则分子x2﹣4＝0解得：x＝±2，
而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣4≠0，
x＝2时分母x﹣2＝0，分式没有意义，
所以x的值为﹣2．
故﹣2．
本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母没有为零分式的值为零．
18. 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为______．
【正确答案】8或10
【分析】本题考查的是利用勾股定理求出第三边，根据等积法求出最短边上的高.
【详解】当10为斜边时，另一条直角边为8，所以最短边上的高为8；当10为直角边时，最短的直角边为6，则最短边上的高是10.
故答案为8或10.
三、解 答 题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程．
19. （1）计算.
（2）计算：
【正确答案】(1) ；(2) .
【详解】试题分析：（1）前三项化简二次根式，后一项运用平方差公式进行计算，进行合并同类二次根式 即可得解；
（2）运用平方差公式和完全平方公式分别把括号去掉，再合并同类项即可得出结果.
试题解析：（1）原式=
=
=；
（2）原式=-（a2-9b2）+a2-4ab+4b2
=-a2+9b2+a2-4ab+4b2
=.
20. 根据要求，解答下列问题：
（1）计算：
（2）化简.
【正确答案】（1）3x-2；（2）.
【详解】试题分析：（1）分别运用多项式除以单项式和多项式乘以多项式把括号去掉，再合并同类项即可求出结果；
（2）先把括号内的分式通分，并把分子分母分解因式，把除法运算转化为乘法运算进行分式的乘除运算，进行计算即可得解 ．
试题解析：（1）原式=-3x2+4x-3x+3x2-2+2x
=3x-2；
(2)原式=
=
=.
21. 如图，已知点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足.连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，求证：OE=4EF．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据角平分线的性质得到ED=EC，证明Rt△ODE≌Rt△OCE，得到OD=OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半解答即可．
试题解析：（1）证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，又ED=EC，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵∠AOB=60°，
∴∠BOE=30°，
∴OE=2DE，
∵ED⊥OB，OE⊥CD，∠BOE=30°，
∴∠FDE=30°，
∴DE=2EF，
∴OF：FE=3：1．
∴OE=4EF．
22. 如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）△GFC是等边三角形.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△ACE≌△BCD；
（2）利用△ACE≌△BCD得出∠CBG=∠CAF，再运用平角定义得出∠BCG=∠ACF进而得出△BCG≌△ACF,因此CG=CF，再由∠ACF=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△GFC是等边三角形．
【详解】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
,
∴△ACE≌△BCD；
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBG=∠CAF．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACF=60°．
∴∠BCG=∠ACF，
在△BCG和△ACF中，，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴CG=CF；
∵∠ACF=60°，
∴△GFC是等边三角形．
本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
23. 如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设出发的时间为秒．
出发秒后，求的周长．
问满足什么条件时，直角三角形？
另有一点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【正确答案】（1）；（2）当或，为直角三角形；（3）当或秒时，直线把的周长分成相等的两部分
【分析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；
（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0
【详解】解：，
动点从点开始，按的路径运动，速度为每秒
出发秒后，则
，由勾股定理可得
的周长为：；
，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒
在上运动时为直角三角形，
当在上时，时，为直角三角形，
解得：
速度为每秒
综上所述：
当或，为直角三角形；
当点在上，在上，
则
直线把的周长分成相等的两部分，
，
；
当点在上，在上，
则
直线把的周长分成相等的两部分，
，
当或秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质，但是此题涉及动点问题，是一个难点．
24. 如图所示，港口A位于灯塔C的正南方向，港口B位于灯塔C的南偏东60°方向，且港口B在港口A的正东方向的135公里处.一艘货轮在上午8时从港口A出发，匀速向港口B航行.当航行到位于灯塔C的南偏东30°方向的D处时，接到公司要求提前交货的通知，于是提速到原来速度的1.2倍，于上午12时准时到达港口B，顺利完成交货.求货轮原来的速度是多少？
【正确答案】货轮原来的速度是30公里/时.
【详解】试题分析：根据方向角、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质得到CD=BD，CD=2AD，求出AD、BD的长，根据题意列出分式方程，解方程即可．
试题解析：由题意得，∠A=90°，∠ACB=60°，∠ACD=30°，
∴∠DCB=30°，
∠B=30°，
∴∠DCB=∠B，
∴CD=BD，
∵∠A=90°，∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴BD=2AD，又AB=135，
∴AD=45，BD=90，
设货轮原来的速度是x海里/时，由题意得，
，
解得，x=30，
检验：当x=30时，1.2x≠0，
∴x=30是原方程的解，
答：货轮原来的速度是30海里/时．
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