中考数学二轮复习专题《等腰三角形探究》练习(含答案)

这是一份中考数学二轮复习专题《等腰三角形探究》练习(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮复习专题《等腰三角形探究》练习一              、选择题1.已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(　　)A.3条       B.4条       C.5条         D.6条2.如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON.有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是(　　)A.①②      B.①③      C.②③          D.①②③3.点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为(　　)A.1         B.4         C.7         D.104.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(　 　)A.4         B.5          C. 6          D.75.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为(      )平方厘米A.50                                   B.50或40    C.50或40或30                                   D.50或30或206.如图，抛物线y=x2－2x－3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P.若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为(     )A.1＋     B.1－     C.－1      D.1－或1＋7.已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（     ）A．3个          B．4个            C．5个              D．6个8.如图1，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s.若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t之间的函数图象如图2所示.给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm2；③14＜t＜22时，y＝110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤当△BPQ与△BEA相似时，t＝14.5.其中正确结论的序号是(　　)A.①④⑤        B.①②④        C.①③④        D.①③⑤ 二              、填空题9.有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为           .10.如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是          .11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是            ．12.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为    ．13.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______.14.如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：①D′B的最小值为3；②当DE＝时，△ABD′是等腰三角形；③当DE＝2时，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形.其中正确的有           .(填上你认为正确结论的序号)三              、解答题15.数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数.(答案：35°)例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数，(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.   16.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.(1)如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形.     17.如图，直线y＝2x－6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(4，2)，与x轴交于点B.(1)求k的值及点B的坐标；(2)当x________时，2x－6＞(k＞0)；(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，且AC＝AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.      18.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB=   °．（2）如图,在△ABC中,AC=2,BC=，CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长．    19.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣3的图象与x轴交于点A(1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值.(3)如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标.
参考答案1.B2.D3.D.4.C.5.C6.A7.A．8.D.9.答案为：20或20.10.答案为：5或4或5.11.答案为：110°或80°．12.答案为：113°或92°．13.答案为：8或.14.答案为：①②④.15.解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°﹣∠A)÷2＝50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×80°＝20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°；故∠B＝50°或20°或80°；(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝()°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180﹣2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数.综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数.16.解：(1)根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠C＝90°，∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°.(2)∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD， AE＝DE，∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，分类如下：①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，由∠CDE＝∠DEB＋∠B，得45°＋22.5°＋x＝4x，解得：x＝22.5°.此时∠B＝2x＝45°；见图形(1)，说明：图中AD应平分∠CAB.②当BD＝BE时，则∠B＝(180°﹣4x)°，由∠CDE＝∠DEB＋∠B得：45°＋22.5°＋x＝2x＋180°﹣4x，解得x＝37.5°，此时∠B＝(180﹣4x)°＝30°.图形(2)说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°.③DE＝BE时，则∠B＝()°，由∠CDE＝∠DEB＋∠B得，45°＋22.5°＋x＝2x＋，此方程无解.∴DE＝BE不成立.综上所述∠B＝45°或30°.17.解：(1)∵反比例函数y＝(k＞0)的图象过点A(4，2)，∴2＝，解得k＝8.∵直线y＝2x－6与x轴交于点B，∴当y＝0时，2x－6＝0，解得x＝3.∴点B的坐标为(3，0).(2)由图象可知，当x＞4时，2x－6＞(k＞0).(3)设点C的坐标为(x，0)，∵AC＝AB，∴AC2＝AB2.∴(x－4)2＋(0－2)2＝(4－3)2＋(2－0)2.即x2－8x＋15＝0，解得x1＝3，x2＝5，即点C的坐标为(3，0)或(5，0).又∵当点C坐标为(3，0)时，与点B重合，不能形成△ABC，故舍去.∴在x轴上存在点C，使得△ABC为等腰三角形，且AC＝AB，点C的坐标为(5，0).18.解：（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==19.解：(1)将A(1，0)和B(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3得：，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2＋4x﹣3；(2)连接BC交直线DE于M′，如答图1：抛物线的解析式y＝﹣x2＋4x﹣3中令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝1或3，∴C(0，﹣3)，A(1，0)，B(3，0)，且顶点D(2，1)，对称轴x＝2，∴AC＝，BC＝3，△AMC的周长最小，即是AM＋CM最小，而M在对称轴上，∴AM＝BM，AM＋CM最小就是BM＋CM最小，此时M与M′重合，AM＋CM最小值即是BC的长度即AM＋CM最小值为3，∴△AMC的周长最小为3＋，设直线BC解析式为y＝kx＋n，将C(0，﹣3)，B(3，0)代入得：，解得，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，令x＝2得y＝1，∴M(2，1)；(3)设P(m，0)，∵过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，∴F(m，﹣m2＋4m﹣3)，G(m，m﹣3)，而C(0，﹣3)，∴CF2＝m2＋(﹣m2＋4m)2，CG2＝m2＋m2＝2m2，FG2＝(﹣m2＋3m)2，△FCG是等腰三角形，分三种情况：①CF＝CG时，m2＋(﹣m2＋4m)2＝2m2，解得m＝0或m＝3或m＝5，m＝0时F、G与C重合，舍去；m＝3时，F、G与B重合，舍去，∴m＝5，P(5，0)，②CF＝FG时，m2＋(﹣m2＋4m)2＝(﹣m2＋3m)2，解得m＝0(舍去)或m＝4，∴P(4，0)，③CG＝FG时，2m2＝(﹣m2＋3m)2，解得m＝0(舍去)或m＝3﹣或m＝3＋，∴P(3﹣，0)或P(3＋，0)，总上所述，△FCG是等腰三角形，P的坐标是：(5，0)或(4，0)或(3﹣，0)或(3＋，0).