连云港市东海县实验中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份连云港市东海县实验中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
连云港市东海县实验中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题
时间：90分钟 总分：150分
一、选择题（每小题3分，本题满分共24分）．
1. 2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移右图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）

A. B.
C D.
2. 预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线被直线所截，，下列条件中能判定的是（ ）

A. B. C. D.
5. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A 10 B. 11 C. 12 D. 13
6. 通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　）

A. a（b－x）＝ab－ax B. b（a－x）＝ab－bx
C. （a－x）（b－x）＝ab－ax－bx D. （a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，，将△ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则的度数是（　　）

A 30° B. 45° C. 60° D. 75°
8. ①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　）


A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题（每小题3分，本题满分共24分）
9. 当（a﹣）0＝1时，a的取值范围是_______．
10. 若3x﹣2＝y，则 ＝_____．
11. 如果9x2﹣kx+16能写成一个完全平方的形式，那么k等于______．
12. 如图，在中，于点，平分交于点．若，则的度数为__________．

13. 关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝26的解，则k的值是______．
14. 已知等腰三角形两边，，满足，则这个等腰三角形的周长为____________．
15. 实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：
方式1：将B放在A的内部，得甲图；
方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．

16. 我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，从左起第四项是____________．
···································1
································1 1
·······················1 2 1
··········1 3 3 1
··1 4 6 4 1
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
18. 分解因式：
（1）
（2）
19 解方程组：
（1）
（2）
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．

（1）将经过平移后得到，图中标出了点对应点，补全；
（2）在图中画出的高；
（3）若连接、，则这两条线段之间的关系是______；四边形的面积为______．
22. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．
（1）求证：EFBD；
（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2的度数．

23. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．

（1）S1与S2的大小关系为：S1　　S2．
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．
24. 换元法是数学中一个非常重要且应用广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解之得，即，
所以原方程组的解为，运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：________．
（2）分解因式：________．
（3）解方程组
25. [问题背景]

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[问题探究]
（3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，
①若，，则的度数为___________；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[拓展延伸]
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示）
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________．
答案与解析
一、选择题（每小题3分，本题满分共24分）．
1. 2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移右图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质，即可解答．
【详解】解：如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是，
故选择：B
【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移不改变图形的大小形状，只改变位置是解决问题的关键．
2. 预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负整数指数幂的科学记数法的表示方法进行求解即可．
【详解】
故选：A
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确数小数位是解题关键．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则以及完全平方公式对各项进行计算即可解答．
【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；
B. 与不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，故原选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算法则以及完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，直线被直线所截，，下列条件中能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
故选C．

5. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；
【详解】解：设多边形的边数为n，
根据题意可得：，
化简得：，
解得：；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．
6. 通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　）

A. a（b－x）＝ab－ax B. b（a－x）＝ab－bx
C. （a－x）（b－x）＝ab－ax－bx D. （a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2
【答案】D
【解析】
【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【详解】解：图1中，阴影部分＝长（a－x）宽（b－x）的长方形面积，
∴阴影部分的面积＝（a－x）（b－x），
图2中，阴影部分＝大长方形面积－长a宽x长方形面积－长b宽x长方形面积＋边长x的正方形面积，
∴阴影部分的面积＝ab－ax－bx＋x2，
∴（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2．
故选：D．
【点睛】点评：本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．正确观察图形是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，，将△ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则的度数是（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】根据外角定理可推出∠1、∠2、∠A三个角之间的关系，进而可求出结果．
【详解】解：如图，假设m与AC和AB的交点分别是E、F．
由外角定理可得：
∠1＝∠AGE+∠A，∠AGE＝∠D+∠2；
，
．

故选：C．
【点睛】本题考查外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．解题关键是发现外角和内角，注意折叠中不变的角和相等的角．
8. ①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　）


A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，

∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，

∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，

∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，

∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，本题满分共24分）
9. 当（a﹣）0＝1时，a取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数的性质求解即可，零指数幂底数不能为0．
【详解】解：当时，a的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了零指数幂的性质，解题的关键是掌握零指数幂的有关性质．
10. 若3x﹣2＝y，则 ＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】由3x﹣2＝y可得3x﹣y＝2，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：因为3x﹣2＝y，
所以3x﹣y＝2，
所以4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
11. 如果9x2﹣kx+16能写成一个完全平方的形式，那么k等于______．
【答案】24或﹣24
【解析】
【分析】根据完全平方式得出-kx=±2•3x•4，再求出答案即可．
【详解】解：∵9x2﹣kx+16能写成一个完全平方的形式，
∴﹣kx＝±2•3x•4，
解得：k＝±24，
故答案为：24或﹣24．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．
12. 如图，在中，于点，平分交于点．若，则的度数为__________．

【答案】．
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义求得∠EAC的度数，再由外角的性质得∠AED，最后由直角三角形的性质可得结论．
【详解】解：平分






故答案为：
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和为180°，直角三角形两锐角互余．
13. 关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝26的解，则k的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】解含参方程组，用含k的代数式表示x和y，代入2x＋3y＝26，即可求出k值.
【详解】解：解方程组，得
代入2x＋3y＝26，得
2×2.5k+3×0.5k=26
解得k=4
故答案为4.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，掌握含参方程的解法是解决本题的关键.
14. 已知等腰三角形两边，，满足，则这个等腰三角形的周长为____________．
【答案】12
【解析】
【分析】首先利用完全平方公式将等式变形，根据偶次方的非负性，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
【详解】解：
，
，
，，
，，
解得，，，
、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，
∴这个等腰三角形的周长为：．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查的是偶次方的非负性、等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系，灵活运用完全平方公式，是解题的关键．
15. 实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：
方式1：将B放在A的内部，得甲图；
方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．

【答案】13
【解析】
【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为，可解得，图乙中阴影部分的面积为 ，可得,可得a+b＝5，进而求得a与b的值即可求解.
【详解】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
解得或（舍去），
图乙中阴影部分的面积为，
可得，
解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
联立得 ，解得 ，
∴，
∴正方形A，B的面积之和为13.
故答案为：13．
【点睛】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．
16. 我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，从左起第四项是____________．
···································1
································1 1
·······················1 2 1
··········1 3 3 1
··1 4 6 4 1
【答案】##
【解析】
【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和；②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大；依据此规律，可得出最后答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，
∴展开式左起第四项是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了“杨辉三角”，解题的关键在于要认真仔细观察各项系数，次数的变化特征．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）6 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）根据整式乘法和合并同类项法则，结合平方差公式进行运算即可；
（3）根据平方差公式进行运算即可；
（4）根据完全平方公式，单项式乘多项式运算法则，合并同类项法则，进行运算即可．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：


；
【小问3详解】
解：


；
【小问4详解】
解：


．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算和整式混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，整式乘法运算法则，合并同类项法则，平方差公式和完全平方公式，准确计算．
18. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提公因式4，然后再用平方差公式分解因式即可；
（2）用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：

．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算，注意分解因式一定要分解到最后结果．
19. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为：；
【小问2详解】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】x2+5，14
【解析】
【分析】利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则，先化简整式，再代入求值．
【详解】解：原式=4x2-4x+1-（x2-4）-2x2+4x
=4x2-4x+1-x2+4-2x2+4x
=x2+5．
当x=-3时，
原式=（-3）2+5
=14．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则．熟练的运用整式的相关法则是解决本题的关键．
21. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．

（1）将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；
（2）在图中画出高；
（3）若连接、，则这两条线段之间的关系是______；四边形的面积为______．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）=，∥，14
【解析】
【分析】（1）画出的各个顶点的对应点，再顺次连接起来，即可；
（2）根据三角形高的定义，即可画出；
（3）根据平移的性质和割补法，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示；

（2）的高如图所示；
（3）根据平移的性质得：=，∥，
四边形的面积=4×6-- =14．
故答案是：=，∥，14．
【点睛】本题主要考查平移-作图，掌握平移的性质以及割补法求面积，是解题的关键．
22. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．
（1）求证：EFBD；
（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2的度数．

【答案】（1）见解析；（2）25°
【解析】
【分析】（1）由ADBC知∠1＝∠3，结合∠1＝∠2得∠3＝∠2，据此即可得证；
（2）由ADBC，∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根据平分线定义及BDEF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，

∵ADBC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2（等量代换）．
∴EFBD（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：∵ADBC（已知），
∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A＝130°（已知），
∴∠ABC＝50°．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠3＝∠ABC＝25°，
∴∠2＝∠3＝25°
【点睛】．
本题考查了平行线的性质，平行线的判定定理以及应用角平分线求角的度数．
23. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．

（1）S1与S2的大小关系为：S1　　S2．
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）＜；（2）①m+4；②是常数，这个常数是1
【解析】
【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；
（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算，即可求解；
②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．
【详解】解：（1）由题意：
S1＝(m+2)(m+6)＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，
S2＝(m+5)(m+3)＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，
∵S1﹣S2＝(m2+8m+12)﹣(m2+8m+15)＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，
∴S1＜S2，
故答案为：＜，
（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，
∵正方形的周长与甲的周长相等，
∴正方形边长为 ，
②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，
∴S3﹣S2＝(m+4)2﹣(m2+8m+15)
＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15
＝1，
∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，能够准确理解题意并列出算式，掌握整式混合运算的运算法则是解题关键．
24. 换元法是数学中一个非常重要且应用广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解之得，即，
所以原方程组的解为，运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：________．
（2）分解因式：________．
（3）解方程组
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据换元思想设换元求解即可；
（2）根据换元思想设，最后利用公式法分解因式；
（3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值．
【小问1详解】
解：设，则可得到




【小问2详解】
解：设，根据题意可得





∴

【小问3详解】
解：设，，根据题意可得

解得：
∴，；，
∴原方程组的解为：
【点睛】本题考查的是利用换元法思想解方程，分解因式，掌握换元思想将复杂问题转换为简单问题是解题的关键．
25. [问题背景]

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[问题探究]
（3）如图3，直线平分邻补角，平分∠ADC的邻补角，
①若，，则的度数为___________；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[拓展延伸]
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示）
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________．
【答案】（1）见解析 （2）① ，②
（3）①，②
（4）
（5）
【解析】
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；
（2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②由①的结论即可得到数量关系；
（3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②与（3）中①相同；
（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图1中，

∵，，，
∴；
【小问2详解】
解：①如图2中，

设，，
则有，
∴，
∴，
∴；
②由①得：；
【小问3详解】
解：①如图3中，设，，

则有，
∴，
∴；
故答案为： ；
②设，
则有，
∴；
【小问4详解】
解：如图4中，设，，则，，

则有，
∴ ，
∴，
故答案为；
【小问5详解】
解：如图5中，延长交于J，设，

则有，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．