2022-2023学年江苏省扬州市八年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市八年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省扬州市八年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共8题，每小题3分，共24分，请将正确选项填涂在答题卷相应位置上）
1. 下面四个图案中，没有是轴对称图形的是（　 ）

A. A B. B C. C D. D
2. 在实数中，无理数的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 如图，BF=EC，∠B=∠E，请问添加下面哪个条件没有能判断△ABC≌△DEF（　）

A. AC=DF B. AB=ED C. DF∥AC D. ∠A=∠D
4. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是
A. 15cm B. 16cm C. 17cm D. 16cm或17cm
5. 下列各式中，计算正确的是（　　）
A. =4 B. =±5 C. =1 D. =±5
6. 函数y＝﹣2x+3的图象没有的象限是( )
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，∠CAB的平分线交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，则DE的长为（ ）

A. 4 B. 3 C. D.
8. 如图，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB平移至A1B1，连接BB1，AA1，则四边形ABB1A1的面积为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填 空 题（本大题共10题，每题3分，共30分，请将正确答案写在答题卷相应位置上．）
9. 点P(3，-4)关于x轴对称的点的坐标为____________．
10. 计算：=_______．
11. 已知等腰三角形一个角是，则它的底角等于________________．
12. 2017年11月11日，平台成交额1682亿元，用科学记数法表示1682亿并到亿位为_____．
13. 如图，直线与直线交于P，则方程组的解是____．

14. 比较大小：______（填“＞”或“＜”或“=”）．
15. 如图，函数和的图象相交于点A（，3），则没有等式的解集为___________.

16. 已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式+（b﹣3）2=0，则△ABC的形状为_______三角形．
17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=13.5，BC=9，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段CN的长为___________．

18. 若，且A、B是函数图像上两个没有同的点，当时，a的取值范围是______．
三、解 答 题（本大题共10小题，共96分，请将解答过程写在答题卷相应位置上．）
19. （1）求x的值： （2）计算：
20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点、的坐标分别为(，)、(，)．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出关于轴对称的；
（3）写出点的坐标_____；的面积为____．

21. 如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E，

(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
22. 如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？

23. 在直角坐标系中画出函数的图像，并完成下列问题：
（）此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是______；
（）观察图像，当时，y取值范围是______；
（）将直线平移后点，求平移后的直线的函数表达式．
　　
24. 如图，已知函数图像与x轴交于点A，交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）若点C在y轴上，且使得△ABC的面积为12，请求出点C的坐标．
（3）若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

25. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．

26. 对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做、两点间的“转角距离”，记作．
（1）令，O为坐标原点，则＝ ；
（2）已知O为坐标原点，动点满足，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中，画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）设是一个定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的“转角距离”．若到直线的“转角距离”为10，求a的值．

27. 甲、乙两人共同加工一批零件，从工作开始到加工完这批零件，两人恰好同时工作6小时，两人各自加工零件个数y（个）与加工时间x（小时）之间的函数图像如图所示，根据信息回答下列问题：
（）请解释图中点C实际意义；
（）求出甲、乙在整个过程中的函数表达式（并注明自变量的范围）；
（）如果甲、乙两人完成同样数量的零件时，甲比乙少用1小时，那么此时甲、乙两人各自完成多少个零件？

28. 背景资料:
在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA＋PB＋PC的值最小．
解决问题：
（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=　 　；
基本运用：
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；
能力提升：
（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点，
连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．





2022-2023学年江苏省扬州市八年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共8题，每小题3分，共24分，请将正确选项填涂在答题卷相应位置上）
1. 下面四个图案中，没有是轴对称图形的是（　 ）

A. A B. B C. C D. D
【正确答案】B

【详解】A是轴对称图形，没有符合题意；B没有是轴对称图形，符合题意；C是轴对称图形，没有符合题意；D是轴对称图形，没有符合题意，
故选B.
2. 在实数中，无理数的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【分析】根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：在实数 ， ， ，0，π， 中，无理数有：、、π，
故选C．
本题考查无理数的定义，注意带根号的要开没有尽方才是无理数，无限没有循环小数为无理数．
3. 如图，BF=EC，∠B=∠E，请问添加下面哪个条件没有能判断△ABC≌△DEF（　）

A. AC=DF B. AB=ED C. DF∥AC D. ∠A=∠D
【正确答案】A

【详解】因为：BF=EC，则EF=BC, 又因为∠B=∠E，若AB=ED，则构成SAS定理；
若DF∥AC，则 ,构成AAS定理
若∠A=∠D，则构成ASA定理，
若AC=DF，则构成SSA，没有能判断两三角形全等
故选A.
4. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是
A. 15cm B. 16cm C. 17cm D. 16cm或17cm
【正确答案】D

【详解】试题分析：已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分两种情况进行分析．
解：（1）当腰长是5cm时，周长=5+5+6=16cm；
（2）当腰长是6cm时，周长=6+6+5=17cm．
故选D．
考点：等腰三角形的性质．
5. 下列各式中，计算正确的是（　　）
A. =4 B. =±5 C. =1 D. =±5
【正确答案】A

【详解】解：A. =4，正确；
B. =5，故该选项计算错误；
C.=−1，故该选项计算错误；
D. =5，故该选项计算错误；
故选：A．
6. 函数y＝﹣2x+3的图象没有的象限是( )
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵k=-2＜0，
∴函数二四象限；
∵b=3＞0，
∴函数又象限，
∴函数y=-x+3的图象没有第三象限，
故选C．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，∠CAB的平分线交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，则DE的长为（ ）

A. 4 B. 3 C. D.
【正确答案】D

【详解】∵AD是∠CAB平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中， ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=5cm，
由勾股定理得，AB= =13cm，
∴BE=AB-AE=13-5=8cm，
∵BD+CD=BC=12cm，
∴BD=12-DE ，
在Rt△BDE中，由勾股定理有：BD2=DE2+BE2，
即：（12-DE）2=DE2+82，
∴DE=，
故选D．
8. 如图，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB平移至A1B1，连接BB1，AA1，则四边形ABB1A1的面积为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】B

【详解】由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，
连接A1B，则A1B//OA，BA1=3，
所以==3，
故选B.

本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
二、填 空 题（本大题共10题，每题3分，共30分，请将正确答案写在答题卷相应位置上．）
9. 点P(3，-4)关于x轴对称的点的坐标为____________．
【正确答案】（3，4）．

【详解】由平面直角坐标系中关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标没有变，
解：点M（3，-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为（3，4）．
10. 计算：=_______．
【正确答案】4

【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：原式==4．
故答案为4．
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
11. 已知等腰三角形一个角是，则它的底角等于________________．
【正确答案】，

【分析】先确定100°的内角是顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可
【详解】根据三角形的内角和定理，100°的内角是顶角，所以两个底角为： ,
故两个底角为，.
故40°，40°
本题考查了等腰三角形的性质，判断出100°的内角是顶角是解题的关键．
12. 2017年11月11日，平台成交额是1682亿元，用科学记数法表示1682亿并到亿位为_____．
【正确答案】1.682×1011

【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数，
1682=1.682×1011，
故答案为 1.682×1011.
13. 如图，直线与直线交于P，则方程组的解是____．

【正确答案】

【详解】∵直线与直线交于P，
∴方程组的解为：，
故答案为.
14. 比较大小：______（填“＞”或“＜”或“=”）．
【正确答案】>

【详解】∵ ，
，
∴ ，
故答案为>.
15. 如图，函数和图象相交于点A（，3），则没有等式的解集为___________.

【正确答案】x≥1．5

【详解】试题分析：首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，图象写出没有等式2x＞ax+4的解集即可．
解：∵函数y=2x过点A（m，3），
∴2m=3，
解得：m=，
∴A（，3），
∴没有等式2x＞ax+4的解集为x＞．
故答案为x＞．
考点：函数与一元没有等式．
16. 已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式+（b﹣3）2=0，则△ABC的形状为_______三角形．
【正确答案】直角

【分析】试题分析：根据二次根式和偶次方的非负性求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵+（b﹣3）2=0，
∴a﹣4=0，b﹣3=0，
解得：a=4，b=3，
∵c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案直角．
考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=13.5，BC=9，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段CN的长为___________．

【正确答案】6

【详解】由题意可得：CD=BC=×9=4.5，DN=AN，
∵AC=AN+NC，∴DN =AN=AC-CN=13.5-CN，
∵∠C=90°，∴DN2=CN2+CD2，
即：（13.5-CN）2=CN2+4.52，
∴CN=6，
故答案为6.
18. 若，且A、B是函数图像上两个没有同的点，当时，a的取值范围是______．
【正确答案】a<3

【详解】∵m<0，
∴<0，
∴>0，<0或 <0, >0，
即y随着x的增大而减小，
∴a-3<0，
∴a<3，
故答案为a<3.
本题考查了函数的性质的应用，能从m<0确定出a-3<0是解题的关键.
三、解 答 题（本大题共10小题，共96分，请将解答过程写在答题卷相应位置上．）
19. （1）求x的值： （2）计算：
【正确答案】（1）x=±1.5 ；
（2）-1

【详解】试题分析：（1）移项后，根据平方根的定义进行求解即可；
（2）先分别计算立方根、0次幂、算术平方根，然后再按运算顺序进行计算即可.
试题解析：（1）4x2=9，
2x=±3，
x=±1.5；
（2）原式=-2-1+2=-1.
20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点、的坐标分别为(，)、(，)．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出关于轴对称的；
（3）写出点的坐标_____；的面积为____．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）

【分析】（1）根据点C的坐标，向右一个单位，向下1个单位，确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可；
（2）根据网格结构找出A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可，然后根据三角形的面积等于三角形所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）如图所示；

（3）观察图像可知：，

故
本题考查了平面直角坐标系，轴对称变换作图，网格三角形的面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
21. 如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E，

(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【正确答案】(1) 见解析(2) 25°

【分析】（1）主要考查三角形全等的判定方法；
（2）主要考查等腰三角形中的等边对等角以及三角形的内角和．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC．
∵CE⊥BD，∠A=90°，
∴∠A=∠CEB，
在△ABD和△ECB中，
∵∠A=∠CEB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠BCE，
又∵BC=BD
∴△ABD≌△ECB；
（2）解：∵∠DBC=50°，BC=BD，
∴∠EDC=（180°-50°）=65°，
又∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-65°=25°．
22. 如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？

【正确答案】（1）2.4米；（2）1.3m

【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝=（米），
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，
∴1.52＋B′C2＝2.52，
∴B′C＝2（m），
∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
23. 在直角坐标系中画出函数的图像，并完成下列问题：
（）此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是______；
（）观察图像，当时，y的取值范围是______；
（）将直线平移后点，求平移后的直线的函数表达式．
　　
【正确答案】（1）4；（）；（）．

【详解】试题分析：利用“两点确定一条直线”作出函数y=2x-4的图象；
（1）分别求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式进行求解即可；
（2）根据图象可知x=0时，y=-4，x=4时，y=4即可得；
（3）设平移后的函数表达式为y=2x+b，将代入，解得b=7，即可得.
试题解析：（1）令y=0，解得x=2，
∴直线与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，-4），
∴此三角形的面积S==4，
故答案为4；

（）根据图象可知x=0时，y=-4，x=4时，y=4， 所以当时，的取值范围为，
故答案为；
（）设平移后的函数表达式为y=2x+b，将代入，解得b=7，
∴函数解析式为.
24. 如图，已知函数的图像与x轴交于点A，交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）若点C在y轴上，且使得△ABC的面积为12，请求出点C的坐标．
（3）若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【正确答案】（1），点B坐标（0，8）；（2）存在，点C坐标（0，12）或（0,4）；（3）（﹣16，0），（4，0），（6，0），（，0）．

【详解】试题分析：（1）将A坐标代入函数解析式求出m的值，确定出函数解析式，令x=0求出y的值，即可确定出B的坐标；
（2）存在，理由为：设点C坐标为（0，b），表示出BC长，由三角形ABC面积以BC为底，OA为高，根据已知面积求出BC的长，确定出C坐标即可；
（3）若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，分情况由等腰三角形的性质分别求得即可．
试题解析：（1）把点A（﹣6，0）代入，得m=8，∴，
当x=0时，y=8，
∴点B坐标为（0，8）；
（2）存在，设点C坐标为（0，b），∴BC=|8-b|，
∴×6×|8-b|=12，解得b=4或12，∴点C坐标（0，12）或（0,4）；
（3）由题意可得AB=10，
如图，当AB=AP时，点P的坐标为（-16，0）或（4，0）；
当AB=BP时，点P的坐标为（6，0）；
当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得x2+82=（x+6）2，
解得x=，
∴点P的坐标为（，0），
综上所述，点P的坐标为（﹣16，0），（4，0），（6，0），（，0）．

25. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．

【正确答案】（1）证明见解析； （2）48．

【分析】（1）连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）根据BC=20，ED=12，求出DM、DN的长，再根据勾股定理求出MN的长，利用三角形的面积公式进行求解即可得.
【详解】解：（1）连接ME、MD，
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，
∵M是BC的中点，∴DM=BC，同理可得EM=BC，
∴DM=EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；
（2）∵BC=20，ED=12，∴DM=BC=10，DN=DE=6，
由（1）可知∠MND=90°，∴MN===4，
∴S△MDE=DE×MN=×12×8=48．

26. 对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做、两点间的“转角距离”，记作．
（1）令，O为坐标原点，则＝ ；
（2）已知O为坐标原点，动点满足，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中，画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）设是一个定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的“转角距离”．若到直线的“转角距离”为10，求a的值．

【正确答案】（1）7； （2）， 画图见解析；
（3）a的值为4或﹣16．

【详解】试题分析：（1）根据新定义进行求解即可得；
（2）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形即可；
（3）设直线上一点Q（x，x+4），则d（P，Q）=|a﹣x|+|﹣2﹣x﹣4|=10，分情况进行求解即可得.
试题解析：（1）＝|3-0|+|-4-0|=3+4=7，
故答案为7；
（2）由题意得：，
画图如下：

（3）∵到直线的“转角距离”为10，
∴设直线上一点Q（x，x+4），则d（P，Q）=10，
∴|a﹣x|+|﹣2﹣x﹣4|=10，即|a﹣x|+|x+6|=10，
当a﹣x≥0，x≥﹣6时，原式=a﹣x+x+6=10，解得a=4；
当a﹣x＜0，x＜﹣6时，原式=x﹣a﹣x﹣6=10，解得a=﹣16，
综上讨论，a的值为4或﹣16．
27. 甲、乙两人共同加工一批零件，从工作开始到加工完这批零件，两人恰好同时工作6小时，两人各自加工零件的个数y（个）与加工时间x（小时）之间的函数图像如图所示，根据信息回答下列问题：
（）请解释图中点C的实际意义；
（）求出甲、乙在整个过程中的函数表达式（并注明自变量的范围）；
（）如果甲、乙两人完成同样数量的零件时，甲比乙少用1小时，那么此时甲、乙两人各自完成多少个零件？

【正确答案】（）甲、乙两人工作了小时，完成的零件数相同，为个；（）甲：时，，时，．乙：时，，时，；（）当甲、乙两人各自完成40个和95个零件的时候，甲比乙少用．

【详解】试题分析：（1）观察可知点C的实际意义是甲、乙都工件了5小时，完成的零件数相同；
（2）利用待定系数法分别分段进行求解即可；
（3）分时间段进行讨论即可得.
试题解析：（）甲、乙两人工作了小时，完成的零件数相同，为个；
（）甲：时，，
时，．
乙：时，，
时，，
（）①当，则，．
②当，则，．
③当时，甲比乙完成慢，没有会出现甲比乙少用这种情况，
综上所述，当甲、乙两人各自完成40个和95个零件的时候，甲比乙少用．
28. 背景资料:
在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA＋PB＋PC的值最小．
解决问题：
（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=　 　；
基本运用：
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；
能力提升：
（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点，
连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

【正确答案】（1）150°；
（2）E′F2=CE′2+FC2，理由见解析；
（3）．

【详解】试题分析：（1）
（2）首先把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ACE′．连接E′F，由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，然后再证明△EAF≌△E′AF可得E′F=EF，，再利用勾股定理可得结论；
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据已知证明C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，利用勾股定理求得A′C的长，根据新定义即可得OA+OB+OC =．
试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°得到△ACP′，如图，连结PP′，
∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′为等边三角形，
∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3，
在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，
∴PP′2+P′C2=PC2，
∴△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°，
故答案为150°；
（2）E′F2=CE′2+FC2，理由如下：
如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中， ，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2；

（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，
∴BC==，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C===，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．
本题考查了旋转、全等三角形的判定与性质等，是一道综合性题目，正确的作出辅助线是解题的关键.




















2022-2023学年江苏省扬州市八年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列“无人看守铁路道口，窄桥，限速40，向右急转弯”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 要使分式有意义，则x的取值应满足(　　 )
A. x≠－2 B. x≠3 C. x＝－2 D. x＝－3
3. 如图，点C在AD上，CA＝CB，∠A＝20°，则∠BCD＝(　　 )

A. 20° B. 40° C. 50° D. 140°
4. 下列计算正确的是(　　)
A B. C. D.
5. 下列条件中，能判定的是（ ）．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6. 下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列各式中，没有能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）

A. 90° B. 95° C. 105° D. 110°
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE度数为（　　）．

A. 45° B. 64° C. 71° D. 80°
10. 某中学图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书，由于科普书的单价比文学书的单价高出一半，因此学校所购买的文学书比科普书多4本，求文学书的单价．设这种文学书的单价为x元，则根据题意，所列方程正确的是( )
A. ＝4 B. ＝4
C. ＝4 D.
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 在△ABC中，∠C＝30°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝_____．
12. 因式分解：x3－2x2y＝__________．
13. 若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．
14. 分式的值为零，那么a的值为__________________．
15. 已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠C=75°则∠E=__________°
16 已知，，则=_____________．
17. 如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，CO＝3，则两平行线间AB、CD的距离等于________．

18. 若分式方程有增根，则增根为______________．
三、解 答 题(一)：本大题共5小题，共31分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19. 化简：
(1)(－ab－2a)(－a2b2)；
(2)(2m－1)(3m－2)．
20. Ⅰ．分解因式
(1)x3－6x2＋9x
(2)a2(x－y)＋4(y－x)．
Ⅱ．利用乘法公式简便计算：
(1)－992
(2)20152－2016×2014．
21. 如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．

22 已知：如图，已知△ABC
(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是 ，点A关于y轴对称的点A2的坐标是 ；
(2)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．

23. 如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则BD＝CE．请说明理由：

解：∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠BAC＝∠2＋ ．
即 ＝∠DAB．
在△ABD和△ACE中，
∠B＝ (已知)
∵AB＝ (已知)
∠EAC＝ (已证)
∴△ABD≌△ACE( )
∴BD＝CE( )
四、解 答 题(二)：本大题共5小题，共35分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
24. 已知ax＝－2，ay＝3．求：
(1)ax＋y的值；
(2)a3x的值；
(3)a3x＋2y的值．
25. 先化简，再求值：，其中x＝2．
26. 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

27. 甲队修路500米与乙队修路800米所用天数相同，乙队比甲队每天多修30米，问甲队每天修路多少米？
解：设甲队每天修路x米，用含x的代表式完成表格：
甲队每天修路长度(单位：米)
乙队每天修路长度(单位：米)
甲队修500米所用天数(单位：天)
乙队修800米所用天数(单位：天)
x





关系式：甲队修500米所用天数＝乙队修800米所用天数
根据关系式列方程为：
解得：
检验：
答： ．
28. 如图，等腰直角三角形ABC，AB＝BC，直角顶点B在直线PQ上，且AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E．
(1)△ADB与△BEC全等吗？为什么？
(2)图1中，AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．

(3) 将直线PQ绕点B旋转到如图2所示的位置，其他条件没有变，那么AD，DE，CE有怎样的等量关系？说明理由．
























2022-2023学年江苏省扬州市八年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列“无人看守铁路道口，窄桥，限速40，向右急转弯”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题解析：A、没有是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、没有是轴对称图形，故本选项错误；
D、没有是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
2. 要使分式有意义，则x的取值应满足(　　 )
A. x≠－2 B. x≠3 C. x＝－2 D. x＝－3
【正确答案】B

【详解】试题解析：由题意得，x+3≠0，
解得x≠-3．
故选B．
3. 如图，点C在AD上，CA＝CB，∠A＝20°，则∠BCD＝(　　 )

A. 20° B. 40° C. 50° D. 140°
【正确答案】B

【详解】解：∵CA=CB，∠A=20°，
∴∠A=∠B=20°，
∴∠BCD=∠A+∠B=20°+20°=40°．
故选B．
4. 下列计算正确的是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A．，故该选项错误，没有符合题意；
B．，故该选项错误，没有符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项错误，没有符合题意；
故选C．
5. 下列条件中，能判定的是（ ）．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【正确答案】A

【分析】根据三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
【详解】A. ，，可以利用ASA判定故此选项符合题意；
B. ，，没有能判定，故此选项没有符合题意；
C. ，，没有能判定，故此选项没有符合题意；
D. ，，没有能判定，故此选项没有符合题意．
故选A．
本题考查了全等三角形的判定定理，能够灵活运用判定定理是解题的关键．
6. 下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.
考点：最简分式.
7. 下列各式中，没有能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】运用平方差公式（a+b）（a-b）=a-b时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】A. 中没有存在互为相反数的项，
B. C. D中均存在相同和相反的项，
故选A.
此题考查平方差公式，解题关键于掌握平方差公式结构特征.
8. 如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）

A. 90° B. 95° C. 105° D. 110°
【正确答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题．
【详解】∵CD=AC，∠A=50°
∴∠CDA=∠A=50°
∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°
∴∠DCA=80°
根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC
∴BD=CD
∴∠B=∠BCD
∵∠B+∠BCD=∠CDA
∴2∠BCD=50°
∴∠BCD=25°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
故选C
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE度数为（　　）．

A. 45° B. 64° C. 71° D. 80°
【正确答案】C

【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求得答案．
【详解】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵∠A=26°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，
∴∠CDE=71°，
故选：C.
考查三角形内角和定理以及折叠的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
10. 某中学图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书，由于科普书的单价比文学书的单价高出一半，因此学校所购买的文学书比科普书多4本，求文学书的单价．设这种文学书的单价为x元，则根据题意，所列方程正确的是( )
A. ＝4 B. ＝4
C. ＝4 D.
【正确答案】B

【详解】试题解析：科普书的数量为：,文学书的数量为：
所列方程为：
故选B.
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 在△ABC中，∠C＝30°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝_____．
【正确答案】90°．

【分析】根据三角形内角和得到∠A+∠B+∠C＝180°，而∠C＝30°，则可计算出∠A+∠B+＝150°，由于∠A﹣∠B＝30°，把两式相加消去∠B即可求得∠A的度数．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝30°，
∴∠A+∠B+＝150°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°．
故答案为90°．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
12. 因式分解：x3－2x2y＝__________．
【正确答案】x2(x－2y)

【分析】直接利用提公因式法进行分解即可．
【详解】解：x3－2x2y
=x2(x-2y)，
故x2(x-2y)．
本题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确确定公因式．
13. 若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．
【正确答案】8

【分析】根据题意求得多边形的外角，根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数
【详解】解：∵一个n边形的每个内角都等于135°，
∴则这个n边形的每个外角等于

该n边形的边数是
故
本题考查了多边形的内角与外角的关系，求得多边形的外角是解题的关键．

14. 分式的值为零，那么a的值为__________________．
【正确答案】-2

【详解】试题解析：由分式的值为零，得
，
解得a=-2，a=2（没有符合题意要舍去），
故答案为-2．
点睛：分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母没有为0．这两个条件缺一没有可．
15. 已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠C=75°则∠E=__________°
【正确答案】25°

【详解】试题解析：∵△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠C=75°，
∴∠D=∠A=80°，∠F=∠C=75°，
∴∠E=180°-∠D-∠F=25°．
16. 已知，，则=_____________．
【正确答案】28或36

【详解】解：∵，
∴ab=±2．
①当a+b=8，ab=2时，==﹣2×2=28；
②当a+b=8，ab=﹣2时，==﹣2×（﹣2）=36；
故28或36．
本题考查完全平方公式；分类讨论．
17. 如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，CO＝3，则两平行线间AB、CD的距离等于________．

【正确答案】4

【详解】试题解析：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，

∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，
∴OM=OE=2，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=2，
∴MN=OM+ON=4，
即AB与CD之间的距离是4．
点睛：要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
18. 若分式方程有增根，则增根为______________．
【正确答案】x=1

【详解】试题解析：两边乘x（x-1）得到：（x-1）（5x-x-4）=0，
∴x=1，
经检验：x=1是分式方程的增根.
三、解 答 题(一)：本大题共5小题，共31分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19. 化简：
(1)(－ab－2a)(－a2b2)；
(2)(2m－1)(3m－2)．
【正确答案】(1) a3b3＋a3b2；(2) 6m2－7m＋2．

【详解】试题分析：（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求得结果；
（2）根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求得结果.
试题解析：(1)原式=a3b3＋a3b2；
(2)原式=6m2－4m－3m＋2
=6m2－7m＋2．
20. Ⅰ．分解因式
(1)x3－6x2＋9x
(2)a2(x－y)＋4(y－x)．
Ⅱ．利用乘法公式简便计算：
(1)－992
(2)20152－2016×2014．
【正确答案】（1）x(x－3)2（2）(x－y)(a＋2)(a－2)（3）－9801（4）1

【详解】试题分析：Ⅰ.（1）先提取公因式x，再运用差的完全平方公式进行分解即可；
（2）原式先变形为a2(x－y)-4(x－ y)，再提取公因式（x-y），再运用平方差公式进行分解即可；
Ⅱ．（1）运用差的完全平方公式进行计算即可；
（2）运用平方差公式进行计算即可.
试题解析：Ⅰ．分解因式
(1)原式=x(x2－6x＋9)
=x(x－3)2；
(2)原式=a2(x－y)－4(x－y)
=(x－y)(a2－4)
=(x－y)(a＋2)(a－2)．
Ⅱ．利用乘法公式简便计算：
(3)原式=－(100－1)2
=－(10000－200＋1)
=－10000＋199=－9801；
(4)原式=20152－2016×2014
=20152－(2015＋1)×(2015－1)
=20152－(20152－1)
=20152－20152＋1
=1．
21. 如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．

【正确答案】43°

【分析】利用三角形外角性质，得∠1=∠A+∠APE，只需求∠APE，由AC⊥DE，得∠APE=90°；由三角形内角和定理得出∠D的度数．
详解】∵AC⊥DE，
∴∠APE=90°．
∵∠1是△AEP的外角，
∴∠1=∠A+∠APE．
∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°．
在△BDE中，∠1+∠D+∠B=180°，
∵∠B=27°，
∴∠D=180°﹣110°﹣27°=43°．
考查三角形外角性质与内角和定理．内容简单，可直接利用所学知识解决．

22. 已知：如图，已知△ABC
(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是 ，点A关于y轴对称的点A2的坐标是 ；
(2)画出与△ABC关于x轴对称△A1B1C1；
(3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．

【正确答案】(1) (－4，－2)，(4，2)； (2)图形见解析 (3)图形见解析

【详解】试题分析：（1）分别利用关于x轴以及y轴对称点的性质得出对应点坐标即可；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标即可；
（3）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标即可．
试题解析：(1) (－4，－2)，(4，2)；
(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(3)如图所示：△A2B2C2，即为所求．

23. 如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则BD＝CE．请说明理由：

解：∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠BAC＝∠2＋ ．
即 ＝∠DAB．
在△ABD和△ACE中，
∠B＝ (已知)
∵AB＝ (已知)
∠EAC＝ (已证)
∴△ABD≌△ACE( )
∴BD＝CE( )
【正确答案】答案见解析

【详解】试题分析：根据∠1=∠2，可得∠1+∠BAC=∠2+∠BAC，∠EAC=∠DAB，然后根据已知条件∠B=∠C，BD=CE，利用ASA证明△ABD≌△ACE，然后根据全等三角形的对应边相等可证明BD=CE．
试题解析：∵∠1=∠2
∴∠1＋∠BAC=∠2＋　∠BAC　．
即　∠EAC　=∠DAB．
在△ABD和△ACE中，
∠B=　∠C　(已知)
∵AB=　AC　(已知)
∠EAC=　∠DAB　(已证)
∴△ABD≌△ACE(　ASA　)
∴BD=CE(　全等三角形对应边相等　)
点睛：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
四、解 答 题(二)：本大题共5小题，共35分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
24. 已知ax＝－2，ay＝3．求：
(1)ax＋y的值；
(2)a3x的值；
(3)a3x＋2y的值．
【正确答案】(1)－6；(2)－8；(3)－72

【详解】试题分析：（1）逆运用同底数幂相乘，底数没有变指数相加解答；
（3）逆运用幂的乘方，底数没有变指数相乘解答；
（3）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可得解．
试题解析：(1)ax＋y=ax•ay=－2×3=－6；
(2)a3x=(ax)3=(－2)3=－8；
(3) a3x＋2y=(a3x)•(a2y)
=(ax)3•(ay)2
=(－2)3×32
=－8×9
=－72．

25. 先化简，再求值：，其中x＝2．
【正确答案】，

【详解】试题分析：先算括号里面的，再算除法，把x的值代入进行计算即可．
试题解析：原式=
=
=
=
=，
当x=2时，原式=．
26. 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．

【分析】（1）由条件可利用SAS证得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．
【详解】解：（1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
27. 甲队修路500米与乙队修路800米所用天数相同，乙队比甲队每天多修30米，问甲队每天修路多少米？
解：设甲队每天修路x米，用含x的代表式完成表格：
甲队每天修路长度(单位：米)
乙队每天修路长度(单位：米)
甲队修500米所用天数(单位：天)
乙队修800米所用天数(单位：天)
x





关系式：甲队修500米所用天数＝乙队修800米所用天数
根据关系式列方程为：
解得：
检验：
答： ．
【正确答案】甲队每天修路50m

【详解】试题分析：设甲队每天修路xm，则乙队每天修（x+30）m，根据甲队修路500m与乙队修路800m所用天数相同，列出方程即可．
试题解析：设甲队每天修路x米，用含x的代表式完成表格：
甲队每天修路长度(单位：米)
乙队每天修路长度(单位：米)
甲队修500米所用天数(单位：天)
乙队修800米所用天数(单位：天)
x
x＋30


关系式：甲队修500米所用天数=乙队修800米所用天数
根据关系式列方程为：=
解得：x=50　
检验：当x=50时x＋30≠0，x=50是原分式方程的解.
答：甲队每天修路50m．
28. 如图，等腰直角三角形ABC，AB＝BC，直角顶点B在直线PQ上，且AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E．
(1)△ADB与△BEC全等吗？为什么？
(2)图1中，AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．

(3)将直线PQ绕点B旋转到如图2所示的位置，其他条件没有变，那么AD，DE，CE有怎样的等量关系？说明理由．
【正确答案】(1)△ADB≌△BEC，(2)CE＋AD＝DE，(3)CE－AD＝DE，

【详解】试题分析：（1）求出∠ADB=∠ABC=∠BEC=90°，求出∠DAB=∠CBE，根据AAS推出△ADB≌△BEC即可；
（2）根据全等得出AD=BE，CE=DB，即可求出答案；
（3）证明过程和（1）（2）类似．
试题解析：（1）△ADB≌△BEC，
理由是：∵AD⊥PQ，CE⊥PQ，
∴∠ADB=∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
在△ADB和△BEC中，

∴△ADB≌△BEC（AAS）；
（2）CE+AD=DE，
理由是：∵△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，CE=DB，
∵DB+BE=DE，
∴CE+AD=DE；
（3）CE-AD=DE，
理由是：∵AD⊥PQ，CE⊥PQ，
∴∠ADB=∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
在△ADB和△BEC中，

∴△ADB≌△BEC（AAS）；
∴AD=BE，CE=DB，
∵DB-BE=DE，
∴CE-AD=DE．