数学选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质复习练习题

【名师】2.2 双曲线的简单几何性质作业练习

一．填空题

1．已知．为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为_____________.

2．已知双曲线的焦距为，则实数的值为__________.

3．已知双曲线的左？右焦点分别为？，直线l过与双曲线C的左？右两支分别交于A？B两点，已知，且内切圆半径为1，则___________.

4．写一个焦点在轴上且离心率为的双曲线方程________．

5．已知反比例函数的图象是双曲线，两坐标轴是它的渐近线，那么对应的双曲线的焦点坐标为___________

6．已知双曲线的右焦点为，点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为___________.

7．双曲线的两条渐近线的方程为______.

8．已知，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，，则双曲线的离心率是______．

9．已知双曲线：的左？右焦点分别为，，过作直线分别与双曲线及其一条渐近线交于，两点，且，若是等腰三角形，且，则双曲线的离心率为___________.

10．以原点为中心，坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的虚轴长为______.

11．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，且在第一象限交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围为__________.

12．双曲线的右焦点坐标是_________．

13．已知点在双曲线上，点是坐标原点，直线的斜率为，若线段的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为______．

14．已知为坐标原点，是双曲线：的左焦点，分别为的左．右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为___________.

15．双曲线的渐近线方程为_________．

16．若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左．右两支各交于，两点，则的取值范围是_______．

17．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为______．

18．离心率为2，实轴长为4，焦点在轴上的双曲线的标准方程为____________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：本题首先可通过椭圆与双曲线共焦点得出，然后设，依次代入椭圆与双曲线方程中，得出以及，即，最后联立，求出．以及椭圆与双曲线的离心率，即可得出结果.

详解：因为．为椭圆和双曲线的公共焦点，

所以，

因为为它们的一个公共点，且，所以可设，

则，，，

，，，即，

联立，解得，，

则椭圆，双曲线，，

故，，，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查通过椭圆与双曲线共焦点求离心率，能否根据求出是解决本题的关键，椭圆中有，双曲线中有，考查计算能力，是中档题.

2．【答案】3

【解析】分析：根据双曲线中计算可得．

详解：由题意，所以，解得．

故答案为：3.

3．【答案】3

【解析】分析：求得双曲线中的，设，，由双曲线的定义和直角三角形的内切圆的半径的性质，即可得到所求值.

详解：双曲线的，

设，，

由双曲线的定义可得，

，，

由切线长定理可得直角三角形的内切圆的半径为两直角边的和与斜边的差的一半，

所以在直角中，，

可得，所以，

故答案为：3.

4．【答案】（答案不唯一，符合要求就可以）

【解析】分析：取，可求得．的值，结合双曲线的焦点位置可得出结果.

详解：取，则，可得，，

因此，符合条件的双曲线方程为.

故答案为：（答案不唯一，符合要求就可以）.

5．【答案】

【解析】分析：利用双曲线的几何性质，焦点在渐近线的夹角的角平分线上，且曲线上点到焦点的距离差的绝对值为定值.

详解：双曲线的焦点在渐近线夹角的角平分线上，设，，

在曲线上取两点， ，则

，

，

，

由已知 ，，

故答案为:

6．【答案】

【解析】分析：由已知有求出a．b，又，进而求双曲线的离心率.

详解：由题意，，渐近线方程为，

∴，解得，

∴.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的渐近线方程，直接求解.

详解：由条件可知，，

则双曲线的渐近线方程.

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的定义和已知得，再由离心率的定义可求得答案．

详解：如下图所示：

因为，，所以，，

又，所以，又，所以

，

即，化简得，所以，

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．

9．【答案】

【解析】分析：设出点的坐标，结合等腰三角形的性质，根据两点间距离公式，求出点的坐标，代入双曲线渐近线方程中，最后求出离心率.

详解：设，因为，所以为的中点.因为，所以.

因为是等腰三角形，且，所以.

由，可得，.因为点在渐近线上，

所以，平方整理得，

即，故离心率.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：利用等腰三角形的性质结合已知求出点的坐标是解题的关键.

10．【答案】4

【解析】分析：根据条件直接求等轴双曲线的，即得双曲线的虚轴长.

详解：因为双曲线经过点，所以，因为双曲线是等轴双曲线，所以

所以虚轴长.

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：由椭圆与双曲线定义求出到两焦点的距离（用表示），再由勾股定理得出的关系，得离心率关系，利用基本不等式求得范围．

详解：设半焦距为，则，在第一象限，

则，解得，

又，所以，，

，即，

（等号取不到），

所以所求范围是．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是利用椭圆与双曲线的定义把到焦点的距离用表示，然后用勾股定理求得离心率的关系．

12．【答案】

【解析】分析：将双曲线的方程化为标准式然后确定焦点坐标.

详解：将双曲线的方程化为标准式得：，则，，，即，

所以右焦点坐标为.

故答案为：.

13．【答案】．

【解析】分析：设点在第一象限→线段的垂直平分线经过双曲线的右顶点，求得直线的领斜角为60°，得到，代入双曲线的方程，求得，即可求解．

详解：不妨设点在第一象限，此时线段的垂直平分线经过双曲线的右顶点，

如图所示，连接，则，

根据直线的斜率为，可得直线的倾斜角为30°，

所以直线的倾斜角为60°，所以点，

又由点在双曲线上，可得，可得，即，

故双曲线的渐近线方程为．

故答案为：．

14．【答案】5

【解析】分析：设双曲线的半焦距为，，求出直线的方程后可得的坐标，从而可得的关系，故可求离心率.

详解：设双曲线的半焦距为，根据双曲线的对称性，不妨设在轴上方，

因为轴，故，

设，其中，

则，故，

又 ，故，

因为，故对于，总成立，

故即，

故答案为：5.

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．

15．【答案】  （，或或或两个分开写，均给满分）

【解析】分析：由渐近线方程公式直接求解.

详解：由双曲线方程可知，，则

渐近线方程.

故答案为： （，或或）

16．【答案】

【解析】分析：设为双曲线的右焦点，易知是平行四边形，利用双曲线的定义可得，且，得到，令，用导数法求解.

详解：如图所示：

双曲线的，

设为双曲线的右焦点，连接，则是平行四边形，

则，由双曲线定义得，即，且，

所以，

令，

则，

当时，，当时，，

所以当时，，

当时，，

当时，，

所以的取值范围是，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题关键是利用双曲线的定义得到m，n关系和利用三角形边的关系得到m的范围，从而建立函数而得解.

17．【答案】

【解析】分析：由条件可得直线过点，然后可得，然后可得答案.

详解：双曲线的渐近线方程为

所以直线过点，代入可得

所以

故答案为：

18．【答案】

【解析】分析：由实轴长为4，则 ，又离心率为2，即，则，所以，得出答案.

详解：由条件设所求双曲线的标准方程

由实轴长为4，则 ，又离心率为2，即，则

所以

所以双曲线的标准方程

故答案为：