数学北师大版 (2019)1.2 椭圆的简单几何性质练习题

【基础】1.2 椭圆的简单几何性质作业练习

一．填空题

1．椭圆的离心率为 ，则实数_______.

2．已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．

3．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点.已知线段，，，的长分别为2，4，6，12，则的面积为___________.

4．已知椭圆的左．右焦点分别为，，为第二象限内椭圆上的一点，连接交轴于点，若，，其中为坐标原点，则该椭圆的离心率为______．

5．已知，是椭圆（）的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则与的面积之比为________．

6．已知椭圆左．右焦点分别为．，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．

7．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面？截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.

8．已知椭圆的左右两个焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的面积为______.

9．已知椭圆的方程为.如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰为椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为________.

10．如图，圆O与椭圆相切，已知，是椭圆的左．右焦点，点P在椭圆上，线段与圆O相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆的离心率为__________．

11．已知椭圆的左右焦点分别为，，P是椭圆上的一点，且，则的面积是________．

12．在直角三角形中，，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边上，并且椭圆经过点，则椭圆的长轴长等于______.

13．焦点在x轴上的椭圆过点，焦距为2，则椭圆的离心率为_______．

14．已知为椭圆的两个焦点，若在椭圆上，且满足，则椭圆的方程为_________.

15．若实数x，y满足方程，则的取值范围为___________．

16．已知椭圆的左？右焦点分别为，直线与椭圆C相交于点A，B.给出下列三个命题：

①存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；

②存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；

③存在m，使的周长最大.

其中，所有真命题的序号为_________.

17．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达最小时，长等于半焦距，则该椭圆的离心率为______.

18．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点.当的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率________．

参考答案与试题解析

1．【答案】或

【解析】分析：利用椭圆的简单性质，离心率写出方程即可求出的值，需注意分类讨论．

详解：解：因为椭圆的离心率为，当焦点在轴时，可知，，，

可得，解得．

当焦点在轴时，可知，，，

可得，解得．

故答案为：或．

2．【答案】

【解析】分析：由题意，利用直角三角形的边角关系可得，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出．

详解：设直线的倾斜角为，则，

．

在直角三角形中，令，则

由椭圆定义得椭圆的离心率．

故答案为：．

【点睛】

熟练掌握直角三角形的边角关系．椭圆的定义．离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．

3．【答案】

【解析】分析：根据图形以及线段，，，的长求出，将代入，可得，然后利用三角形面积公式可得答案.

详解：因为椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点，

线段，，，的长分别为2，4，6，12，

由图可知，是第一象限的点，根据椭圆的对称性可得，

，

，

即，将代入，

可得，解得，，

则的面积为，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质，解题的关键是利用对称性求出，然后代入椭圆方程确定的值.

4．【答案】

【解析】分析：由题意可得，则，因为，，化简即可得出离心率．

详解：因为，所以，

由题意可得，则，

因为，所以，所以.

因为，所以，，

所以，可得，解得．

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的定义，运用勾股定理．三角形面积公式进行求解即可.

详解：设，由椭圆的定义可知：

所以因为，所以,

即，

解得或，

当时，所以不符合题意，故舍去，

因此，所以

，

与的面积之比为：

，

故答案为：

【点睛】

关键点睛：根据椭圆的定义结合勾股定理，选择合适的三角形面积公式是解题的关键.

6．【答案】

【解析】分析：用表示．，利用椭圆的定义可得出关于．的关系式，由此可求得椭圆的离心率的值.

详解：如下图所示：

由已知条件可知，在中，，，，

则，

由椭圆的定义可得，即，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得．的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于．的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

7．【答案】

【解析】分析：设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，利用求得离心率，再利用平面几何知识求得得解

详解：如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在△中,

 ,

, ,

△△ , 解得,

,

即 , 所以椭圆离心率为

在△中

解得,

故答案为：

【点睛】

利用求得离心率是解题关键.

8．【答案】

【解析】分析：先设，，根据椭圆定义，得，再由余弦定理，根据题意，求出，进而可得出结果.

详解：设，，根据椭圆定义可得，

由椭圆可得，其焦距为，

又，所以

，

即

所以的面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查椭圆的简单应用，以及解三角形的问题，熟记椭圆的定义与标准方程，余弦定理与三角形面积公式即可，属于常考题型.

9．【答案】

【解析】分析：椭圆方程右焦点坐标，则，把点代入椭圆方程能求出，即可求出椭圆的离心率．

详解：解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为，

直线与椭圆的一个交点在轴的射影恰为椭圆的右焦点得到轴，

的横坐标为，

代入到直线方程得到的纵坐标为，

则

把的坐标代入椭圆方程得：，

化简得：，

即

解得，（舍去），

，．所以椭圆方程为，所以，，则

所以

故答案为：．

10．【答案】

【解析】分析：连接，，先利用三角形中位线定理证明，，从而得焦半径，再利用椭圆的定义，得，证明，利用勾股定理得到．．间的等式，进而计算离心率即可

详解：如图：连接，，

点为线段的中点，点为线段的中点，

，，为圆的半径，

，

由椭圆定义，，

线段与圆相切于点，

，

，且，

所以，

化为，可得，

故选：B．

【点睛】

方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．

11．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的定义，得到的值，再由，在中，用余弦定理，求出，根据三角形面积公式，即可得出结果.

详解：根据椭圆定义，可得，且椭圆的焦距为，

又，在中，

由余弦定理，可得，

所以，

即，所以，

因此的面积是.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：利用勾股定理求出，然后在焦点三角形中，利用椭圆的定义表示出和，根据列式计算长轴长.

详解：解：如图，设椭圆的长轴长为，因为，则，

，，则，所以.

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：由条件焦点在x轴上的椭圆过点,则，又焦距为2,则，从而可得答案.

详解：由条件设椭圆的标准方程为

由椭圆过点,则，又焦距为2,则

所以椭圆的离心率为

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：由椭圆的定义和点在椭圆上，可建立方程组，解之可得椭圆的标准方程．

详解：由得，解得，又在椭圆上，所以椭圆，解得，

所以椭圆的方程为．

故答案为：．

15．【答案】

【解析】分析：由题可知，可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，设其椭圆的下焦点为，再由椭圆定义转化为求解的范围.

详解：可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，即，设其椭圆的下焦点为，

又由椭圆定义得，所以，

又，所以，

故.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：本题解决的关键是能够将求解转化为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和的问题.

16．【答案】①③

【解析】分析：首先根据题意得到，，，，设，.对①，分类讨论，，和，以及，即可判断①为真命题.对②，根据椭圆的对称性可知，，利用，解方程即可判断②为假命题，对③，利用椭圆的定义即可判断③为真命题.

详解：由题知：，，，，

设，.

对①，若，则，此时.

，，则，

所以，满足为等腰直角三角形.

若，则，

此时，，不满足等腰三角形.

若，则，

此时，，不满足等腰三角形.

所以存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形，故①为真命题.

对②，根据椭圆的对称性可知，，满足等腰三角形.

当时，根据椭圆的对称性可知：直线的倾斜角为，

，即.

又因为，所以，

解得或，都在内，

故存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形为假命题.

对③，的周长为，

又因为，，

所以，

即的周长为，

又因为，当且仅当时取等号，

所以，

即的周长为.

当且仅当时，的周长最大.

故③为真命题.

故答案为：①③

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义，解决本题①的关键为分类讨论，，和，以及，②的关键为代入椭圆的对称性，③的关键为椭圆的定义，属于中档题.

17．【答案】

【解析】分析：先由几何关系确定当外接圆的半径为时，面积最小，从而在直角三角形中利用勾股定理得出离心率.

详解：设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上

又在上，在轴上

，即当的外接圆的半径为时，面积最小

由题意可知，

在直角三角形中，，即

故答案为：

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是根据外心的性质确定半径，进而由勾股定理得出离心率.

18．【答案】

【解析】分析：首先根据椭圆定义分析，分析当的周长最大时，直线的位置，再求的面积，得到椭圆的离心率.

详解：设椭圆的右焦点为，，当直线过右焦点时，等号成立，

的周长，

此时直线过右焦点，，

，得.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.