高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系达标测试

【精选】2.3 直线与圆的位置关系-3优选练习

一．填空题

1．在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，﹣6)作直线交圆O：x2＋y2＝16于A，B两点， C(，)为弦AB的中点，则的取值范围是_______．

2．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L．S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S．圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.

（1）若直线l与圆L．圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为__________；

（2）若直线l截圆L．圆S．圆Q所得弦长均等于d，则__________.

3．已知圆，过点的直线l与C相交于A，B两点，且，则l的方程为________．

4．已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为______.

5．若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.

6．由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为_____.

7．在平面直角坐标系中，直线与圆交于点，为弦的中点，则点的横坐标的取值范围是__________．

8．若圆：与圆：没有公共点，则实数的取值范围是______.

9．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．

10．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是______.

11．在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴和轴分别相切于，两点，点，分别在线段，上，若与圆相切，则的最小值为______.

12．在平面直角坐标系中，若直线l：与圆C：相切，且圆心C在直线l的上方，则的最大值为______.

13．若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为________.

14．倾斜角是，且过点的直线交圆于，两点，则直线的一般式方程__________，__________.

15．经过圆：的圆心，且与直线垂直的直线方程是______.

16．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，﹣1）和B（﹣2，2），且圆心C在直线l：x﹣y﹣1＝0上，则圆心为C的圆的标准方程是_____．

17．当变化时方程表示一系列的直线，现从中选取四条围成一个正方形，则该正方形的面积为________．

18．直线被圆所截得的弦长为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】[，)

【解析】求出点C的轨迹，转化条件为点C(，)到点距离，数形结合即可得解.

详解：因为C(，)为弦AB的中点，所以，

圆O：x2＋y2＝16的圆心为，半径为，

所以，的中点，

C在以OP为直径的圆即圆上，且C在圆O内，如图所示，圆上的劣弧（不含端点）即为C的轨迹，

可转化为点C(，)到点距离，

由图可知，,

联立方程可得 或，

所以点，，

所以，

所以的取值范围是[，)．

故答案为：[，).

【点睛】

本题考查了直线与圆的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.

2．【答案】3     

【解析】圆与圆关于原点对称，直线过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆与圆的圆心坐标，

（1）求出切线方程后，求出到切线的距离后由勾股定理得弦长．

（2）设出直线方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长．

详解：由题意圆与圆关于原点对称，设，则，，

即，∴．

（1）设方程为，即，由得，由对称性不妨取，方程为，，圆心到的距离为，∴弦长为；

（2）同（1）设直线方程为，点到直线的距离为，直线截圆得弦长为，点到直线的距离为，直线截圆得弦长为，由题意，解得，∴．

故答案为：3；．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．

3．【答案】

【解析】根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果.

详解：由题意，圆的圆心为，半径为，

又由题意可知，为弦长，

所以圆心到直线的距离为：，

设直线的方程为：，即，

所以，即，整理得，

解得：.

故直线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.

4．【答案】

【解析】根据圆和圆的位置关系得到，再计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.

【详解】

圆：，圆：内切.

故圆心距，故.

点到直线：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了圆和圆，圆和直线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

5．【答案】4或2

【解析】利用圆心到直线的距离构建关于的方程，解方程后可得的值.

详解：圆的圆心为，它到直线的距离为，

故或.

故答案为：4或2.

【点睛】

本题考查点到直线的距离，利用公式计算距离时注意把直线方程整理为一般方程.

6．【答案】

【解析】根据切线的性质可确定所求四边形面积为，可知当所求面积最小时，，利用点到直线距离公式可求得，进而得到所求面积的最小值.

【详解】

由题意知，圆的圆心，半径

两切线关于对称    四边形面积为

当时，最小，此时

四边形面积的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是能够根据切线的性质将问题转化为圆心到直线距离的求解问题.

7．【答案】

【解析】将直线与圆联立方程组消去可得，利用根与系数关系可得，再根据直线与圆相交，利用判别式求出的范围，进而求出点M的横坐标的取值范围．

详解：由消去得，

所以，

所以，

因为直线与圆交于点A，B两点，

所以，

所以，令，，

所以，其在上单调递减，所以．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题．

8．【答案】或

【解析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距小于两圆半径之和或者小于两圆半径之差的绝对值列式可解得.

【详解】

由圆：可知圆心，半径，

由圆：可得圆心，半径，

因为两圆无公共点，所以两圆相离或内含，

所以，或（无解）

所以，解得或

故答案为：或

【点睛】

本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标和半径，考查了两圆相离或内含的位置关系，属于基础题.

9．【答案】

【解析】求出的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算．

【详解】

由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①

由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为

②

联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，

其到原点的距离为 .

故答案为：

【点睛】

本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．

10．【答案】

【解析】求出圆心到切线的距离即为圆半径，可得方程．

【详解】

由题意圆的半径为，

所求圆的方程为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查圆的方程，解题关键是求出圆的半径，根据是圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径．

11．【答案】

【解析】由题意，根据圆的对称性，可得当时，取最小值．

【详解】

在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴和轴分别相切于，两点，

点，分别在线段，上，与圆相切，

根据圆的对称性，当时，取最小值，

如图，，，

的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查线段长的最小值的求法，考查直线．圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

12．【答案】

【解析】由点到直线距离公式及切线性质,可得等量关系.由圆心C在直线l的上方可得的符号特征.再结合基本不等式变形,即可求得的最大值.

详解：圆C：

则圆心为,半径为

直线l：与圆C：相切

所以由点到直线距离公式和切线性质可得,即

因为圆心C在直线l的上方,所以

所以

由基本不等式可得

当且仅当时取等号,即时取等号

所以的最大值为

故答案为:

【点睛】

本题考查了直线与圆相切的性质,点到直线距离公式的应用,由基本不等式求最值,属于中档题.

13．【答案】6

【解析】求出圆心到直线距离的最大值即可得结论．

【详解】

直线过定点，圆心到直线的距离最大时，与直线垂直，最大距离就是，

所以圆上的点到直线距离的最大值为5+1=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查圆上的点到直线距离的最大值，由圆的性质知此最大值就是圆心到直线的距离的最大值加上半径．

14．【答案】     

【解析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．

【详解】

由题意直线l的方程为：，即，

圆标准方程为：，圆心为，半径为，

圆心到直线l的距离为，

∴．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．

15．【答案】

【解析】求出圆心坐标，所求直线与垂直，则 ，点斜式写出直线方程.

【详解】

因为所求直线与垂直，则，又圆心坐标

所以直线方程为： 即

故答案为：

16．【答案】（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25

【解析】由已知求出AB的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．

详解：由A（﹣1，﹣1），B（﹣2，2），得AB的中点为（，），

又，∴AB的垂直平分线方程为，即x﹣3y+3＝0.

联立，解得．

∴圆心坐标为C（3，2），半径为|CA|＝5.

∴圆心为C的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25.

故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25.

【点睛】

本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．

17．【答案】4

【解析】设圆，圆心，根据圆心到直线的距离等于半径，则表示单位圆的切线方程，从而得到单位圆内切于该正方形求解.

详解：设圆，圆心，

圆心到直线的距离为：

，

所以表示单位圆的切线方程，

从中选取四条围成一个正方形，从而得到单位圆内切于该正方形

如图所示：

所以正方形的边长为2，面积为4.

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查直线方程以及直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

18．【答案】4

【解析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算出弦长．

【详解】

圆的圆心是，半径为，圆心到直线的距离为，

∴弦长为．

故答案为：4.

【点睛】

本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何法：求出圆心到弦所在直线距离，由勾股定理计算出弦长．