沭阳县2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份沭阳县2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

沭阳县2021-2022学年七年级3月月考数学试题
（时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下面图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是（　）
A. B. C. D.
2. 下列运算中，正确的是（　　）
A. a8÷a2=a4 B. (﹣m)2•(﹣m3)=﹣m5 C. x3+x3=x6 D. (a3)3=a6
3. 小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（　　）
A 3cm B. 4cm C. 9cm D. 10cm
4. 如图所示，点E在线段AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）

A. ∠3＝∠A B. ∠1＝∠2
C. ∠D＝∠DCE D. ∠D+∠ACD＝180°
5. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6. 若，则的值分别是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列叙述中，正确的有（ ）
①任意一个三角形的三条中线都相交于一点；②任意一个三角形的三条高都相交于一点；③任意一个三角形的三条角平分线都相交于一点；④一个五边形最多有3个内角是直角
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（ ）

A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上）
9. 新型冠状病毒的形状一般为冠状，直径大约125纳米，已知1纳米=10-9米，该直径用科学记数法可表示为_____米．
10. 82022×（﹣0.125）2021＝________．
11. 若n为正整数，且，则的值为__________．
12. 若∠1与∠2有一条边在同一直线上，且另一边互相平行，∠1=60°，则∠2=_____．
13. 某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，，；图②中，，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上（移动开始时点与点重合）．要使、的连线与平行，此时的度数为______．

14. 若与的乘积中不含的一次项，则＝______．
15. 一个多边形的各内角都等于120°，则这个多边形的对角线共有___条．
16. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____．

17. 如图，光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3=______°．


18. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s、t是正整数，且s≤t），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：F(n)＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F(18)＝＝．给出下列关于F(n)的说法：①F(2)＝；②F(48)＝；③F(n2+n)＝；④若n非0整数，则F(n2)＝1，其中正确说法的是______（将正确答案的序号填写在横线上）．
三、解答题（本大题共有9小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
20. 解方程：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）．
21. 计算：
（1）已知am＝2，an＝3，求的值；
（2）已知，求的值．
22. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹：

（1）画出△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ；
（3）在AB右下侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 个．
23 已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．

24. 如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠A＝∠C，EF∥BD，∠1＝∠2．

求：（1）∠C的度数；
（2）∠ADG的度数．
25. 探究应用：
（1）计算：＝ ；＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？
用含的字母表示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是（ ）．
A. B.
C. D.
26. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　 　
方法2：　 　
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　 　
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分面积．

27. 如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．

（1）求∠ACB的度数；
（2）试说明∠CEF＝∠CFE；
（3）若AC＝3CE，AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝ 　　（仅填结果）．
28. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：

（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCECE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．
答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下面图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是（　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、图案自身的一部分围绕中心经旋转而得到，故错误；
B、图案自身的一部分沿对称轴折叠而得到，故错误；
C、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故正确；
D、图案自身的一部分经旋转而得到，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
2. 下列运算中，正确的是（　　）
A. a8÷a2=a4 B. (﹣m)2•(﹣m3)=﹣m5 C. x3+x3=x6 D. (a3)3=a6
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的定义及合并同类相法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，积的乘方，分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、a8÷a2＝a4不正确；
B、(－m)2·(－m3)＝－m5 正确；
C、x3＋x3＝x6合并得２x3，故本选项错误；
D、(a3)3＝a９，不正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项及同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3. 小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（　　）
A. 3cm B. 4cm C. 9cm D. 10cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边的关系求解即可．
【详解】解：A项，3+3<7，故不符合题意；
B项，3+4=7，故不符合题意；
C项，3+9>7，符合题意；
D项，3+7=10，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形三边的关系．
4. 如图所示，点E在线段AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）

A. ∠3＝∠A B. ∠1＝∠2
C. ∠D＝∠DCE D. ∠D+∠ACD＝180°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】A.由∠3＝∠A无法判断，故A不符合题意；
B.由∠1＝∠2能判断，故B符合题意；
C.由∠D＝∠DCE可以判断，不能判断，故C不符合题意；
D.∠D+∠ACD＝180°可以判断，不能判断，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟知平行线的判定条件，是解题的关键．
5. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
A选项是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
6. 若，则的值分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值．
【详解】∵（x-1）（x+3）=x2+2x-3=x2+mx+n，
∴m=2，n=-3，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．
7. 下列叙述中，正确的有（ ）
①任意一个三角形的三条中线都相交于一点；②任意一个三角形的三条高都相交于一点；③任意一个三角形的三条角平分线都相交于一点；④一个五边形最多有3个内角是直角
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三条高所在的直线，三条中线和三条角平分线都分别相交于一点，多边形内角和定理解答．
【详解】解：①三角形的三条中线相交于一点，故本选项正确；
②钝角三角形是三条高所在的直线都相交于一点，三条高不相交，故本选项错误；
③三角形的三条角平分线都分别相交于一点，故本选项正确；
④一个五边形如果有4个内角是直角，那么与这4个内角相邻的外角也都是直角，则此五边形的外角和大于，这是不可能的，所以一个五边形最多有3个内角是直角说法正确，故本选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三条高所在的直线、三条中线和三条角平分线都分别相交于一点，多边形内外角和是，解题的关键是掌握相应的定义．
8. 如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（ ）

A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据三角形的外角的性质，结合，得出，根据∠DEF＝∠A得出，根据角平分线的定义与三角形内角和性质计算即可．
【详解】解：连接，如图所示：

则，，
，
，
即，
，
，
平分，平分，
，





故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，正确运用角平分线的定义和三角形内角和定理，是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上）
9. 新型冠状病毒的形状一般为冠状，直径大约125纳米，已知1纳米=10-9米，该直径用科学记数法可表示为_____米．
【答案】1.25×10-7
【解析】
【分析】根据已知条件：1纳米=10-9米，则125纳米米，表示成科学记数法即可
【详解】125纳米米米
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10. 82022×（﹣0.125）2021＝________．
【答案】
【解析】
【分析】运用积的乘方逆运算进行计算即可．
【详解】解：原式＝82022×（﹣ ）2021

＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点睛】本题考查了积的乘方运算：(ab)n=anbn（n是正整数） ，有理数的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题关键．
11. 若n为正整数，且，则值为__________．
【答案】56
【解析】
【分析】先用积的乘方和幂的乘方运算法则将原式变形为，然后逆用幂的乘方运算法则进行变形，再代入求值计算即可．
【详解】解：∵，
∴






故答案为：56．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算法则的应用，熟练掌握幂的乘方法则和整体代入的思想，是本题的解题关键．
12. 若∠1与∠2有一条边在同一直线上，且另一边互相平行，∠1=60°，则∠2=_____．
【答案】60°或120°
【解析】
【详解】分析：根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可解答此题．
详解：如图：当α=∠2时,

当β=∠2时,
故答案为或.
点睛：考查平行线判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.
13. 某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，，；图②中，，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上（移动开始时点与点重合）．要使、的连线与平行，此时的度数为______．

【答案】15°##15度
【解析】
【分析】要使FC∥AB则∠FCA=∠A=30°，根据三角形的外角定理便可求出∠CFE的度数；
【详解】解：在Rt△DEF中，∠D=90°，∠F=45°，
∴∠DEF=180°－90°－45°=45°，
当FC∥AB时，∠FCA=∠A=30°，
∵∠DEF=∠EFC＋∠FCA，
∴∠EFC=∠DEF－∠FCA=45°－30°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质（两直线平行内错角相等），三角形的内角和为180°，熟记其性质是解题关键．
14. 若与的乘积中不含的一次项，则＝______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式，进而令含x的一次项系数为0，即可求得的值．
【详解】解：∵（mx+8）（2-3x）＝-3mx2+2mx-24x+16＝-3mx2+（2m-24）x+16，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴2m-24＝0，
解得m＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式乘法中无关类型，掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．
15. 一个多边形的各内角都等于120°，则这个多边形的对角线共有___条．
【答案】9
【解析】
【分析】多边形的每一个内角都等于120°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是60度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n−3，即可求得对角线的条数．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴每个外角是60度，
则多边形的边数为360°÷60°＝6，
则该多边形有6个顶点，
则此多边形从一个顶点出发对角线共有6−3＝3条，
∴这个多边形的对角线共有：6×3÷2＝9（条）．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．同时考查了多边形的边数与对角线的条数的关系．
16. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____．

【答案】25°．
【解析】
【详解】试题分析：首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵∠ABE=40°，
∴∠EBC=90°﹣40°=50°，
根据折叠可得∠EBD=∠CBD，
∴∠CBD=25°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=25°，
故答案为25°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
17. 如图，光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3=______°．


【答案】60
【解析】
【分析】利用等角的余角相等求出∠1=∠6，∠3=∠5，∠2=∠4，再利用余角的定义求出∠7、∠8的度数，进而求出∠3．
【详解】解：如图，

由光线的反射角等于入射角，利用等角的余角相等则∠1=∠6，∠3=∠5，∠2=∠4，
∵∠1=50°，∠2=55°，
∴∠6=50°，∠4=55°，
∴，
∴．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及余角的性质，根据光线的反射角等于入射角得出∠1=∠6，∠3=∠5，∠2=∠4，是解题的关键．
18. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s、t是正整数，且s≤t），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：F(n)＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F(18)＝＝．给出下列关于F(n)的说法：①F(2)＝；②F(48)＝；③F(n2+n)＝；④若n非0整数，则F(n2)＝1，其中正确说法的是______（将正确答案的序号填写在横线上）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据新定义中的最佳分解的定义即可作答．
【详解】解：∵2＝1×2，
∴F（2）＝，
故语句①符合题意；
∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，
∴F（48），
故语句②不符合题意；
∵n2+n＝n（n+1），
∴F（n2+n）＝，
故语句③符合题意；
∵n2＝n×n，
∴F（n2）＝＝1，
故语句④符合题意，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了新定义的运算、分解因数等知识，正确理解新定义是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）14 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂、乘方的运算法则进行化简，然后再计算即可；
（2）先根据积的乘方、同底数幂的乘除法进行化简，然后再合并同类项即可；
（3）先根据单项式乘单项式和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可；
（4）先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：



【小问2详解】
解：



【小问3详解】
解：



【小问4详解】
解：



【点睛】本题主要考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算法则及同底数幂的乘除法，是解题的关键．
20. 解方程：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）．
【答案】x＝－1
【解析】
【分析】先根据多项式乘多项式法则去括号，再移项，合并同类项，化系数为1．
【详解】解：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）
x2－7x＋3x－21＋8＝x2－x＋5x－5
x2－7x＋3x－x2＋x－5x＝－5＋21－8
－8x＝8
x＝－1．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
21. 计算：
（1）已知am＝2，an＝3，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同底数幂的除法和幂的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对已知条件进行整理，即可求的值．
【小问1详解】
解：当，时，





；
【小问2详解】
解：，
，
，
则，
解得：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
22. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹：

（1）画出△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ；
（3）在AB的右下侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 个．
【答案】（1）见解析 （2），，10
（3）8
【解析】
【分析】（1）分别作出，，的对应的点，，连接即可；
（2）利用分割法的思想进行求解即可；
（3）直线上的格点满足条件．
【小问1详解】
解：如图，△即为所求作；
【小问2详解】
解：，．线段扫过的图形的面积为．
故答案为：，，10；
【小问3详解】
解：直线上的格点满足条件，如图可知：

满足条件的点有8个，
故答案为：8．
【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
23. 已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据内错角相等两条直线平行证明AC//DE进而可得，根据AD//BE可得，由此即可证明．
【详解】证明：∵，
∴AC//DE，
∴，
∵AD//BE，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理,能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
24. 如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠A＝∠C，EF∥BD，∠1＝∠2．

求：（1）∠C的度数；
（2）∠ADG的度数．
【答案】（1）55°；（2）55°
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A+∠C=110°，进而得出∠C；
（2）根据EF∥BD，得到∠DBC=∠1，由于∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠DBC，于是得到DG∥BC，即可得到结论．
【详解】（1）∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠ABC=70°，
∴∠A+∠C=110°，
∵∠A=∠C，
∴∠C=55°；
（2）∵EF∥BD，
∴∠1=∠DBC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DBC，
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠C=55°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
25. 探究应用：
（1）计算：＝ ；＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？
用含的字母表示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】（1）；
（2） （3）C
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可计算出答案；
（2）根据多项式乘以多项式法则，从计算中找规律；
（3）多项式乘以多项式特殊情况的总结．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：；
故答案为：；
【小问3详解】
解：由可知，
故选C．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是利用观察归纳能力来求解及掌握多项式乘多项式的运算法则．
26. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　 　
方法2：　 　
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　 　
（3）利用（2）中结论解决下面问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．

【答案】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；（3）14．
【解析】
【分析】（1）方法1：两个正方形面积和，方法2：大正方形面积-两个小长方形面积；
（2）由题意可直接得到；
（3）由阴影部分面积=正方形ABCD的面积+正方形CGFE的面积-三角形ABD的面积-三角形BGF的面积，可求阴影部分的面积．
【详解】（1）由题意可得：方法1：a2+b2，方法2：（a+b）2﹣2ab，
故答案为a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab，
故答案为a2+b2=（a+b）2﹣2ab；
（3）∵阴影部分的面积=S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF=a2+b2﹣a2﹣（a+b）b
∴阴影部分的面积=a2+b2﹣ab= [（a+b）2﹣2ab]﹣ab=14.
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
27. 如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．

（1）求∠ACB的度数；
（2）试说明∠CEF＝∠CFE；
（3）若AC＝3CE，AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝ 　　（仅填结果）．
【答案】（1）90° （2）见解析
（3）5
【解析】
【分析】（1）证明∠BCD+∠ACD=90°，即可得到结论；
（2）由角平分线定义可得∠ABE=∠CBF， 进一步可得结论；
（3）分别求出S△BCE=20，S△BCD=15 ，再利用S△CEF－S△BDF=S△BCE－S△BCD求解即可．
【小问1详解】
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°；
【小问2详解】
证明：∵BE平分∠ABC交CD，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，∠CFE＝∠BCF+∠CBF，
∠A＝∠BCF，∠CBF＝∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE；
【小问3详解】
解：∵AC＝3CE，
即CE＝AC，
∴S△BCE＝S△ABC＝×60＝20，
∵AB＝4BD，
即BD＝AB，
∴S△BCD＝S△ABC＝×60＝15，
∴S△BCE﹣S△DBC＝20﹣15＝5，
即S△CEF﹣S△BDF＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，角平分线性质，三角形的面积公式，掌握相关概念与性质是解题的关键．
28. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：

（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．
【答案】（1）∠ACB＝145°
（2）∠ACB＋∠DCE＝180°；理由见解析
（3）存在；∠ACE＝30°，45°，120°，135°，165°
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE可得出结论；
（3）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°，画出图形进行解答即可．
【小问1详解】
解：∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠DCB＝90°−35°＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋55°＝145°．
【小问2详解】
解：∠ACB＋∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋90°＝180°．
【小问3详解】
存在；
①当∠ACE＝30°时，，理由如下，如图1所示：

∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，
∴∠DCB＝∠D，
∴；
②当∠ACE＝45°时，，理由如下，如图2所示：

∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠E，
∴；
③当∠ACE＝120°时，，理由如下，如图3所示：

∵∠ACE＝120°，∠A＝60°，
∴∠ACE+∠A=120°+60°=180°，
∴；
④当∠ACE＝135°时，，理由如下，如图4所示：

∵∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝135°−90°＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴；
⑤当∠ACE＝165°时，，理由如下：
延长AC交BE于F，如图5所示：

∵∠ACE＝165°，
∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，
∴∠CFB＝∠ECF＋∠E＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠CFB，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角板中的角度计算、三角形外角的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．