高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程测试题

【基础】3.1 抛物线及其标准方程-3作业练习

一．填空题

1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离为__________．

2．已知抛物线上的焦点，点在抛物线上，点，则要使的值最小的点的坐标为____________.

3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点的坐标为________.

4．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且．．成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.

5．抛物线的准线方程为________．

6．若抛物线y2=2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|=2，则点A到抛物线的准线的距离为_________.

7．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为___________.

8．已知圆的圆心是抛物线的焦点，过点的直线交该抛物线的准线于点，与该抛物线的一个交点为，且，则__________.

9．抛物线的焦准距是______.

10．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．

11．已知倾斜角为的直线过曲线的焦点，且与相交于不同的两点（在第一象限），则_____．

12．已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________.

13．已知，是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为___________.

14．倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为____________．

15．已知点是抛物线的焦点，直线经过点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点（如图所示），则__________．

16．若，则的最小值是_______．

17．若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为___________.

18．已知点P(1，2)在抛物线C上，则抛物线C的准线方程为___.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标与准线方程，从而可得答案.

详解：由可得，

抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

所以抛物线的焦点到准线的距离为，

故答案为：1.

2．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义，将点P (m，n）到焦点F的距离|PF|转化为它到准线l: x=1的距离，利用不等式即可求得答案．

详解：因为抛物线的焦点，

所以，其准线方程为，

因为点在抛物线上，点，

设点P在准线l: x=1上的射影为P'

则，

(当三点共线时取“=”),

此时P点的纵坐标为，

所以，

解得，

所以点P的坐标为，

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：根据抛物线的定义得，解得，代入抛物线的方程，即可求得点的坐标.

详解：由题意，抛物线上一点到其焦点的距离为6，

根据抛物线的定义，可得，解得，

代入抛物线，即，解得，

所以点的坐标为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义及标准方程的应用，其中解答中熟记抛物线的定义是解答的关键，着重考查了计算能力.

4．【答案】或

【解析】分析：设出三点的坐标，结合等差数列的性质．线段垂直平分线的性质．抛物线的定义进行求解即可.

详解：抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为．．成等差数列，所以有，所以，

因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有

，化简整理得：

或.

若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；

若，所以有，因此.

故答案为：或

【点睛】

本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.

5．【答案】

【解析】分析：根据抛物线的方程，得到的值，然后得到其准线方程.

详解：因为抛物线方程为：，所以，即，

所以准线方程为.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：求出抛物线的准线，再利用弦长求出点A的纵坐标，代入抛物线求出点，由抛物线的定义即可求解.

详解：由抛物线y2=2x，其准线方程为x=-，

∵AB垂直于x轴，|AB|=2，A到x轴的距离为，

假设A在y轴上侧，即y=，代入抛物线y2=2x，求得x=1，

点A到抛物线的准线的距离d=1+.

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可得，再根据三角形的性质：即可求解.

详解：设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，则.

依抛物线的定义，知点到该抛物线的准线的距离为，

则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和

.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：由圆的圆心得出抛物线方程，根据相似三角形的性质结合抛物线的定义，即可得出答案.

详解：圆即，圆心坐标为，则

抛物线方程为，所以.如图，，所以

又，所以，得

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程以及定义的应用，属于中档题.

9．【答案】

【解析】分析：抛物线化为标准方程，即可求得抛物线焦点到准线的距离.

详解：解：抛物线化为标准方程为.

.

.

抛物线的焦准距是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题关键是理解焦准距的含义，属于基础题.

10．【答案】8

【解析】分析：先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果.

详解：抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，

故根据抛物线定义可知.

故答案为：8.

11．【答案】

【解析】分析：求出点坐标，过作垂直轴于点，垂直准线于点，为准线与轴的交点，由结合直线倾斜角是60°可得出的方程，从而求得.

详解：由曲线即得，．

过作垂直轴于点，垂直准线于点，为准线与轴的交点，则，所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦问题，考查求抛物线上的点到焦点的距离，解题关键利用抛物线的定义建立焦半径的关系式．

12．【答案】

【解析】分析：由抛物线的方程及点A的坐标可判断点A在抛物线的外部。由抛物线的定义可得d1＝PF－，进而可得d1＋d2＝PF＋PA－，由图可知当三点P．F．A共线时，取最小值即为AF－，再由两点间的距离公式可求得结果。

详解：因为，所以点A在抛物线的外部。因为点P在抛物线上，所以d1＝PF－ (其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝PF＋PA－≥AF－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号.

【点睛】

本题主要考查抛物线的方程与定义，考查分析求解．转化能力，属于基础题。在求抛物线上的点到准线的距离时，注意其与抛物线上的点到焦点距离的互相转化。

13．【答案】

【解析】分析：利用抛物线定义化斜为直，长度比转化到常用直角三角形中，得到与的比，再由面积算两次，建立关于的等量关系，解出p.

详解：不妨设直线的斜率.如图，过，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，

过作于，交x轴于P，过作轴于，

由，得，设，则，，

由抛物线定义知，

∴，且，

∴，∴，

由，

又，

所以，∴.

故答案为：.

【点睛】

抛物线焦半径问题通常应用定义化斜为直，将已知长度集中转化到直角三角形中，长度问题一般结合勾股定理，角度问题一般联系倾斜角(斜率)求解.

14．【答案】8

【解析】分析：先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程联立，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义，即可求线段AB的长．

详解：设，，A，B到准线的距离分别为，，

由抛物线的定义可知，，于是．

由已知得，斜率，所以直线AB方程为．

联立，化简得．

由求根公式得，于是．

故答案为：8.

15．【答案】16

【解析】分析：设点，，根据圆的性质，结合抛物线的定义，可以求出的表达式，设直线的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

详解：设点，，抛物线焦点，圆的圆心为，则，．

所以．由题可知直线的斜率不为0，所以设直线方程为，与抛物线方程联立得，即,，

所以．

故答案为：16

【点睛】

本题考查了抛物线的定义和圆的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.

16．【答案】

【解析】分析：由目标式的形式：可看作两点的距离，而可看作两点的距离，问题转化为的最小值；是上的点，对于在坐标系存在使得，可联想抛物线：以为焦点，为准线的抛物线，即问题最终为求抛物线上一点到定点与上的一点的距离之和最小，结合抛物线．函数图象及利用导数求最小值.

详解：由，记，

则，即原问题转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小，

，当且仅当共线时等号成立.

令，则且，

由于单调增，则是唯一零点，即有在上单调递减，在上单调递增，则，即最小值为.

则．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质．两点距离公式．数形结合．导数研究函数最值的应用，属于难题.

17．【答案】

【解析】分析：由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果.

详解：因为抛物线经过点，，即抛物线经过第一．二象限，

故设抛物线方程为，代入点，可得，即，

则抛物线方程为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.

18．【答案】

【解析】分析：代入抛物线方程，求出，可求准线方程.

详解：在抛物线上，，

准线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点．对称轴．开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．