北师大版 (2019)2.2 双曲线的简单几何性质课后复习题

这是一份北师大版 (2019)2.2 双曲线的简单几何性质课后复习题，共20页。试卷主要包含了已知双曲线M，给出下列命题，已知下列几个命题等内容，欢迎下载使用。
【优质】2.2 双曲线的简单几何性质练习一．填空题1．设双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上， 为坐标原点，若且的面积为，则的方程为________2．已如双曲线（，）的左右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为__________．3．已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为______.4．已知双曲线M：（，），为等边三角形．若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为的中位线，则双曲线M的离心率为________．5．给出下列命题：①到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；②设，为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线．③对任意实数，直线总与某一个定圆相切．④在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；⑤方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率其中真命题的序号是__________________（把你认为正确的命题的序号都填上）．6．已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若，，则的离心率为________.7．设双曲线的右焦点为，点在的右支上，为坐标原点，若存在点，使，且，则双曲线的离心率为___________．8．已知下列几个命题：①平面内动点M与定点和的距离之差的绝对值等于4，则点M的轨迹是双曲线；②的两个顶点为，周长为18，则C点轨迹方程为；③若过点的直线交椭圆于不同的两点，且C是的中点，则直线的方程是；④设F为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则.其中真命题的序号为______________.9．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为______.10．关于双曲线与双曲线，下列四个结论：①它们有相同的渐近线②它们有相同的顶点③它们的离心率相等④它们的焦距相等其中正确的是___________(写出所有正确结论的序号).11．已知双曲线的渐近线分别为，，点A是x轴上与坐标原点O不重合的一点，以OA为直径的圆交直线于点O，B，交直线于点O，C，若，则该双曲线的离心率是________.12．已知双曲线和抛物线有相同的焦点，则双曲线的离心率为____．13．焦点在轴上的双曲线焦距长为4，则实数的值为______.14．已知，分别是双曲线的左．右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.15．设是双曲线的右支上一点，过点分别作圆和的切线，切点分别为，则的最小值为_________.16．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为__________.17．已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为___________.18．已知双曲线：的左？右焦点分别为，，过作直线分别与双曲线及其一条渐近线交于，两点，且，若是等腰三角形，且，则双曲线的离心率为___________.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：根据渐近线的斜率求出，，再根据三角形的面积得到，化简即得的值，即得解.详解：双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在的一条渐近线上，，所以在第四象限．渐近线的斜率为，，所以，，若，的面积为，所以，所以，解得，，，解得，．所以双曲线方程为．【点睛】方法点睛：求双曲线的方程常用方法为：待定系数法，先定位（确定双曲线焦点位置），后定量（解方程求出待定系数）.2．【答案】【解析】分析：由题知焦点到渐近线的距离为，进而根据题意得，再结合离心率公式计算即可.详解：由题知，双曲线的渐进线方程为，如图，由焦点到渐近线的距离为：，由于，故在中，，所以，即所以离心率为：.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，考查运算求解能力，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于掌握点双曲线的焦点到渐进线的距离为.3．【答案】【解析】分析：设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程.详解：由于双曲线的渐近线方程为，可双曲线的方程为，由于双曲线过点，所以，，所以，双曲线的方程为，即.故答案为：.4．【答案】【解析】分析：可根据实轴为的中位线，得出，再根据对称性及为等边三角形，表示出的坐标，代入双曲线方程，得到关系式求解离心率.详解：实轴长为，则，关于轴对称不妨设在双曲线左支，则其横坐标为，根据为等边三角形，可得故，，将的坐标代入双曲线方程有，则，则故故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．5．【答案】③⑤【解析】分析：①由于定点在定直线上，可得点的轨迹不是抛物线，；②利用双曲线的定义可判断；③由于原点到直线的距离等于1，即可判断；④利用椭圆的定义即可判断；⑤求出方程的两个根，结合离心率的范围即可判断.详解：对于①，由于定点在定直线上，可得到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，故①错误；对于②，设，为两个定点，为常数且，若，只有当时，动点的轨迹是双曲线，故②错误；对于③，由原点到直线的距离，故对任意实数，直线总与圆相切，故③正确；对于④，在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点间的距离时，才是椭圆，故④错误；对于⑤，求出方程的两个根： ，，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故⑤正确；故答案为：③⑤【点睛】易错点睛：本题考查圆锥曲线的性质与应用，在求解过程中要注意椭圆，双曲线的定义，要注意距离和或距离差一定要与两个定点之间的距离比较，看是否可以构成椭圆或者双曲线，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.6．【答案】2【解析】分析：首先根据可得，可计算，结合可得是等腰三角形，且，再由渐进线的斜率可计算出点坐标，即可求出点坐标，利用结合可得之间的关系，即可求解.详解：因为，所以，即所以为点到渐近线的距离，，所以，可得点为的中点，又因为，所以，所以，设双曲线的左焦点为，，则，因为，所以，所以，，所以，因为为中点，所以，，将代入整理可得：即，所以，可得，解得：或（舍），故答案为：【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.7．【答案】2【解析】分析：在焦点三角形中由余弦定理求得关系，再求离心率.详解：设双曲线的左焦点为，在中，，，.由余弦定理 ，得.故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系，本题是由余弦定理得出.8．【答案】①③④【解析】分析：①利用双曲线的定义判断；②利用椭圆的定义和判断；③利用点差法求解判断；④利用平面向量的线性运算得到，再利用抛物线的定义求解判断.详解：①平面内动点M与定点和的距离之差的绝对值等于4，因为满足，所以点M的轨迹是双曲线，故正确；②因为的两个顶点为，周长为18，所以，则C点轨迹方程为，但不包括，故错误；③设，则，两式相减得：，即，因为C是的中点，所以，所以，则直线l的方程为，即为，故正确；④因为F为抛物线的焦点，则，设，因为，所以，即，所以.故正确；故答案为：①③④9．【答案】【解析】分析：设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.详解：由于双曲线与双曲线具有相同的渐近线，设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，所以，双曲线的方程为，化为标准方程即为.故答案为：.10．【答案】①④【解析】分析：由双曲线的方程可得实轴长，焦距，渐近线的方程，进而选出结果．详解：解：双曲线的，，，渐近线的方程为，顶点坐标为和实轴长为，离心率；双曲线中的，，，渐近线方程为：，离心率，顶点坐标为和所以焦距相同，渐近线的方程相同，故答案为：①④．11．【答案】或2【解析】分析：设，则，设()，利用求出，求出和，根据求出或，可得或，再根据离心率公式可求出结果.详解：由题意，不妨设，，设，则，设()，由，得，由对称性知，，且线段BC被OA平分.如图，设BC与OA交于点D，则，连接AB，由于OA为直径，所以，则，，由，得，得，因为，所以或，即或，又，所以或，当时，离心率；当时，离心率.故答案为：或2【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是得到的等量关系，通过和可得到所要的等量关系.12．【答案】【解析】分析：抛物线的焦点为，由具有相同的焦点，可得，进而根据离心率公式可得答案.详解：因为抛物线的焦点为，所以双曲线的焦点也为，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：.13．【答案】【解析】分析：利用已知条件可知：，把双曲线方程化为标准方程，利用焦距长为4，即可求出实数的值.详解：由题意，双曲线方程可以化为，又双曲线焦距长为4，则，得.故答案为：.14．【答案】【解析】分析：利用双曲线的定义和勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式可得出，进而可得出双曲线的渐近线方程.详解：，，则，所以，，因为，所以，，可得.因此，双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：双曲线中的焦点三角形：双曲线上一点与双曲线的两个焦点．构成的称为焦点三角形，在处理双曲线中的焦点三角形问题时，可结合双曲线的定义以及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理．余弦定理．三角形的面积公式等）来求解.15．【答案】13【解析】分析：求得两圆的圆心和半径，设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．详解：圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2？2c﹣3＝2？8﹣3＝13.当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13.故答案为：13.16．【答案】【解析】分析：先求出椭圆的焦点坐标，即可得双曲线焦点坐标，设双曲线的方程为，由可得，再利用可求得的值，即可得双曲线的标准方程.详解：在椭圆中，，所以，所以焦点坐标为，，设双曲线的方程为，由题意可得 ，所以，所以，故双曲线的方程为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出椭圆的焦点可判断双曲线焦点在轴上，设出其方程，利用待定系数法可求双曲线的方程.17．【答案】【解析】分析：设出三角形的垂心，则，设出点的坐标，进而可以求出的坐标，再由已知求出点，的坐标，利用直线，的斜率的乘积为建立等式关系，化简求出，进而可以求解．详解：解：设的垂心为，则，不妨设，则，代入渐近线方程，解得，则，因为直线与双曲线交于点，，则，两点的坐标分别为：，，因为，化简可得，所以双曲线的离心率为，故答案为：．18．【答案】【解析】分析：设出点的坐标，结合等腰三角形的性质，根据两点间距离公式，求出点的坐标，代入双曲线渐近线方程中，最后求出离心率.详解：设，因为，所以为的中点.因为，所以.因为是等腰三角形，且，所以.由，可得，.因为点在渐近线上，所以，平方整理得，即，故离心率.故答案为：【点睛】关键点睛：利用等腰三角形的性质结合已知求出点的坐标是解题的关键.