南京市江宁区2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南京市江宁区2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了 下列命题， 如图，下列结论中不正确的是， 下列运算正确的是， 下列各式中，计算结果为的是， 如果等式， 计算等内容，欢迎下载使用。
南京市江宁区2021-2022学年七年级3月月考数学试题
一．选择题
1. 水是生命之源，水是由氢原子和氧原子组成的，其中氢原子的直径为0.0000000001m，把这个数值用科学记数法表示为（ ）
A. 1×109 B. 1×1010 C. 1×10－9 D. 1×10－10
2. 下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等，其中假命题的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，下列结论中不正确的是（　　）

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D 若，则
4. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
5. 对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明它是假命题的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，直线ABCD，∠A=115°，∠E=80°，则∠CDE的度数为（　　）

A. B. C. D.
8. 如果等式（2x﹣3）x+3＝1，则等式成立x的值的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
9. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．
10. 计算：（1）______；（2）______．
11. 计算：（1）=______；（2）=______．
12. 已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2•（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的______．（按运算顺序填序号）
13. （1）已知，则m=______；
（2）（）2015×41007=______．
14. 若3n=2，3m=5，则32m+3n﹣1=________
15. 一个长方形的长是cm，宽是cm，此长方形的面积为______．（用科学记数法表示）
16. 如图，，平分，若，那么的度数为　　

17. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________．

18. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1=110°，则∠GFC′=_______．

三、解答题
19. 计算与化简：
（1）；
（2）．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 画图并填空：如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，点B的对应点为．根据下列条件，利用网格点和无刻度直尺画图：

（1）补全；
（2）画出边上的中线；
（3）画出边上的高线；
（4）的面积为_________．
22. 填写下列空格，完成证明：如图，EF//AD，，，求的度数．
解：∵EF//AD，
∴______．（理由是：_______）
∵，
∴．（理由是：_______）
∴_______//______．（理由是：______）
∴______．（理由是：_______）
∵，
∴_______．

23. 用两种不同方法计算（am•an）2．
方法1：
方法2：
24. 用两种方法证明“三角形的外角和等于”．
【提示】我们知道：三角形内角和等于；三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的三个外角．

求证：．
证法1：是的一个外角，
①_______．
同理，．
．
．
②________
．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
25. 若（且是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值．
26. 已知,如图, AB∥CD，∠1=∠2，那么∠E和∠F相等吗? 为什么?

27. 如图，点C、D分别在射线OA、OB上，不与点O重合，CE//DF．

（1）如图1，探究、、数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点P，若，，请用含，的式子表示______．（直接写出结果）
答案与解析
一．选择题
1. 水是生命之源，水是由氢原子和氧原子组成的，其中氢原子的直径为0.0000000001m，把这个数值用科学记数法表示为（ ）
A. 1×109 B. 1×1010 C. 1×10－9 D. 1×10－10
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：0.0000000001有效数字为1，小数点向右移动了10位，故记作1×10－10米
考点：科学记数法
点评：本题难度较低，主要考查学生对科学记数法知识点的掌握．为中考常考题型，要求学生牢固掌握．
2. 下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等，其中假命题的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的性质可判断①③，根据平行线的性质及判定可判断②④．
【详解】由对顶角的性质可直接判断①是正确的，是真命题；
由在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故②正确，是真命题；
由反例“角平分线分成的两个角相等”，但它们不是对顶角，故③错误，是假命题；
由“两直线平行，同位角相等”，前提是两直线平行，故④错误，是假命题．
故选：B．
【点睛】本题主要考查真假命题的判断，解题关键是熟悉对顶角的性质及平行线的性质及判定．
3. 如图，下列结论中不正确的是（　　）

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定逐个分析即可．
【详解】A． 根据“两直线平行，内错角相等”，若，则，本选项错误；
B． 根据“内错角相等，两直线平行”，若，则，本选项正确；
C． 根据“同位角相等，两直线平行”， 若，则，本选项正确；
D． 根据“两直线平行，同旁内角互补”，若，则
故选A
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质．掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算法则即可求解．
【详解】A.，故错误；
B.，故错误；
C.，正确；
D.，故错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
5. 对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明它是假命题的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由假命题的概念求解即可．
【详解】A、，，，不符合题意；
B、，，，且，不符合题意；
C、，，，且，不符合题意；
D、，，，且，说明是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了假命题的概念，解题的关键是熟练掌握假命题的概念．
6. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意根据幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，即可解答．
【详解】解：A．，故排除；
B．，故排除；
C．，故排除；
D．，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查幂的运算，解决本题的关键是熟记幂的乘方，同底数幂的乘法、除法的法则．
7. 如图，直线ABCD，∠A=115°，∠E=80°，则∠CDE的度数为（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先延长AE交CD于F，根据ABCD，∠A＝115°，即可得到∠AFD＝65°，再根据∠AED是△DEF的外角，∠AED＝80°，即可得到∠CDE＝80°﹣65°＝15°．
【详解】解：延长AE交CD于F，

∵ABCD，∠A＝115°，
∴∠AFD＝65°，
又∵∠AED是△DEF的外角，∠AED＝80°，
∴∠CDE＝80°﹣65°＝15°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
8. 如果等式（2x﹣3）x+3＝1，则等式成立的x的值的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由于任何非0数的0次幂等于1和1的任何指数为1，所以分两种情况讨论．
【详解】解：当x+3＝0时，x＝﹣3；
当2x﹣3＝1时，x＝2
∴x的值为2，﹣3，
当x＝1时，等式（2x﹣3）x+3＝1，
故选C．
【点睛】此题考查零指数幂，关键是注意本题要分类讨论，不要漏解．
二、填空题
9. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【解析】
【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．
10. 计算：（1）______；（2）______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）运用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可；
（2）运用积的乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）


；
（2）

．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及积的乘方运算法则，掌握同底数幂的乘法以及积的乘方运算法则是解答本题的关键．
11. 计算：（1）=______；（2）=______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用同底数幂的除法运算法则即可；
（2）利用负整数指数幂的运算法则求解即可．
【详解】（1）
=
=
=，
故答案为：．
（2）==，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算和负整数指数幂的运算，掌握相应运算法则是解题关键．
12. 已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2•（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的______．（按运算顺序填序号）
【答案】③②①
【解析】
【分析】在“（a2•a3）2＝（a2）2•（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，第一步用到了积的乘方，第二步用到了幂的乘方，第三步用到了同底数幂的乘法，据此判断即可．
【详解】解：在“（a2•a3）2＝（a2）2•（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的③②①．
故答案③②①．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）；③am•an＝am+n（m，n是正整数）．
13. （1）已知，则m=______；
（2）（）2015×41007=______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，从而可求解；
（2）利用积的乘方及幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴ ，
∴，
∴，
解得．
故答案为：3；
（2）





．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14. 若3n=2，3m=5，则32m+3n﹣1=________
【答案】
【解析】
【分析】逆用同底数幂的乘除法则，再逆用幂的乘方法则，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵=2，=5，
∴==()2×÷3=25×8÷3=．
故答案为．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方法则，解题的关键是熟练的掌握同底数幂相乘及幂的乘方法则．
15. 一个长方形的长是cm，宽是cm，此长方形的面积为______．（用科学记数法表示）
【答案】1.26×109 cm2
【解析】
【分析】根据长方形的面积＝长与宽的乘积，依此求出即可．
【详解】解：∵一个长方形的长是4.2×104cm，宽是3×104cm，
∴长方形的面积=4.2×104×3×104＝1.26×109（cm2）．
故答案为：1.26×109cm2．
【点睛】此题考查了科学记数法和同底数幂的乘法，熟练掌握科学记数法表示较大数的方法是解本题的关键．
16. 如图，，平分，若，那么的度数为　　

【答案】40°
【解析】
【分析】根据角平分线定义求出∠BAC，根据平行线性质得出∠ACD+∠BAC=180°，代入求出即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=70°，
∴∠BAC=2∠BAD=140°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=180°-∠BAC=40°，
故答案为40°．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质的应用，关键是求出∠BAC的度数，再结合∠ACD+∠BAC=180°．
17. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________．

【答案】10
【解析】
【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=10，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平移性质．利用数形结合的思想是解题关键．

18. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1=110°，则∠GFC′=_______．

【答案】70°##70度
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠DEG＝∠1＝110°，再根据翻折的性质得出∠DEF＝55°，∠CFE＝∠FE，进而利用平行线的性质求出∠FE＝125°，∠GFE＝55°，即可求出∠GFC′．
【详解】解：∵四边形ABCD长方形，
∴ADBC，
∴∠DEG＝∠1＝110°，
由翻折可得，∠DEF＝∠GEF＝∠DEG＝55°，∠CFE＝∠FE，
∵ADBC，
∴∠CFE＝∠FE＝180°－∠DEF＝125°，∠GFE＝∠DEF＝55°，
∴∠GFC′=∠FE－∠GFE＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题
19. 计算与化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）-4 （2）5a4
【解析】
【分析】（1）先算负整数指数幂，乘方，零指数幂，再算加减即可；
（2）先算积的乘方，幂的乘方，再算同底数幂的除法，最后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
＝﹣4+4×1﹣4
＝﹣4+4﹣4
＝﹣4；
【小问2详解】
（2a2）2﹣a7÷（﹣a）3
＝4a4﹣a7÷（﹣a3）
＝4a4+a4
＝5a4．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，乘方，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；56
【解析】
【分析】先用整式四则混合运算法则化简，然后将代入求值即可．
【详解】解：
=
=
当时，原式==56．
【点睛】本题主要考查了整式的四则混合运算、整式的化简求值等知识点，正确的化简原式是解答本题的关键．
21. 画图并填空：如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，点B的对应点为．根据下列条件，利用网格点和无刻度直尺画图：

（1）补全；
（2）画出边上的中线；
（3）画出边上的高线；
（4）的面积为_________．
【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 （4）4
【解析】
【分析】（1）可知B点经过向下平移2个单位，再向左平移5个单位即得到，据此作图即可；
（2）根据中线的性质结合网格图作图即可；
（3）根据高线的性质结合网格图作图即可；
（4）先求出△ABC的面积，根据中线的性质可知△ADC的面积是△ABC面积的一半，即可求解．
【小问1详解】
可知B点经过向下平移2个单位，再向左平移5个单位即得到，则将A、C点也向下平移2个单位，再向左平移5个单位即得到、，连接、、，
补全图形如下：
【小问2详解】
取AB中点D，连接CD，如图，
【小问3详解】
结合网格图，根据高线的性质作图，如图，
【小问4详解】
△ABC的面积为：，
∵AD是BC边上的中线，
∴，
即△ADC的面积为4．
【点睛】本题考查了三角形的平移、中线、高线以及的面积的知识，充分利用网格图的特点是解答本题的关键．
22. 填写下列空格，完成证明：如图，EF//AD，，，求的度数．
解：∵EF//AD，
∴______．（理由是：_______）
∵，
∴．（理由是：_______）
∴_______//______．（理由是：______）
∴______．（理由是：_______）
∵，
∴_______．

【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换 ；DG；AB；内错角相等，两直线平行 ；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110
【解析】
【分析】根据平行线的判定和性质结合推理过程填空即可．
【详解】解：∵EF//AD，
∴∠3．（理由是：两直线平行，同位角相等），
∵，
∴．（理由是：等量代换），
∴DG // AB．（理由是：内错角相等，两直线平行），
∴∠AGD．（理由是：两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴110．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换 ；DG；AB；内错角相等，两直线平行 ；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23. 用两种不同方法计算（am•an）2．
方法1：
方法2：
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：方法1：（am•an）2
＝（am＋n）2
＝a2m＋2n；
方法2：（am•an）2
＝（am）2•（an）2
＝a2m•a2n
＝a2m＋2n；
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
24. 用两种方法证明“三角形的外角和等于”．
【提示】我们知道：三角形的内角和等于；三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的三个外角．

求证：．
证法1：是的一个外角，
①_______．
同理，．
．
．
②________
．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【答案】① ∠BAE=∠2+∠3，② ∠1+∠2+∠3=180°；
证法2见详解
【解析】
【分析】证法1：根据是的一个外角，可得．同理可得．．即有，再结合即可求证；证法2，根据平角为180°可得，，，即有，再结合即可求证．
【详解】证法1：∵是的一个外角，
∴．
同理，．
．
∴．
∵，
∴．
故答案为：①，②；
证法2：
∵，，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和等于180°和三角形的外角等于不相邻的两个内角的和的知识，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的和的知识是解答本题的关键．
25. 若（且是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）3 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解；
（2）根据幂的乘方及其逆运算即可求解．
【小问1详解】





，
∵，
∴
即有，
解得，
即x的值为3；
【小问2详解】
，
∵，
∴
即有，
解得，
即x的值为2．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算，熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算的运算法则是解答本题的关键．
26. 已知,如图, AB∥CD，∠1=∠2，那么∠E和∠F相等吗? 为什么?

【答案】相等，理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：分别过E、F 点作CD的平行线EM、FN，根据平行线的性质得CD∥FN∥EM∥AB，则∠3=∠1，∠4=∠5，∠1=∠6，而∠1=∠2，于是3+∠4=∠5+∠6．
试题解析：分别过E、F 点作CD的平行线EM、FN，如图
∵AB∥CD，
∴CD∥FN∥EM∥AB，
∴∠3=∠2，∠4=∠5，∠1=∠6，
而∠1=∠2，
∴∠3+∠4=∠5+∠6，
即∠BEF=∠EFC．

27. 如图，点C、D分别在射线OA、OB上，不与点O重合，CE//DF．

（1）如图1，探究、、的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点P，若，，请用含，的式子表示______．（直接写出结果）
【答案】（1）∠ACE＋∠AOB＋∠ODF＝360°，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点O作，根据平行线的判定及性质和等量代换即可求解．
（2）根据四边形的内角和为360°及角平分线的定义即可求解．
【小问1详解】
解：，证明如下：
过点O作，如图所示：

∵，
∴∠ODF+∠DOC=180°，
又∵，，
∴，
∴∠GOC=∠OCE，
又∵∠ACE+∠OCE=180°，
∴∠ACE+∠GOC=180°，
∴∠ODF+∠DOG+∠ACE+∠GOC=360°，
∴∠ACE＋∠AOB＋∠ODF＝360°．
【小问2详解】
∵DP是∠ODF的平分线，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、直角和周角的定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．