泰州靖江市实验学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

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泰州靖江市实验学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题一、选择题1. 下列运算正确的是（   ）A.  B.  C.  D. 2. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是(        )A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形3. 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形(　　　)A 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆4. 下列结论中错误的有(    )①三角形至多有两条高在三角形的外部；②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°；③两条直线被第三条直线所截，则同旁内角一定互补；④在四边形的4个内角中，钝角的个数最多有2个；⑤在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5. 如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（　　）A. ∠α+∠β﹣∠γ B. ∠α+∠β+∠γ C. ∠β+∠γ﹣∠α D. ∠α﹣∠β+∠γ6. 如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C的度数为（       ）A. 40° B. 41° C. 32° D. 36°二、填空题7. 比较大小：_______（填＝、＞或＜）．8. 若，则= ___________．9. 已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a－b＋c|－|a－b－c|＝_________10. 若，，则= ________．11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．12. 如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=___________．13. 如图，已知∠1＝60°，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝　____．14. 如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABC的面积为12，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为________．                   15. 在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A=50°，则∠BOC= __________16. 如图，ADBC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为_______°三、解答题17. （1）（2）18. （1）已知，求x的值； （2）已知，求x值．19 先化简，再求值：，其中20. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是________（4）△ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积为________（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有______个（注：格点指网格线的交点）21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以(2，8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）=（3，15）成立．证明如下：设（3，3）=m，（3，5）= n，则，故，则（3，15）=m+n，即（3，3）+（3，5）=（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（5，125）=______；（____，16）=4．（2）计算（5，2）+（5，7）=_________，并说明理由．（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意自然数n都成立．22. 已知如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 23. 如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补.(1)说明：∠1=∠2.(2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数.24. 已知，在三角形ABC中，点D在BC上，DE⊥AB于E，点F在AB上，在CF延长线上取一点G，连接AG.(1)如图1,若∠GAB=∠B,∠GAC+∠EDB=180°，求证：AB⊥AC.(2)如图2.在(1)的条件下,∠GAC的平分线交CG于点M,∠ACB的平分线交AB于点N,当∠AMC−∠ANC=35°时，求∠AGC的度数．25. 好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列3个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，BI，DC的延长线交于点E．（1）若∠BAC=50°，求∠BIC；（2）若（0<x<90°），则当∠ABE等于多少度(用含的代数式表示)时，，并说明理由；（3）若∠D=3∠E，求∠BAC的度数．26. —副三角板如图1摆放，，，，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．（1）当________时，；当________时，； （2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数； （3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由．
 
答案与解析一、选择题1. 下列运算正确的是（   ）A  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可．【详解】解：A.，故原选项错误；B. ，故原选项错误；C ，计算正确；D. ，故原选项错误故选C【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是(        )A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形【答案】B【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可．【详解】解：∵多边形的各个内角都等于144°，∴每个外角为36°，设这个多边形的边数为n，则36°×n=360°，解得n=10．故选：B．【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360°这一关键．3. 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是(　　　)A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆【答案】A【解析】【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【详解】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形．故选：A．【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4. 下列结论中错误的有(    )①三角形至多有两条高在三角形的外部；②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°；③两条直线被第三条直线所截，则同旁内角一定互补；④在四边形的4个内角中，钝角的个数最多有2个；⑤在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D【解析】【详解】解：①三角形至多有二条高在三角形的外部，钝角三角形的两条高在外部，说法正确；②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°，说法错误，应该是增加180°；③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原说法错误；④在四边形的4个内角中，钝角的个数最多有3个，原说法错误；⑤在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为为钝角三角形，原说法错误；故选D．5. 如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（　　）A. ∠α+∠β﹣∠γ B. ∠α+∠β+∠γ C. ∠β+∠γ﹣∠α D. ∠α﹣∠β+∠γ【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质得知，内错角相等，再根据三角形外角的性质，即可得出结论．【详解】∵a∥b，∴∠1=∠α．∵∠2=180°－∠1，∴∠2=180°－∠α．∵∠β=∠2+∠γ，∴∠β=180°－∠α+∠γ，∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．故选A．【点睛】本题考查了三角形内角与外角的关系、平行线的性质，正确利用平行线的性质分析是解题的关键．6. 如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C的度数为（       ）A. 40° B. 41° C. 32° D. 36°【答案】D【解析】【分析】如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=108°，推出2∠DAO+2∠FBO=98°，推出∠DAO+∠FBO=49°，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接AO、BO．由题意得：EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°．∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO．∵∠CDO+∠CFO=108°，∴2∠DAO+2∠FBO=108°，∴∠DAO+∠FBO=54°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=144°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣144°=36°．故选D．【点睛】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．二、填空题7. 比较大小：_______（填＝、＞或＜）．【答案】【解析】【分析】把两个数转化为相同的指数，再比较底数的大小即可．【详解】解：，，，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，解题的关键是把两个数的指数转为相等．8. 若，则= ___________．【答案】18【解析】【分析】利用积的乘方和幂的乘方法则对已知条件进行整理，即可求得x的值．【详解】解：∵，∴，即，∴x＝18．故答案为：18．【点睛】本题主要考查逆用积的乘方和幂的乘方，，．9. 已知a、b、c是一个三角形三条边长，则化简|a－b＋c|－|a－b－c|＝_________【答案】##【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．【详解】解：根据三角形的三边关系，得a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0．∴|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）－[﹣（a﹣b﹣c）]＝（a﹣b+c）+（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c+a﹣b﹣c＝2a﹣2b．故答案为：【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系、绝对值的化简、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a﹣b+c，a﹣b﹣c的正负性．10. 若，，则= ________．【答案】225【解析】【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：当，时，，故答案为：225．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，，，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．【答案】##40度【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：的角平分线与的外角平分线相交于点，，在四边形中，，，由三角形的外角性质得：故答案为：．【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握四边形的内角和是解题关键．12. 如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=___________．【答案】180°【解析】【详解】解：过E作AB,DC的平行线EF，，∠1+∠2+∠3=180°.13. 如图，已知∠1＝60°，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝　____．【答案】240°【解析】【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知∠B＋∠D＋∠C＋∠E＝180°－60°＝120°，根据三角形内角和可知∠A＋∠F＝120°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝120°＋120°＝240°．【详解】解：∵∠3＝∠B＋∠D，∠2＝∠C＋∠E，∠2＋∠3＝180°－60°＝120°，
∴∠B＋∠D＋∠C＋∠E＝180°－60°＝120°，
∵∠A＋∠F＝120°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝120°＋120°＝240°．
故答案240°．【点睛】本题考查三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．14. 如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABC的面积为12，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为________．                   【答案】4【解析】【分析】根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，然后结合图形来求四边形MCNO的面积．【详解】解：∵△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABC的面积为12，∴．又∵△BOM的面积为2，∴．故答案是：4．【点睛】本题考查了三角形的面积．解答该题时，需要利用“数形结合”是数学思想．15. 在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A=50°，则∠BOC= __________【答案】130°或50°【解析】【分析】分两种情况：①△ABC是锐角三角形时，根据四边形的内角和等于360°求出∠DOE，再根据对顶角相等解答；②△ABC是钝角三角形时，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝∠A即可得解．【详解】解：分两种情况：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE高，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∴∠DOE＝360°−∠A−∠ADO−∠AEO＝360°−50°−90°−90°＝130°，∴∠BOC＝∠DOE＝130°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是高，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∴∠A＋∠ACE＝90°，∠BOC＋∠DCO＝90°，∵∠ACE＝∠DCO，∴∠BOC＝∠A＝50°，综上所述，∠BOC为130°或50°．故答案为：130°或50°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，三角形的高线等，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．16. 如图，ADBC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为_______°【答案】100°##100度【解析】【分析】∠BEG=∠FEG-∠FEB=，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，，AD∥BC，∠D=∠ABC，得到ABCD，由平行线的性质和邻补角的定义即可求解．【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，∵ADBC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴ABCD，∵∠BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，∵ABCD，∴∠CEH=∠FAE=80°，∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．故答案为：100°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本题关键是用有关α，β的等式表示出△AEF内角和为180°，题目难度较大．三、解答题17. （1）（2）【答案】（1）0；（2）【解析】【分析】（1）首先把化成，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可；（2）可化成，1.5可以化作，再根据，负数的偶次幂为正计算即可．【详解】（1）原式（2）原式【点睛】本题考查了同底数幂，乘方的运算，仔细观察题目，化简底数是解题的关键．18. （1）已知，求x的值； （2）已知，求x的值．【答案】（1）x＝4；（2）x＝3．【解析】【分析】（1）利用积的乘方的法则对已知条件进行整理，从而可求x的值；（2）利用同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，即，∴x＋1＝2x−3，解得：x＝4；（2）∵，∴，，∴x＝3．【点睛】本题主要考查逆用积的乘方，逆用同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．19. 先化简，再求值：，其中【答案】，-37【解析】【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则先计算乘方，然后算乘法，再算加法，结合绝对值和偶次幂的非负性确定a和b的值，从而代入求值．【详解】解：原式＝∵，且，，∴，b−2＝0，解得：，b＝2，∴原式．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．20. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是________（4）△ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积为________（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有______个（注：格点指网格线的交点）【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）平行且相等；（4）12；（5）9【解析】【分析】（1）利用网格特点和平移的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；（2）找出线段A′C′的中点E′，连接B′E′；（3）根据平移的性质求解；（4）由于线段AB扫过的部分为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式可求解．（5）根据同底等高面积相等可知共有9个点.【详解】（1）△A′B′C′如图所示；（2）B′D′如图所示；（3）BB′∥CC′，BB′=CC′；（4）线段AB扫过的面积=4×3=12；（5）有9个点.【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以(2，8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）=（3，15）成立．证明如下：设（3，3）=m，（3，5）= n，则，故，则（3，15）=m+n，即（3，3）+（3，5）=（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（5，125）=______；（____，16）=4．（2）计算（5，2）+（5，7）=_________，并说明理由．（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意自然数n都成立．【答案】（1）3，2；    （2）（5，14）；理由见解析    （3）说明见解析【解析】【分析】（1）由于＝125，＝16，根据“雅对”的定义可得（5，125）＝3，（2，16）＝4；（2）设（5，2）＝m，（5，7）＝n，利用新定义得到＝2，＝7，根据同底数幂的乘法得到＝14，然后根据“雅对”的定义得到（5，14）＝m+n，从而得到（5，2）+（5，7）＝（5，14）；（3）设：＝a，（2，3）＝b，利用新定义得到＝，＝3，根据幂的乘方得到＝，从而得到a＝b，所以，对于任意自然数n都成立．【小问1详解】解：∵＝125，∴（5，125）＝3；∵＝16，∴（2，16）＝4；故答案为：3，2；【小问2详解】（5，2）+（5，7）＝（5，14）；理由如下：设（5，2）＝m，（5，7）＝n，则＝2，＝7，∴＝2×7＝14，∴（5，14）＝m+n，∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）；故答案为：（5，14）；【小问3详解】设＝a，（2，3）＝b，∴＝，＝3，∴＝，即＝，∴an＝bn，∴a＝b，即，对于任意自然数n都成立．【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．22. 已知如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】2∠P＝∠B＋∠D，理由见解析【解析】【分析】根据“8字形”可得∠OAB＋∠B＝∠OCD＋∠D，∠EAP＋∠P＝∠ECD＋∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠EAP，∠OCD＝2∠ECD，整理可得结论．【详解】解：2∠P＝∠B＋∠D，理由：如图，AD与CP相交于点E，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB＋∠B＝∠OCD＋∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠EAP＋∠P＝∠ECD＋∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠OAB＝2∠EAP，∠OCD＝2∠ECD，∴2∠P－∠B＝2∠D－∠D，整理得，2∠P＝∠B＋∠D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．23. 如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补.(1)说明：∠1=∠2.(2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数.【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=80°．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到，根据平行线的判定定理可得,根据平行线的性质得出,求出，然后 根据等量代换即可得到结论．（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可求解．【详解】（1）∵∠BHC=∠FHD，∠GFH+∠BHC=180°，∴∠GFH+∠FHD=180°，∴FG∥BD，∴∠1=∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠ABD，∴∠1=∠2；（2）∵∠A=80°，FG⊥AC，∴∠1=90°–80°=10°，∴∠2=∠1=10°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=20°，∴∠ACB=180°–∠A–∠ABC=80°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，对顶角相等的应用，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．24. 已知，在三角形ABC中，点D在BC上，DE⊥AB于E，点F在AB上，在CF的延长线上取一点G，连接AG.(1)如图1,若∠GAB=∠B,∠GAC+∠EDB=180°，求证：AB⊥AC.(2)如图2.在(1)的条件下,∠GAC的平分线交CG于点M,∠ACB的平分线交AB于点N,当∠AMC−∠ANC=35°时，求∠AGC的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【解析】【分析】（1）根据平行线的判定和性质可得∠GAC+∠ACB=180°，根据等量关系可得∠EDB=∠ACB，根据平行线的判定和性质可得AB⊥AC．（2）根据余角的性质可得∠MAB=∠ACN，根据三角形外角的性质、角平分线的性质和平行线的性质可得∠AGC的度数．【详解】(1)∵∠GAB=∠B，∴GA∥BC，∴∠GAC+∠ACB=180°，∵∠GAC+∠EDB=180°，∴∠EDB=∠ACB，∴ED∥AC，∵DE⊥AB，∴AB⊥AC.(2)∵∠GAC的平分线交CG于点M，∠ACB的平分线交AB于点N，∴∠ACN+∠MAC=×180°=90°，∵∠MAB+∠MAC=∠ACN+∠MAC=90°，∴∠MAB=∠ACN=∠NCB，∵∠AMC−∠ANC=35°，∴∠BAM+∠NCG=∠BCG=35°，∵GA∥BC，∴∠AGC=35°.【点睛】此题考查三角形内角和定理，平行线的判定与性质，解题关键在于得到∠GAC+∠ACB=180°25. 好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列3个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，BI，DC的延长线交于点E．（1）若∠BAC=50°，求∠BIC；（2）若（0<x<90°），则当∠ABE等于多少度(用含的代数式表示)时，，并说明理由；（3）若∠D=3∠E，求∠BAC的度数．【答案】（1）    （2），理由见解析    （3）【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）根据角平分线的性质可得∠BIC==90°+∠BAC，即可求解；（2）根据平分线的性质可得∠ACE=∠A=x°，根据角平分线的性质以及平角的定义，可得∠ACB=180°-∠ACG=（180-2x）°；（3）设∠ABE=∠EBG=x，∠ACE=∠ECG=y，根据三角形外角的性质列出二元一次方程组，可得∠A=2∠E，求出∠E即可解决问题．【小问1详解】解：∵点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠BAC=115°．【小问2详解】当∠ACB等于（180-2x）°时，CEAB．理由如下：∵CEAB，∴∠ACE=∠A=x°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG=2∠ACE=2x°，∴∠ACB=180°-∠ACG=（180-2x）°．【小问3详解】由题意知：∠ABC=2∠CBE，∠CBM=2∠CBD，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠DBE=90°，∴△BDE是直角三角形，∠D+∠E=90°若∠D=3∠E时，∠E=22.5°，设∠ABE=∠EBG=x，∠ACE=∠ECG=y，得∠A=2∠E=45°．【点睛】本题考查了三角形的内角、角平分线的定义，三角形外角的性质，运用三角形内角和定理，角平分线性质转换角是解题的关键．26. —副三角板如图1摆放，，，，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．（1）当________时，；当________时，； （2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数； （3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）30，60；（2）∠APD的度数为60°或105°或150°；（3）=，理由见解析．【解析】【分析】（1）当∠AFD=30°时，AC//DF，依据角平分线的定义可得∠CAF=∠FAB=30°，然后根据平行线的判定定理可证AC//DF；当∠AFD=60°时，DF⊥AB，根据三角形的内角和定理即可证明；（2）分为∠FAP=∠AFP，∠AFP=∠APF，∠APF=∠FAP三种情况求解即可;（3）先依据证明∠FNM=30°+∠BMN，然后根据三角形外角的性质以及∠AFM和∠BMN的关系可证∠FMN=30°+∠BMN，最后运用等量代换即可说明．【详解】解：（1）如图1所示：当∠AFD=30°时，AC//DF理由如下：∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB∴∠CAF=30"∵∠AFD=30°∴∠CAF=∠AFD∴AC//DF；如图2所示：当∠AFD=60°时，DF⊥AB理由如下：∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB∴∠FAG=30°∵∠AFD=60°∴∠FGA=180°-∠AFD -∠FAG =90°∴DF⊥AB；故答案为：30，60．（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠FAG CAB.∴∠FAP=30°当图3所示：当∠FAF=∠AFP=30°时，∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°；如图4所示：当∠AFP=∠APF时.∵∠FAP=30°，∠AFP=∠APF∴∠AFP=∠APF=（180°-30°）=75°∴∠APD=∠FAP+ ∠AFP=30°+75°=105°；如图5所示：当∠APF=∠FAP=30°时.∠APD=180°-30°=150°综上所述，∠APD的度数为60°或105°或150°；（3）∠FMN=∠FNM，理由如下：如图6所示：∵∠FNM是△BMN的一个外角∴∠FNM=∠B+∠BMN∵∠B=30°∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN∵∠BMF是△AFM的一个外角∴∠BMF=∠MAF+∠AFM，即∠BMN+ ∠FMN=∠MAF+∠AFM又∵∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN∴∠FMN=30°+∠BMN∴∠FNM=∠FMN．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平行线的判定定理、角形的外角的性质等知识点，掌握并灵活应用相关知识是解答本题的关键．