2022-2023学年浙江省杭州市八年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市八年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市八年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 点关于轴的对称点在（ ）．
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列判断正确的是（ ）．
A. 有一直角边相等的两个直角三角形全等 B. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C. 腰相等两个等腰三角形全等 D. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
3. 已知△ABC中，，则它的三条边之比为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A. 全等三角形对应角相等 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C. 一个三角形中，等角对等边 D. 两直线平行，同位角相等
5. 没有等式组无解，取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知是等边三角形一个内角，是顶角为的等腰三角形的一个底角，是等腰直角三角形的一个底角，则（ ）．
A. B. C. D.
7. 等腰的周长为，则其腰长的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知没有等式组只有一个整数解，则的取值范围一定只能为（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. 已知中，，．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点），设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（ ）．

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知点的坐标为，则点到轴的距离为__________．
12. 等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角度数是__________．
13. 没有等式的正整数解为__________．
14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为__________．

15. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，连接，若以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点坐标为__________．

16. 如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，交于点，若，，当是直角三角形时，则的长为__________．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 解下列没有等式（组）．
（）．
（）．
18. 求证：三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等．

19. 健身运动已成为时尚，某公司计划组装、两种型号的健身器材共套，捐给社区健身．组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个，组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个．公司现有甲种部件个，乙种部件个．
（）公司在组装、两种型号的健身器材时，共有多少种组装？
（）组装一套型健身器材需费用元，组装一套型健身器材需费用元，求总组装费用至少的组装，并求出至少组装费用？
20. 如图，，平分，，，求的面积．

21. 如图，平分，平分，和交于点，为的中点，连结．

（）找出图中所有等腰三角形．
（）若，，求的长．
22. 如图，等边△ABC中， AO是∠BAC的角平分线， D为 AO上一点，以 CD为一边且在 CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE．
（2）延长BE至Q， P为BQ上一点，连接 CP、CQ使 CP=CQ=5，若 BC=6，求PQ的长．

23. 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（）在轴上是否存在点，使为等腰三角形，求出点坐标．
（）在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出并请直接写出点的坐标．

2022-2023学年浙江省杭州市八年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 点关于轴的对称点在（ ）．
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C

【详解】∵点P（-5，8）在第二象限，
∴点P关于x 的对称点在第三象限.
故选C.
2. 下列判断正确是（ ）．
A. 有一直角边相等的两个直角三角形全等 B. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C. 腰相等的两个等腰三角形全等 D. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
【正确答案】B

【详解】A选项中，因为一条直角边相等时，另两条边的大小关系并没有确定，所以没有能确定两三角形是否全等，所以A中说法错误；
B选项中，斜边相等的两个等腰直角三角形全等，因为此时两直角边一定相等，所以B中说确；
C选项中，腰相等的两个等腰三角形的顶角没有一定相等，因此没有能确定这样的等腰三角形全等，所以C中说法错误；
D选项中，两个锐角对应相等的两个直角三角形没有一定全等，因为两三角形全等至少要有一条边对应相等，所以D中说法错误．
故选B．
3. 已知△ABC中，，则它的三条边之比为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．
【详解】

∴
则三边之比为1：：2，
故选B.
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算三角形边的比．

4. 下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A. 全等三角形对应角相等 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C. 一个三角形中，等角对等边 D. 两直线平行，同位角相等
【正确答案】A

【详解】A选项中，因为“对应角相等没有一定全等三角形”，所以A中定理没有有逆定理；
B选项中，因为“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，所以B中定理有逆定理；
C选项中，因为“在同一个三角形中，等边对等角”，所以C中定理有逆定理；
D选项中，因为“同位角相等，两直线平行”，所以D中定理有逆定理．
故选A．
5. 没有等式组无解，的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】∵ 没有等式组无解，
∴的取值范围为．
故选．
6. 已知是等边三角形的一个内角，是顶角为的等腰三角形的一个底角，是等腰直角三角形的一个底角，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】∵是等边三角形的一个内角，
∴；
∵是顶角为的等腰三角形的一个底角，
∴；
∵是等腰直角三角形的一个底角，
∴；
∴．
故选B．
7. 等腰的周长为，则其腰长的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】设腰长为，则底边长为，由三角形三边间的关系定理可得：
，解得：．
故选C．
点睛：任何一个三角形中，三边间都必须满足：（1）任意两边的和大于第三边；（2）任意两边的差小于第三边.
8. 已知没有等式组只有一个整数解，则的取值范围一定只能为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵没有等式组只有一个整数解，
∴此整数解为，
∴．
故选C．
9. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【正确答案】C

【详解】试题分析：根据含30°角所对的直角边等于斜边一半，然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于30°，从而判断出答案．
试题解析：设正方形的边长为a，

在图①中，CE=ED=a，BC=DB=a，
故∠EBC=∠CEB≠30°，故△ECB，故没有能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图②中，BC=a，AC=AE=a，
故∠BAC=30°，
从而可得∠CAD=∠EAD=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图③中，AC=a，AB=a，
故∠ABC=∠DBC≠30°，故没有能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图④中，AE=a，AB=AD=a，
故∠ABE=30°，∠EAB=60°，
从而可得∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=30°，故能满足它一条直角边等于斜边的一半．
综上可得有2个满足条件．
故选C．
考点：翻折变换（折叠问题）．
10. 已知中，，．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点），设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（ ）．

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【正确答案】B

【详解】（1）当点D与C重合时，
∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），
∴此时△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，
∴EF=DE，
∴△EDF为等腰三角形．
（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，
∵AC=BC，AF=DF（即BF），
∴此时EF=AB=DF（即BF），
∴△DEF是等腰三角形；
（3）当点D移动到使DE=DF位置时，△DEF是等腰三角形．
综上所述，当△DEF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.
故选B.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知点的坐标为，则点到轴的距离为__________．
【正确答案】4

【详解】∵点P的坐标为（4，-2），
∴点P到轴的距离为4.
点睛：点P到轴的距离=，点P到轴的距离=.
12. 等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角度数是__________．
【正确答案】或

【详解】（1）当30°的角为顶角时，这个等腰三角形的顶角度数为30°；
（2）当30°的角为底角时，这个等腰三角形的顶角度数为：180°-30°-30°=120°.
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为30°或120°.
点睛：在已知等腰三角形的一个内角度数，求顶角时，存在两种情况：（1）若这个已知角是锐角，则这个角既可以是顶角，也可以是底角，此时需分两种情况讨论；（2）若这个角是直角或钝角，则这个角只能是顶角.
13. 没有等式的正整数解为__________．
【正确答案】1

【详解】解没有等式，得：，
∵小于2的正整数只有1，
∴没有等式的正整数解为：1.
14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为__________．

【正确答案】7.2

【详解】∵为的中点，，
∴，
在中，，
又∵翻折前后三角形全等，
∴，，
∴△为等腰三角形，
如下图，过点作，交于点，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即．
∴，
又∵为等腰三角形，
∴．

15. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，连接，若以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点坐标为__________．

【正确答案】，，，，，

【详解】∵A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2）
∴OA=4，OB=2.
（1）如图，当∠APB=90°时，作PE⊥OA于点E，
易证△APE≌△BPD，则PD=PE=OE=OD，AE=BD，
设PD=，
则，解得：，
∴此时点P的坐标为（-3，3）；
同理可得：点P1的坐标为（-1，-1）.

（2）如图2，当∠ABP=90°时，作PD⊥OB于点D，
易证△ABO≌△BPD，则PD=OB=2，BD=AO=4，
∴OD=OB+BD=6，
∴点P的坐标为（-2，6）.
同理可得P2的坐标为（2，-2）.

（3）如图3，过点P作PD⊥OA于点D，
易证△PDA≌△AOB，则AD=BO=2，PD=AO=4，
∴OD=AD+OA=6，
∴点P坐标为（-6，4）.
同理可得点P3的坐标为（-2，-4）.

综上所述，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为：（-3，3）、（-1，-1）、（-2，6）、（2，-2）、（-6，4）和（-2，-4）.
16. 如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，交于点，若，，当是直角三角形时，则的长为__________．

【正确答案】或

【详解】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中： ，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE.
①如图，当∠CFE=90°时，AF⊥DE，
∴AF=EF=AE=，
∴CF=AC-AF=5-3=2，
∴在Rt△CEF中，CE=，
∴BD=CE=.

②如图：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，
∴点B、D、F三点共线，
过点A作AG⊥DE于点G，
则AG=DG=AD=，
∴在Rt△ABG中，BG=，
∴BD=BG-DG=4-3=1.

综上所述，BD=或.
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 解下列没有等式（组）．
（）．
（）．
【正确答案】（）;（）．

【详解】试题分析：
（1）按解一元没有等式的一般步骤解答即可；
（2）先分别求出两个没有等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可得到没有等式组的解集.
试题解析
（），
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：．
（），
解没有等式①得：，
解没有等式②得：．
∴没有等式组的解集为：．
18. 求证：三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等．

【正确答案】证明见解析.

【分析】（1）首先根据题意画出符合要求的图形，待证“命题”的题设和结论改写出“已知”和“求证”事项；
（2）根据改写出的“已知”和“求证”图形分析证明即可；
【详解】（1）已知：如图，△ABC中，AD是中线，BF⊥AD交AD的延长线于点F，CE⊥AD于点E，
求证：BF=CE.

（2）证明：如图，作BF⊥AD于点F，作CE⊥AD于点E，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵于点，于点，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在与中，
，
∴≌，
∴．
即三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在直线的距离相等．

证明这类“文字命题”时，需完成下列步骤：（1）先根据题意画出符合要求的图形，图形和“命题”的题设、结论，改写出“已知”和“求证”；（2）再根据改写的“已知”和“求证”，分析完成证明，得出结论.
19. 健身运动已成为时尚，某公司计划组装、两种型号的健身器材共套，捐给社区健身．组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个，组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个．公司现有甲种部件个，乙种部件个．
（）公司在组装、两种型号的健身器材时，共有多少种组装？
（）组装一套型健身器材需费用元，组装一套型健身器材需费用元，求总组装费用至少的组装，并求出至少组装费用？
【正确答案】（）共种．（）A26套，B14套时，花费至少，为772元．

【详解】试题分析：
（1）设公司组装A型号健身器材套，则组装B型号健身器材套，由此可分别表达出所需的甲种部件的总数和乙种部件的总数，根据甲种部件总数没有超过236、乙种部件没有超过188，即可列出没有等式组，解没有等式组求得其正整数解的个数即可得到答案；
（2）根据（1）中所得，分别计算出每种所需组装费进行比较即可得到费用至少的.
试题解析：
（）设公司组第套型号健身器材，则组装套型号健身器材．
，
解①得，
解②得．
∴．
又∵只能取整数，
∴或或或，
∴共有种组装，见下表：
A
26
27
28
29
B
14
13
12
11
（）解：第①种花费（元），
第②种花费（元），
第③种花费（元），
第④种花费（元）．
综上上述，第①种花费至少．
答： 套， 套时，花费至少，至少为元．
20. 如图，，平分，，，求的面积．

【正确答案】1.5

【详解】试题分析：
如图，过D点作DE⊥AB交AB于点E，由已知条件可证△AED≌△ACD，从而可得DE=DC=，AE=AC；在Rt△BDE中，先求得BD，再由勾股定理可求得BE，设AE=，则AC=，同时可由AB=AE+BE表达出AB，在Rt△ABC中由勾股定理可建立关于“”的方程，解方程即可求得“”的值，从而可得AC的长，由AC和BC的长即可求出△ABC的面积了.
试题解析：
过点作交于点，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴≌，
∴，．
∵，，
∴，
在中，，
设，则，
在中，
，
，
．
则．

21. 如图，平分，平分，和交于点，为的中点，连结．

（）找出图中所有的等腰三角形．
（）若，，求的长．
【正确答案】（）所有的等腰三角形有：，，，;（）．

【详解】试题分析：
（1）由AB∥CD，AC平分∠BAD可得∠C=∠BAC=∠DAC，从而可得AD=CD，得到△ADC是等腰三角形；同理可△ABD是等腰三角形；证∠AED=90°，点F是AD中点，可得EF=FD=FA，从而可得△DEF和△AEF是等腰三角形；即图中共有4个等腰三角形；
（2）由∠AED=90°，AE=4，DE=3，由勾股定理可得AD=5，点F是AD中点，可得EF=AD=2.5.
试题解析：
（）图中等腰三角形共有4个，分别是：，，，．理由如下：
∵AB∥CD，AC平分∠BAD，
∴∠C=∠BAC，∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠DAC，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形；
同理可得：△ABD是等腰三角形；
∵BD平分∠ADC，AD=CD，
∴BD⊥AC，
∴∠AED=90°，
又∵点F是AD的中点，
∴EF=AF=DF，
∴△AEF和△DEF是等腰三角形；
综上所述，图中共有四个等腰三角形，分别是：△ADC、△ABD、△AEF和△DEF；

（）∵∠AED=90°，AE=4，DE=3，
∴AD=，
又∵点F是AD的中点，
∴EF=AD=.
22. 如图，等边△ABC中， AO是∠BAC的角平分线， D为 AO上一点，以 CD为一边且在 CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE．
（2）延长BE至Q， P为BQ上一点，连接 CP、CQ使 CP=CQ=5，若 BC=6，求PQ的长．

【正确答案】（1）详见解析；（2）PQ=8.

【分析】（1）根据等边三角形得∠ACD=∠BCE,即可证明△ACD≌△BCE（SAS）,
（2）过C作CH⊥BQ ，垂足为 H，由角平分线得到∠CAD= ∠BAC=30°,通过（1）得∠CAD=∠CBH=30°,根据30°角所对直角边等于斜边一半求出CH=3,勾股定理得HQ=4,三线合一性质即可求出PQ=8.
【详解】（1）证明：∵△ABC，△CDE 均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，即∠ACD=∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AO平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠BAC=30°．
如下图，过C点作CH⊥BQ ，垂足为 H，

由（1）知△ACD≌△BCE ，
则∠CAD=∠CBH=30°，
∴CH=BC=3 ，
∴在Rt△CHQ 中，由CQ=5，根据勾股定理可得HQ=4，
又∵CP=CQ，CH⊥PQ，
∴PH=HQ（三线合一）
∴ PQ=8．
本题主要考查三角形的证明，包括直角三角形,等腰三角形的性质,勾股定理，中等难度,熟悉三角形的性质是解题关键．
23. 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（）在轴上是否存在点，使为等腰三角形，求出点坐标．
（）在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出并请直接写出点的坐标．
【正确答案】（），，，;（）作图见解析,点的坐标为或．

【详解】试题分析：
（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC为半径作圆交轴于点P1、P2、P3，作BC的垂直平分线交轴于点P4，这4个点为所求点，已知条件求出它们的坐标即可；
（2）如图2，根据成轴对称的两个三角形全等，作出点C关于直线AB的对称点D，连接BD、AD，所得△ABD为所求三角形；再作出点D关于直线的对称点D1，连接AD1、BD1，所得△ABD1也是所求三角形；即有两个符合要求的三角形；
试题解析：
（）如图1，∵点B、C的坐标分别为（0，2）、（1，0），
∴BC=.
分别以点B、C为圆心，BC为半径作圆交轴于点P1、P2、P3，
则OP1=OB+BP1=OB+BC=，OP2=BP2-OB=BC-OB=，OP3=OB=2；
设OP4=，则BP4=CP4=，在Rt△OCP4中，由勾股定理可得：，解得：，即OP4=；
∴①△P1BC是等腰三角形，BP1=BC，此时点P的坐标为；
②△P2BC是等腰三角形，BP2=BC，此时点P的坐标为；
③△P3BC是等腰三角形，P3C=BC，此时点P的坐标为；
④△P4BC是等腰三角形，BP4=CP4，此时点P的坐标为.

（）如图2，设点关于直线的对称点，则≌，
设过点，的直线的解析式为．
则，
∴，
∴．
∴直线的解析式为．
由，
解得，
∴点．
∵，
∴，
根据对称性，点关于直线的对称点D1也满足条件．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．

点睛：（1）解第1小题时，通常是先通过作图找到所有符合条件的点，然后再已知条件去求这些点的坐标；（2）解第2小题时，由于△DAB和△CAB有公共边AB，它们又全等，因此两者存在对称关系，这样利用对称性就可找到符合条件的D点，再已知条件即可求出点D的坐标；（3）点P关于直线的对称点的坐标是.











2022-2023学年浙江省杭州市八年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1. 给出下面个式子：①；②；③；④；⑤，其中没有等式有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 下列各组数中，没有可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，6，12 D. 6，8，10
3. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3
4. 如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　

A B. C. D.
5. 如图，已知的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是（ ）

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙
6. 已知下列命题：
①若，则； ②若，则；
③有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等；④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中是真命题的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，小巷左右两侧是竖直墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置没有动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）

A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米
8. 在中，点，分别在边，上，点，在边上，已知，，，，则的度数（ ）．

A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 条件没有足，无法计算
9. 如图，为等边内一点，，，，则度数为（ ）．

A B. C. D.
10. 如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）

A. ①③ B. ②③
C. ①② D. ①②③
二、认真填一填（每小题4分，共24分）
11. 请写出一个解集为的没有等式__________．
12. 命题“相等的角是对顶角”的逆命题是_____________________________．
13. 如图，在锐角中，，，分别是，边上的高，且，交于点，则__________度．

14. 如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．

15. 两张完全相同的纸片，每张都分成个完全相同的矩形，放置如图，重合的顶点记作，顶点在另一张纸的分隔线上，若，则的长是__________．

16. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．

三、全面答一答（6+8+8+10+10+12+12，共66分）
17. 解没有等式，并在数轴上表示没有等式的解集．
18. 如图，在中，，．
（）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于．
（）连结，求证：平分．

19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（）画一个三角形，使它的三边长都是有理数．
（）画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
（）画出与成轴对称且与有公共点的格点三角形（画出一个即可）．

20. 如图，和都是等边三角形，点是的边上的一点，连接，．
（）求证：．
（）求、所夹锐角的度数，并写出推理过程．

21. 已知，，为上一点，为上一点，．

（）如果，，那么__________．
（）如果，，那么__________，__________．
（）设，猜想，之间的关系式，并说明理由．
22. 已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，为边的中点，连结、、．

（）猜想的形状，并说明理由．
（）若，，求的面积．
23. 问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点没有重合）

（1）△ABD，△BCE，△CAF否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．










2022-2023学年浙江省杭州市八年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1. 给出下面个式子：①；②；③；④；⑤，其中没有等式有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【正确答案】B

【详解】根据没有等式的定义，只要有没有等符号的式子就是没有等式，
所以①②⑤为没有等式，共有3个．
故选B.
2. 下列各组数中，没有可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，6，12 D. 6，8，10
【正确答案】C

【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】A．∵2＋3>4，∴能组成三角形，故A错误；
B．∵5＋7＞7，∴没有能组成三角形，故B错误；
C．∵5＋6＜12，∴没有能组成三角形，故C正确；
D．∵6＋8>10，∴能组成三角形，故D错误；
故选：C．
本题主要考查了三角形三边关系运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3
【正确答案】B

【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值没有能说明命题为假命题；
在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b没有成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值没有能说明命题为假命题；
在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值没有能说明命题为假命题；
故选B．
考点：命题与定理．
4. 如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】根据题意得：，
，
直线，
，
，
．
故选B.
5. 如图，已知的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是（ ）

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙
【正确答案】B

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【详解】解：图甲没有符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC没有全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选：B．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6. 已知下列命题：
①若，则； ②若，则；
③有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等；④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中是真命题个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【正确答案】A

【详解】∵当b<0时,如果>1，那么a ∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形没有一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题个数是1个，
故选A.
7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置没有动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）

A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米
【正确答案】C

【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选：C．

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度没有变找到斜边是关键.
8. 在中，点，分别在边，上，点，在边上，已知，，，，则的度数（ ）．

A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 条件没有足，无法计算
【正确答案】A

【详解】∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理：．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选．
9. 如图，为等边内一点，，，，则的度数为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】连接CD，


在等边中，．
∵，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
故选．
10. 如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）

A. ①③ B. ②③
C. ①② D. ①②③
【正确答案】C

【分析】根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立．
【详解】解：如图示，连接，


，
是的平分线，

，①正确．


，②正确．
只是过点，并没有固定，明显③没有成立．
故选：．
本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．
二、认真填一填（每小题4分，共24分）
11. 请写出一个解集为的没有等式__________．
【正确答案】答案没有

【详解】或或，答案没有．
12. 命题“相等的角是对顶角”的逆命题是_____________________________．
【正确答案】对顶角相等

【分析】根据“原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设”即可写出一个命题的逆命题．
【详解】解：命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”
故对顶角相等．
本题考查写一个命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解决此题的关键．．
13. 如图，在锐角中，，，分别是，边上的高，且，交于点，则__________度．

【正确答案】

【详解】由题意可得，
∴．
故答案为
14. 如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．

【正确答案】42

【分析】先连接AO，把△ABC变成三个小的三角形，根据等高计算即可．
【详解】解：连接AO，可知AO平分∠BAC，由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即

本题考查了角平分线的性质．
15. 两张完全相同的纸片，每张都分成个完全相同的矩形，放置如图，重合的顶点记作，顶点在另一张纸的分隔线上，若，则的长是__________．

【正确答案】

【详解】设每个小矩形宽为，则，
在中，，
在中，即，
∴，得，
∴．
故答案为．
16. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．

【正确答案】或或5

【详解】解：如图所示：

①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE=AE=；
②当PE=AE=5时，
∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，
∴PB==4，
∴底边AP===；
③当PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5；
故答案为或或5．
三、全面答一答（6+8+8+10+10+12+12，共66分）
17. 解没有等式，并在数轴上表示没有等式解集．
【正确答案】

【详解】试题分析：先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，再把没有等式的解集在数轴上表示出来即可．
试题解析：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
在数轴上表示为：

18. 如图，在中，，．
（）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于．
（）连结，求证：平分．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】试题分析：（1）直接作出AC的垂直平分线得出即可；
（2）利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出即可．
试题解析：（）如图所示：

（）∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
即平分．
19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（）画一个三角形，使它的三边长都是有理数．
（）画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
（）画出与成轴对称且与有公共点的格点三角形（画出一个即可）．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【详解】试题分析：（1）利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；
（2）画一个边长，2，的三角形即可；
（3）依据轴对称性质画图即可．
试题解析析：如图，

（）∵．
∴图中是一个边长为，，的三角形．
（）∵，，
∴直角三角形如图中的甲、乙所示．
（）①当为对称轴时，与关于对称，如图．
②当为对称轴时，与关于对称，如图．
20. 如图，和都是等边三角形，点是的边上的一点，连接，．
（）求证：．
（）求、所夹锐角的度数，并写出推理过程．

【正确答案】（1）见解析；（2）60°

【详解】试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BCE≌△ACD，然后由全等三角形的对应边相等知AD=BE；
（2）延长交于点，由三角形内角和定理得，由全等三角形对应角相等得，即可得出.
试题解析：（）∵，都等边三角形，
∴，，，
在和中，
，
∴≌，
∴．
（）延长交于点，

∵，在和中，
，
∴．
由（）中≌可知，，
∴．
即，所夹锐角的度数为．
21. 已知，，为上一点，为上一点，．

（）如果，，那么__________．
（）如果，，那么__________，__________．
（）设，猜想，之间的关系式，并说明理由．
【正确答案】（1）5°；（2）10°；（3）

【详解】试题分析：（1）先利用等腰三角形的性质求出∠BAC，进而求出∠EDC，即可得出结论；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（3）设，，
在中，和中，利用三角形外角的性质即可求得.
试题解析：（）∵，
∴．
又，
∴．
，，
则，
∴在中，，
在中，，
∵是的外角，
∴即，
∴．
（）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
．
（）猜想：．
证明：设，，
在中，，
在中，，
∴．
22. 已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，为边的中点，连结、、．

（）猜想的形状，并说明理由．
（）若，，求的面积．
【正确答案】（1） 等腰三角形；（2）

【详解】试题分析：（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD=AB，所以△MED为等腰三角形；
（2）由条件知∠EMD=2∠DAC=60°，从而可得等腰三角形DME是边长为2的等边三角形可得到问题答案．
试题解析：（）猜测为等腰三角形，理由如下．
由题意可得，是斜边上的中线，
∴，
是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（）由（）中可得：，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴在等腰中，，
∴是等边三角形，边长为，
∴ ．
点睛：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等边三角形的判定和性质和等边三角形的面积计算，题目综合性很好.
23. 问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点没有重合）

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
【正确答案】(1)见解析；（2）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2

【详解】试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：

∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.