南京市百家湖中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南京市百家湖中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选一选，填一填，做一做等内容，欢迎下载使用。
南京市百家湖中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题
一、选一选（本项共10题，每题2分，计20分）
1. 的计算结果为( )
A. B. C. D.
2. 如图，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2等于( )

A 70° B. 100° C. 110° D. 20°
3. 可以写成( )
A. B. C. D.
4. 下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )
A. 5cm、7cm、2cm B. 7cm、13cm、10cm
C. 5cm、7cm、11cm D. 5cm、10cm、13cm
5. 在下列生活现象中，不是平移现象的是( )
A. 站在运行的电梯上的人 B. 左右推动的推拉窗帘
C. 小亮荡秋千的运动 D. 坐在直线行驶的列车上的乘客
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1=55°，则∠2的度数为( )

A. 35° B. 45° C. 55° D. 125°
8. 如果一个三角形有两个外角（不在同一顶点）的和等于270°，则此三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
9. 如图，下列推理正确的是（ ）

A. ∵，∴ B. ∵，∴
C. ∵，∴ D. ∵，∴
10. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则(　　)

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填一填（每空2分，计22分）
11. 计算：______；______；
12. “对顶角相等”这个命题的逆命题是______．
13. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____．
14. 若x、y是正整数，且，，则______．
15. 如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中______．

16. 若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是_____度．
17. 一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______．
18. 如图，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是∠BAC的平分线，∠ADC＝____________°．

19. 如图，若，则、、之间的关系为______.

20. 如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠BDF＝_______°．

三、做一做（本项共大6题，计58分）
21. 算一算：
（1）
（2）
（3）
（4）已知，求的值．
（5）已知，求x的值．
22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．

（1）把平移至的位置，使点A与对应，得到；
（2）图中可用字母表示，与线段平行且相等的线段有：______；
（3）求四边形的面积．
23. 完成下面的正明．
已知：如图，，BE、DF分别是、平分线．

求证：．
证明：∵，
∴（______）．
∵BE、DF分别是、的平分线；
∴，．（______）．
∴．（______）
∴____________（______）．
∴（______）．
24. 如图，在△ABC中，∠ABC=56º，∠ACB=44º，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线，求出∠DAE的度数．

25. 如图，已知：E、F分别是AB和CD上点，DE、AF分别交BC于点G、H，，试说明：

（1）；
（2）．
26 探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
答案与解析
一、选一选（本项共10题，每题2分，计20分）
1. 计算结果为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】解：原式=．
故选B．
【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
2. 如图，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2等于( )

A. 70° B. 100° C. 110° D. 20°
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵直线a∥b，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=180°-70°=110°．
故选C．


3. 可以写成( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
A、，B、，C、，D、，
故选C.
考点：本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，即可完成．
4. 下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )
A. 5cm、7cm、2cm B. 7cm、13cm、10cm
C. 5cm、7cm、11cm D. 5cm、10cm、13cm
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.A选项中5+2=7，则不能构成三角形.
考点：三角形的三边关系
5. 在下列生活现象中，不是平移现象的是( )
A. 站在运行的电梯上的人 B. 左右推动的推拉窗帘
C. 小亮荡秋千的运动 D. 坐在直线行驶的列车上的乘客
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否是平移运动，要正确把握平移的性质，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】解：平移性质，C小亮在荡秋千的过程中，方向不断的发生变化，不是平移运动．A、B、D是平移现象．
故选C．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及合并同类项法则计算各项即可判断出结果．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故选项A不符合题意；
B. ，计算正确，故选项B符合题意；
C. ，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. 与不是同类项，不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算、积的乘方与幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
7. 如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1=55°，则∠2的度数为( )

A. 35° B. 45° C. 55° D. 125°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，再根据平角定义可计算出∠3+∠2=90°，然后可算出∠2的度数．
【详解】解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=55°，
∵∠3+∠2+90°=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣55°=35°，
故选：A．
.
8. 如果一个三角形有两个外角（不在同一顶点）的和等于270°，则此三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的外角和是360°，则第三个外角是90°，则与其相邻的内角是90°，即该三角形一定是直角三角形．
【详解】解：∵一个三角形的两个外角的和是270°，
∴第三个外角是90°，
∴与90°的外角相邻的内角是90°，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
9. 如图，下列推理正确的是（ ）

A. ∵，∴ B. ∵，∴
C. ∵，∴ D. ∵，∴
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、由∠2=∠4不能推出AD∥BC，故本选项错误；
B、∵∠1=∠3，∴AD∥BC，故本选项正确；
C、由∠4+∠D=180°不能推出AD∥BC，故本选项错误；
D、由∠4+∠B=180°不能推出AD∥BC，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线判定的应用，注意：同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行．
10. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题需先分别求出，再根据即可求出结果．
【详解】解：，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积计算，解题的关键是在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化．
二、填一填（每空2分，计22分）
11. 计算：______；______；
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：x3•x3=x3+3=x6；
．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
12. “对顶角相等”这个命题的逆命题是______．
【答案】相等的角是对顶角
【解析】
【分析】对顶角相等的题设是：两个角是对顶角，结论是这两个角相等，把条件与结论互换就可以得到逆命题．
【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的两个角是对顶角．
故答案为：相等的两个角是对顶角．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】5
【解析】
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108°
∴每一个外角为72°
∵多边形的外角和为360°
∴这个多边形的边数是：360÷72=5
故答案为：5
14. 若x、y是正整数，且，，则______．
【答案】36
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方逆运算求出式子的值即可．
【详解】解：∵ax=4，ay=3，
∴
故答案为：36
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法法则的灵活运用以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15. 如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中______．

【答案】15°
【解析】
【分析】根据常用的三角板的特点求出∠EAD和∠BFD的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°，
∴∠ABF=∠EAD-∠BFD=15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
16. 若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是_____度．
【答案】80
【解析】
【分析】设三角形的三个内角分别为2x、3x、4x，根据三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x值，将其代入4x中即可得出结论．
【详解】解：设三角形的三个内角分别为2x、3x、4x，
根据题意得：2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴4x=4×20°=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据三角形内角和定理找出关于x的一元一次方程2x+3x+4x=180°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
17. 一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______．
【答案】15或18厘米
【解析】
【分析】由等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，故其三边为4、4、7或4、7、7，分别求出其周长即可.
【详解】∵一个等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，
∴第三边可能为4cm或7cm，
即三边为4、4、7或4、7、7，
求得周长分别为15cm,18cm,
故填15或18.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的三边关系，分情况讨论是易错点.
18. 如图，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是∠BAC的平分线，∠ADC＝____________°．

【答案】80
【解析】
【分析】利用三角形的内角和先求∠BAC的度数，再运用角平分线的定义，求∠BAD的度数，最后运用三角形的外角的性质得∠ADC的度数.
【详解】在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°．
∴∠ADC=∠BAD+∠B=30°+50°=80°．
故答案为80．
【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理.
19. 如图，若，则、、之间的关系为______.

【答案】
【解析】
【分析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论．
【详解】过点E作EF∥AB，如图所示．

∵AB∥CD,EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β−∠γ=180°.
故答案为∠α+∠β−∠γ=180°.
【点睛】考查平行公理以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.
20. 如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠BDF＝_______°．

【答案】80°
【解析】
【详解】∵BC∥DE，∴∠ADE=∠B=50°，∵∠EDF=∠ADE=50°，∴∠BDF=180°-50°-50°=80°．故答案为80°．
三、做一做（本项共大6题，计58分）
21. 算一算：
（1）
（2）
（3）
（4）已知，求的值．
（5）已知，求x的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）27 （5）
【解析】
【分析】（1）原式第一项根据单项式乘以单项式化简，第二项先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法后再合并同类项即可；
（2）原式根据幂乘方和积的乘方运算法则进行计算即可；
（3）原式先计算积的乘方，再进行同底数幂的乘法运算即可答案；
（4）先把变形为，再把变形为，最后整体代入求解即可；
（5）根据同底数幂的乘法列出方程求解即可．
【小问1详解】

=

=
【小问2详解】

=
=
小问3详解】

=
=
【小问4详解】
∵
∴
∴
【小问5详解】
∵
∴
∴
∴
解得，
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．

（1）把平移至的位置，使点A与对应，得到；
（2）图中可用字母表示，与线段平行且相等的线段有：______；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）BB′、CC′；
（3）14
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点B、C平移后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等解答；
（3）利用四边形ACC′A′所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【小问1详解】
△A′B′C′如图所示；
【小问2详解】
由平移的性质，与线段AA′平行且相等的线段有BB′、CC′；
故答案为：BB′、CC′；
【小问3详解】
四边形ACC′A′的面积
=36-1-10-1-10
=36-22
=14．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23. 完成下面的正明．
已知：如图，，BE、DF分别是、的平分线．

求证：．
证明：∵，
∴（______）．
∵BE、DF分别是、的平分线；
∴，．（______）．
∴．（______）
∴____________（______）．
∴（______）．
【答案】两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠ABC＝∠ADE，根据角平分线定义得出∠3＝，∠4＝，求出∠3＝∠4，根据平行线的判定得出DF∥BE，再根据平行线的性质得出即可．
【详解】证明：∵BC//DE，
∴∠ABC＝∠ADE（ 两直线平行，同位角相等）．
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．
∴∠3＝，∠4＝（角平分线的定义），
∴∠3＝∠4，
∴DF//BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
故答案是：两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能综合运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
24. 如图，在△ABC中，∠ABC=56º，∠ACB=44º，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线，求出∠DAE的度数．

【答案】6°
【解析】
【详解】试题分析：先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，由AE是△ABC的角平分线，求出∠DAC的度数，由AD是BC边上的高，求出∠EAC的度数，再利用角的和差求出∠DAE的度数．
解：∵在△ABC中，∠ABC=56°，∠ACB=44°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠EAC=∠BAC=40°
∵AD是BC边上的高，∠ACB=44°
∴∠DAC=90°-∠ACB=46°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=6°
25. 如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，，试说明：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）要证明AF//ED，根据平行线的判定，只要找到可以判定AF//ED的条件即可，由题意可以得到，同位角∠AFC=∠D，本题得以解决；
（2）根据第一问的结论AF//ED，以及对顶角相等，可以证明结论成立．
【小问1详解】
∵AB//CD，
∴∠A=∠AFC，
∵∠A=∠D，
∴∠AFC=∠D，
∴AF//ED；
【小问2详解】
∵AF//ED，
∴∠1=∠CGD，
又∵∠2=∠CGD，
∴∠1=∠2．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明的结论需要的条件．
26. 探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
【答案】探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∠DPC=90°+∠A；探究三：∠DPC=（∠A+∠B）；探究四：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°.
【解析】
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
【详解】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-∠ADC-∠ACD，
=180°-（∠ADC+∠ACD），
=180°-（180°-∠A），
=90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-∠ADC-∠BCD，
=180°-（∠ADC+∠BCD），
=180°-（360°-∠A-∠B），
=（∠A+∠B）；
探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-∠EDC-∠BCD
=180°-（∠EDC+∠BCD）
=180°-（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．