高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题课后练习题

【精选】4.2 直线与圆锥曲线的综合问题优选练习

一．填空题

1．已知抛物线的通径长为，点是抛物线上任意一点，则的最大值为______.

2．过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条．

3．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其中，双曲线过点，则的值是______，双曲线的渐近线方程是______.

4．设，若直线上存在一点满足，且的内心到轴的距离为，则___________.

5．已知点和椭圆.

（1）设椭圆的两个焦点分别为，试求△的周长；

（2）若直线与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线与x轴分别交于M，N两点，求证：.

6．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________

7．过点的直线交双曲线的两支于两点，已知，求的取值范围.

8．已知抛物线的焦点，过其准线与轴的交点作直线，

（1）若直线与抛物线相切于点，则=_____________.

（2）设，若直线与抛物线交于点，且，则=_____________.

9．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦．，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________.

10．求焦点在直线的抛物线的标准方程______________.

11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.如果，那么等于______.

12．在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A．B两点.其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为                      

13．过抛物线上一点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于，(异于点)两点，则直线恒过定点_______．

14．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，.若的面积为9，则=_________.

15．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点M作MN垂直于准线l，垂足为N，，，O为坐标原点，则________；若过作直线与抛物线交于M，Q两点，，则________.

16．直线l：x﹣ty+1＝0（t＞0）和抛物线C：y2＝4x相交于不同两点A．B，设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F，以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足|MN||NF|，则直线l的方程为_____.

17．已知直线与曲线．当直线被曲线截得的线段长为时，直线方程是__________．

18．直线与椭圆交于A？B两点，F为椭圆的右焦点，若，则椭圆的离心率为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由抛物线的通径公式可求得，由取最大值可得出，利用基本不等式求得，由，设，，利用双勾函数的单调性可求得的最大值.

【详解】

已知抛物线的通径长为，所以，抛物线的方程为，

当时，，当且仅当时，等号成立，

所以，，

当取最大值时，，且，

令，则，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，

因此，当时，取得最大值.

故答案为：.

2．【答案】3

【解析】分当直线的斜率不存在和当直线的斜率存在时，两种情况讨论求解.

详解：当直线的斜率不存在时，该直线方程为与抛物线相切，只有一个交点，

当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线，

消去y得：，

当时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，

当时，，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，

所以过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有3条

故答案为：3

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.

3．【答案】     

【解析】根据点坐标求得，由此求得抛物线方程，进而求得点坐标，将坐标代入双曲线的方程，由此求得，进而求得双曲线的渐近线方程.

详解：由于在抛物线上，所以.所以抛物线方程为，其焦点坐标为，所以直线的方程为.

由，解得或，所以.

将坐标代入双曲线的方程得，解得，

所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：（1）；（2）

【点睛】

本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程，属于中档题.

4．【答案】

【解析】由题意可得点为直线与椭圆的交点,直线方程与椭圆方程联立可得，由的内心到轴的距离为，即的内切圆的半径，由等面积法可求出参数的值.

详解：点满足,则点在椭圆上.

由题意可得点为直线与椭圆的交点.

联立与，消去得，则.

因为的内心到轴的距离为，所以的内切圆的半径.

所以的面积为，

即，解得，又，则.

【点睛】

本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.

5．【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)由椭圆的定义可得，则三角形的周长可求.
(2)要证，则需证明以∠PMN＝∠PNM，设直线PA与PB的斜率分别为，只需证明，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可证明结论.

【详解】

（1）由题意可知，，所以.

因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得，

所以△的周长为.

（2）由得.

因为直线与椭圆C有两个交点，并注意到直线不过点P，

所以解得或.

设，则，

.

显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为，

则

.

因为，所以∠PMN＝∠PNM.

所以.

6．【答案】

【解析】详解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）．（±3，0）

∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，

∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）．（±3，0）

∴a=3，c=

∴

∴椭圆C的方程是

故答案为

7．【答案】

试题分析：分析可设直线方程，与双曲线方程联立，由分别位于不同的两支得，再利用向量垂直坐标表示转化条件，结合韦达定理化简可得，最后综合双曲线方程隐含条件解得结果.

详解：因为双曲线，所以

由题意可知，直线不可能与轴垂直，因此，可设直线的方程为，并代入双曲线方程，得.①

设点两点的坐标分别为.

因为分别位于不同的两支，

.②

又，即.

，即，并代入②式，得

，即.

.

则②式必成立.，

.

【点睛】

对于直线与曲线的关系的问题，一般要根据题意作出相关的图像，然后设出适当的直线方程的形式；针对两条直线垂直的条件，最好的处理方法是向量的数量积为零；对于题设所给出的条件，要把它转化为数学表达式.

【解析】

8．【答案】；       

【解析】

（1）由题意知，点，点，

设直线与抛物线相切于第一象限，则，

代入抛物线方程并整理得：，

则，解得，直线：

此时，解得，

将代入直线方程，解得，

所以点，则轴，又直线斜率为1，

所以，所以；

（2）由已知，，则抛物线，

则点，点，

设直线方程为，

代入抛物线方程并整理得，，

设点，点，由韦达定理，，

由，得，

所以，即，

整理得，，又，

所以，解得，或（舍去），

由，解得，

，

，

所以.

故答案为：（1）；（2）

9．【答案】

【解析】设弦和轴的夹角为，通过抛物线焦半径公式可用和分别表示出与的直角边的长度，用和表示出两个三角形的面积之和，利用函数的性质得出面积之和取最小值时对应的值，可得出的值.

详解：设直线和轴的夹角为，由焦半径公式得到

，，

，，

，

，

设面积之和为，

，

∴，

设，，

原式化简为，

根据二次函数的性质当时有最小值，

此时，

∴

抛物线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系之焦点弦性质，考查运算求解能力和转化与化归思想，是中档题.

10．【答案】

【解析】由，分别令，得到在y，x轴上的焦点坐标，再写出抛物线方程.

详解：因为，

令，得，

所以，

所以抛物线的标准方程 ；

令，得，

所以，

所以抛物线的标准方程，

综上：抛物线的标准方程为：.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查抛物线方程的求法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力.属于基础题.

11．【答案】8

【解析】抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，故，由此易得弦长值．

详解：解：由题意，，故抛物线的准线方程是，

∵抛物线 的焦点作直线交抛物线于，两点，

∴，

又，

∴.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．

12．【答案】

【解析】由可求得焦点坐标，因为倾角60o，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此.

【考点定位】本题考查的是解析几何中抛物线的问题，根据交点弦问题求围成面积．此题把握住抛物线的基本概念，熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标和方程是成功的关键，当然还要知道三角形面积公式．

13．【答案】(，)

【解析】设AP：与抛物线C：联立，由根与系数的关系求得P(()2，)，和Q(，)，得直线PQ：．进而可判定，得到答案.

详解：由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，设AP：，

与抛物线C：联立，消去x，得，

由根与系数的关系可得，，即P(()2，)，

同理可得Q(，)，所以直线PQ的斜率，

所以直线PQ：．

通过对比可知，， 满足条件，即直线PQ恒过定点(，)．

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线过定点问题，其中解答中设出的方程与抛物线方程联立方程组，确定出点的坐标，得到的直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

14．【答案】3

【解析】因本题为选择题，故可直接根据焦点三角形的面积公式，代值计算，即可容易求得结果.

详解：由题可知，

由椭圆焦点三角形面积公式：，

.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查椭圆中焦点三角形面积的求解，作为选择题和填空题，可直接套用二级结论进行求解即可.属基础题.

15．【答案】2     

【解析】由已知条件及抛物线的定义即可求出p的值，进而得到直线的方程，联立方程求得Q的坐标，再利用两点间的距离公式分别求出与，即可得的值.

详解：设，准线l与x轴的交点为A，则.

又，所以，故或，

代入，可得，解得.

故，解得，

故抛物线的方程为.

不妨设M在x轴上方，则，故直线的斜率，故直线的方程为，联立方程，得，得，解得或，故，则，，所以.

故答案为：2 

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义．方程与几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算求解能力，属于较难题.

16．【答案】xy+1＝0

【解析】求得抛物线的焦点F，联立直线l和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，设N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，结合两直线垂直的条件，可得t，y0的关系式，再由两点的距离公式，化简整理可得t，可得所求直线方程.

详解：y2＝4x的焦点为F（1，0），联立x﹣ty+1＝0与y2＝4x，可得y2﹣4ty+4＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得y1+y2＝4t，则中点M（2t2﹣1，2t），

设N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，可得t，即有y0，

由|MN||NF|可得，

即为，

结合，整理可得t6＝27，解得t，

可得直线l的方程为xy+1＝0.

故答案为：xy+1＝0.

【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的关系，联立方程结合韦达定理及两点间距离公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

17．【答案】或

【解析】联立直线与曲线方程，利用韦达定理以及弦长公式列方程，解得，即得结果.

详解：将直线代入曲线得

因此直线被曲线截得的线段长为

因为直线被曲线截得的线段长为，所以

，（负值舍去），满足，

从而直线方程是或

故答案为：或

【点睛】

本题考查直线与曲线弦长问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

18．【答案】

【解析】由题意转化条件为点，代入椭圆方程可得，化简后即可得解.

详解：设点，椭圆如图所示：

直线，即，

又，为中点，

，点即，

点在椭圆上，，

结合化简可得，

由可得，解得或（舍去），

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了直线和椭圆的综合应用，考查了椭圆离心率的求解，属于中档题.