高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系当堂检测题

【基础】1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-1作业练习

一．填空题

1．过点且与直线l：垂直的直线方程为______.（请用一般式表示）

2．若直线的法向量是直线的方向向量，则实数是______________.

3．若，则线段的垂直平分线的方程是________.

4．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.

5．过点和的直线与直线平行，则的值为_______．

6．点关于直线对称点的坐标是________．

7．已知两点，则线段的中垂线的点法向式方程是_____________．

8．若直线经过两点，且它的一个法向量，则的值是_____________．

9．过点，一个方向向量是（2，3）的直线的点方向式方程是_______________．

10．写出直线的一个法向量___________．

11．点到直线的距离的最大值等于_______．

12．方程表示两条直线，则的取值范围是_______________.

13．已知直线的倾斜角为45°，且经过点，则的值为______.

14．已知的三个顶点，若点分别是边的中点，则线段所在直线的点斜式方程是________________.

15．若直线与互相垂直，则实数的值为________．

16．若三点在同一条直线上，则实数是___________.

17．直线的一个法向量是，则的值是_____________．

18．在平面直角坐标系中，为坐标原点．定义两点之间的“直角距离”为．已知，点为直线上的动点，则的最小值为_______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】与直线垂直的直线方程可设为，再将点的坐标代入运算即可得解.

详解：解：与直线l：垂直的直线方程可设为，

又该直线过点，

则，

则，

即点且与直线l：垂直的直线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了与已知直线垂直的直线方程的求法，属基础题.

2．【答案】

【解析】把直线的法向量是直线的方向向量，转化为两直线互相垂直，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解.

详解：由题意，直线的法向量是直线的方向向量，

可得两直线互相垂直，所以，即，解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直线的方向向量和直线法向量的概念，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力.

3．【答案】

【解析】设线段AB的垂直平分线的任意一点为，则，利用两点之间的距离公式即可得出．

详解：设线段AB的垂直平分线的任意一点为，

则，

即：

整理可得：．

故答案为；

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质．两点之间的距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.

详解：因为直线的倾斜角是，

所以直线的斜率为

因此

或（舍）

故答案为：

【点睛】

本题考查斜率与倾斜角关系．由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．【答案】

【解析】由条件有，可得，由两点间的距离可得答案.

详解：直线的斜率为1，过点和的直线与直线平行

所以，即

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查两直线平行的条件的应用，求两点间的距离，属于基础题.

6．【答案】

【解析】设出的坐标，根据中点和斜率列方程组，解方程组求得的坐标.

详解：直线的斜率为，设，则线段的中点坐标为，直线的斜率为，由于关于直线的对称点是，所以

，解得.所以的坐标是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查点关于直线对称点的求法，属于基础题.

7．【答案】

【解析】求出和中点,利用直线的点法向式方程得到答案.

详解：,

中点,

线段的中垂线的点法向式方程是

故答案为：

【点睛】

本题考查直线的点法向式方程

点法向式就是已知直线上的点和与这条直线垂直的方向, 其中为直线上一点, 为与直线垂直的方向向量)

8．【答案】4

【解析】根据题意先求出直线的斜率，然后得到直线的方向向量，根据方向向量和法向量垂直可得结果.

详解：∵直线经过两点，∴，

∴向量为直线的方向向量，

又∵它的一个法向量，∴，

即，解得，

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了直线的方向向量和法向量的关系，属于基础题.

9．【答案】

【解析】由直线的方向向量，根据直线的点方向式方程，即可求解.

详解：由直线的方向向量，且直线过点，

根据线的点方向式方程，可直线的点方向式方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线的点方向式方程的求解，其中解答中熟记直线的点方向式方程是解答的关键，属于基础题.

10．【答案】或等，答案不唯一

【解析】先求得直线的方向向量，根据法向量和方向向量垂直，求得直线一个法向量.

详解：此直线的一个方向向量是，设它的法向量为，则，只需，

故可取，也可取等．

故答案为：或等，答案不唯一

【点睛】

本小题主要考查直线的法向量的求法，属于基础题.

11．【答案】

【解析】直接由点到直线的距离公式可得，根据三角函数的性质可求得最值得到答案.

详解：点到直线的距离为：

当，即时，有最大值

故答案为：

【点睛】

本题考查点到直线的距离和三角函数的最值问题，属于基础题.

12．【答案】

【解析】令，则关于的二次方程在上有两个不等的实根，利用二次方程根的分布相关的知识得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：令，则关于的二次方程在上有两个不等的实根，

令，则二次函数在有两个不同的零点，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用方程表示两条直线求参数，将问题转化为二次函数的零点分布是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

13．【答案】

【解析】解方程即得解.

【详解】

由题得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．【答案】或者

【解析】先利用中点公式求解出点的坐标，然后求解的斜率，利用点斜式写出方程.

详解：因为，点分别是边的中点，

所以，

直线的斜率为，

所以线段所在直线的点斜式方程是或者.

故答案为：或者

【点睛】

本题主要考查直线方程，直线方程求解一般先求解斜率，侧重考查数学运算的核心素养.

15．【答案】

【解析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.

详解：两直线与互相垂直.

所以，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.

16．【答案】

【解析】当直线的斜率存在时，根据三点共线，即可求出.

详解：解：三点 ，， 在同一直线上，

，即，解得.

故答案为：.

【点睛】

当直线的斜率存在时，熟练掌握三点A．B．C共线是解题的关键；基础题.

17．【答案】

【解析】根据直线法向量与方程关系，建立的方程，求解即可.

详解：直线的一个法向量是，

得，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线方程的特征，掌握直线的法向量即可，属于基础题.

18．【答案】4

【解析】由直角距离的定义，求出的值，再由绝对值的意义求额的最小值，即可得到答案.

详解：由题意，点，点为直线上的动点，

则，

又由绝对值的几何意义，可得，

当且仅当，即取等号，

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了两点之间的“直角距离”的定义，以及绝对值的意义的应用，其中解答中明确两点之间的“直角距离”点含义是解答的关键，着重考查分析问题与解答问题的能力.