数学选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质同步达标检测题

这是一份数学选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质同步达标检测题，共4页。试卷主要包含了已知F1,F2分别为双曲线C等内容，欢迎下载使用。
2.2　双曲线的简单几何性质1.设F1和F2为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(　　).A. B.2 C. D.3解析:由tan,得3c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=c2,故e==2.答案:B2.(多选题)已知在等边三角形ABC中,D,E分别是CA,CB的中点,以A,B为焦点且过点D,E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则下列关于e1,e2的关系式正确的是(　　).A.e2+e1=2 B.e2-e1=2C.e1e2=2 D.=2+解析:设△ABC的边长为2.由题意,可得椭圆的离心率e1=-1,双曲线的离心率e2=+1,所以e1+e2=2,e1e2=2,e2-e1=2,=2+.故选BCD.答案:BCD3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线的离心率等于(　　).A. B. C. D.解析:因为圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心为C(3,0),半径r=2.双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0.因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=.答案:A4.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则这个双曲线的离心率是(　　).A. B.+2C.+1 D.解析:由题意得,P在双曲线的左支上,∠F1PF2=90°.又因为∠PF1F2=2∠PF2F1,所以∠PF2F1=30°.又因为|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=c,|PF2|-|PF1|=(-1)c=2a,解得e=+1.答案:C5.已知F1,F2是两个定点,点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,且PF1⊥PF2,记e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有(　　).A.=2 B.=4C.=4 D.=2解析:由题意,设焦距为2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令公共焦点在x轴上,F1为左焦点,F2为右焦点,点P在双曲线的右支上.由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2m, ①由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a, ②又因为∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2, ③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2, ④将④代入③得,a2+m2=2c2,即=2,即=2.答案:D6.已知F1,F2分别为双曲线C:=1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,则|AF2|=　　　　　. 解析:因为AM为∠F1AF2的平分线,所以=2.又因为|AF1|-|AF2|=2×3,所以|AF2|=6.答案:67.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为　　　　　. 解析:因为F为左焦点,所以c=2,所以a2=3,所以双曲线的方程为-y2=1.设P(x0,y0),则,y0)·(x0+2,y0)=+2x0++2x0+-1=+2x0-1=-1.由点P在双曲线右支上,得x0≥,所以≥3+2.答案:[3+2,+∞)8.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点M(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点N(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)对于(2)中的点N,求△F1NF2的面积.(1)解:因为e=,所以有,则b=a.故可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点M(4,-),所以16-10=λ,得λ=6.故双曲线的方程为=1.(2)证明:由(1)可知,不妨令F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,在双曲线中,a=b=,则c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0).于是=(-2-3,-m),=(2-3,-m),=[(-2-3)·(2-3)]+m2=-3+m2.因为点N(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.故=0.(3)解:因为△F1NF2的底|F1F2|=4,高h=|m|=,所以△F1NF2的面积S=|F1F2|·h=6.