高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质课时作业

4.2　二项式系数的性质

1.若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(　　).

A.10 B.20

C.30 D.120

解析:由2n=64,得n=6,则二项式通项为Tk+1=x6-k·x6-2k(0≤k≤6,k∈N).

由6-2k=0,得k=3,则T4==20.

答案:B

2.已知展开式的各项系数之和为32,则展开式中x4的系数为(　　).

A.5 B.10

C.20 D.40

解析:因为x2+n的二项展开式的各项系数和为32,所以令x=1,得2n=32,解得n=5.

所以x2+5展开式的二项式通项为Tr+1=(x2)5-rx10-3r,r=0,1,2,…,5.令10-3r=4,得r=2,故展开式中x4的系数为=10.

答案:B

3.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于(　　).

A.64 B.32 C.63 D.31

解析:由已知得(1+2)n=3n=729,解得n=6,

则=32.

答案:B

4.(多选题)下列关于(a-b)10的说法,正确的有(　　).

A.展开式中的二项式系数之和是1 024

B.展开式的第6项的二项式系数最大

C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

解析:由二项式系数的性质知二项式系数之和为210=1024,故A正确;

二项式的展开式共11项,由二项式系数的性质知第6项的二项式系数最大,故B正确,C错误;

由二项式通项为Tk+1=a10-k(-b)k=(-1)ka10-kbk知,第6项的系数-最小,故D正确.

答案:ABD

5.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于(　　).

A.2n B.

C.2n+1 D.

解析:令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,①

令x=-1,得1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,②

①+②,得3n+1=2(a0+a2+…+a2n),

所以a0+a2+…+a2n=.故选D.

答案:D

6.(a+)n的展开式中奇数项系数之和为512,则展开式的第8项T8=　　　　　. 

解析:因为+…=2n-1=512=29,所以n=10,所以T8=a3()7=120.

答案:120

7.f(x)=(x2+x+1)2x-5的展开式中各项系数的和为　　　　　,该展开式中的常数项为　　　　　. 

解析:令x=1,则f(1)=(1+1+1)(2-)5=3,故f(x)=(x2+x+1)(2x-)5的展开式中各项系数的和为3;

(2x-)5的二项式通项为Tr+1=(2x)5-r·25-r(-1)r·x5-2r,r=0,1,2,…,5.当5-2r=-2,0时,没有正整数解,故不存在x-2项及常数项,当5-2r=-1时,即当r=3时,x-1的系数为(-1)3·22·=-40,而x2+x+1中的x的系数为1,所以f(x)=(x2+x+1)(2x-)5的展开式中常数项为-40×1=-40.

答案:3　-40

8.如图所示,在杨辉三角中,第　　　　　行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 

(第8题)

解析:由题意设第n行中从左到右的第14个数与第15个数的比为2∶3,它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比,=2∶3,即,解得n=34.

答案:34

9.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:

(1)a1+a2+…+a7;

(2)a1+a3+a5+a7;

(3)a0+a2+a4+a6.

解:(1)令x=0,则a0=-1;令x=1,则a7+a6+…+a1+a0=27=128.①

故a1+a2+…+a7=129.

(2)令x=-1,则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,②

由,得a1+a3+a5+a7=×[128-(-4)7]=8256.

(3)由,得a0+a2+a4+a6=×[128+(-4)7]=-8128.

10.已知展开式的二项式系数之和为256.

(1)求n;

(2)若展开式中常数项为,求实数m的值;

(3)若(x+m)n展开式中系数最大项是第6项和第7项,求实数m的取值情况.

解:(1)根据二项式系数之和为2n=256,得n=8.

(2)设常数项为第r+1项,

则Tr+1=x8-rmrx8-2r.

令8-2r=0,得r=4,则m4=,解得m=±.

(3)(方法一)易知m>0,设第r+1项系数最大.

则化简可得≤r≤.

因为第6项和第7项的系数最大,

所以

所以m只能等于2.

(方法二)x+8的二项式通项为Tr+1=x8-r·=mrx8-2r,r=0,1,2,…,8.

由题意知m≠0,m5=m6,解得m=2.