2022-2023学年吉林省四平市八年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年吉林省四平市八年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析，共45页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省四平市八年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 计算a5·a3正确是（ ）
A. a2 B. a8 C. a10 D. a15
2. 若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（　　）
A. x＝﹣1 B. x＝1 C. x≠0 D. x≠1
3. 某种细胞的平均直径是0.00000085米，将0.00000085用科学记数法表示为（　　）
A. 8.5×10﹣7 B. 0.85×10﹣7 C. 8.5×10﹣6 D. 85×10﹣6
4. 小宁同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，该班血型为A型的有20人，那么该班血型为AB型的人数为（ ）

A. 2人 B. 5人 C. 8人 D. 10人
5. 如图，在△ABC中，∠A=∠B= 45，AB=4.以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
6. 如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）


A. 3：2 B. 4：6 C. 9：4 D. 没有能确定
7. 若a+b=3，ab=2，则a2 +b2的值是（ ）
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 15
8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）

A. dm B. 20dm C. 25dm D. 35dm
二、填 空 题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
9. 分解因式： _______.
10. 计算：_______.
11. 计算的结果是_____．
12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．
13. 已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的内角的大小为____度．
14. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于点D，则AD的长为_______.

15. 如图，分别以线段BC两个端点为圆心、适当长度（大于BC长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点D和E；作直线DE交BC于点F；在直线DE上任取一点A（点A没有与点F重合），连结AB、AC．若AB=9cm，∠C=60，则CF的长为____cm.

三、解 答 题（本大题共9小题，共63分）
16. 解方程：．
17. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在所给网格中画一个边长分别为、2、3的三角形．

18. 计算：(1)(2m-4n)(m+5n)；(2)；(3).
19 如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED.

20 先化简，再求值：，其中a=﹣3，b=．
21. 在大课间中，同学们积极参加体育锻炼，小龙在全校随机抽取了一部分同学就“我最喜爱的体育项目”进行了（每位同学必选且只选一项）．下面是他通过收集的数据绘制的两幅没有完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）小龙一共抽取了　 　名学生．
（2）补全条形统计图；
（3）求“其他”部分对应的扇形圆心角的度数．

22. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为500千米，B、C两城的路程为450千米，甲车比乙车的速度快10千米／时，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度．
23. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=90，AD=BC=20，AB=DC=16.将四边形ABCD沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．

（1）求BF的长；
（2）求CE的长．
24. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D直线BC上一动点（点D没有与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为　 　．
拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　．
（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　．

2022-2023学年吉林省四平市八年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 计算a5·a3正确的是（ ）
A. a2 B. a8 C. a10 D. a15
【正确答案】B

【分析】根据同底数幂乘法法则计算即可得.
【详解】a5·a3=a5+3=a8.
故选B.
2. 若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（　　）
A. x＝﹣1 B. x＝1 C. x≠0 D. x≠1
【正确答案】D

【详解】试题解析：由题意可知：x-1≠0，
x≠1
故选D.
3. 某种细胞的平均直径是0.00000085米，将0.00000085用科学记数法表示为（　　）
A. 8.5×10﹣7 B. 0.85×10﹣7 C. 8.5×10﹣6 D. 85×10﹣6
【正确答案】A

【详解】试题解析： 0.000 000 85=8.5×10-7
故选A.
点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为个非0数字前面所有0的个数的相反数．
4. 小宁同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，该班血型为A型的有20人，那么该班血型为AB型的人数为（ ）

A. 2人 B. 5人 C. 8人 D. 10人
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵全班的人数是：20÷40%=50（人），AB型的所占的百分比是：1-20%-40%-30%=10%，
∴AB型血的人数是：50×10%=5（人）．
故选B．
5. 如图，在△ABC中，∠A=∠B= 45，AB=4.以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【正确答案】C

【分析】根据勾股定理得出AC的长，进而得出正方形的面积．
【详解】解：因为在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，
所以，
所以这个正方形的面积为
故选：C．
本题考查是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6. 如图，AD是△ABC角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）


A. 3：2 B. 4：6 C. 9：4 D. 没有能确定
【正确答案】A

【分析】先利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD与△ACD，面积比即为已知AB、AC的比，答案可得．
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
又∵AB：AC=3：2，
∴S△ABD：S△ACD=（AB•DE）：（AC•DF）=AB：AC=3：2．
故选：A．

本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．
7. 若a+b=3，ab=2，则a2 +b2的值是（ ）
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 15
【正确答案】B

【详解】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5．
故选B．
8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）

A. dm B. 20dm C. 25dm D. 35dm
【正确答案】C

【详解】试题解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25（dm）．
故选C．

点睛：要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题.
二、填 空 题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
9. 分解因式： _______.
【正确答案】

【分析】
【详解】解：．
故答案为.
10. 计算：_______.
【正确答案】

【分析】以及的公式进行运算即可.
【详解】.
故答案为
主要考查了积的乘方及幂的乘方的运算公式.
11. 计算的结果是_____．
【正确答案】

【分析】根据同分母分式加减的法则进行计算即可得答案.
【详解】原式
=
=，
故答案为．
本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握同分母公式加减法的法则是解题的关键，注意结果要化成最简分式.
12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．
【正确答案】内错角相等，两直线平行

【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，
可简说成“内错角相等，两直线平行”．
故内错角相等，两直线平行．
13. 已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的内角的大小为____度．
【正确答案】90

【详解】解：∵（）2+（）2=（）2，
∴三角形为直角三角形，
∴这个三角形的内角度数为90°，
故90°
14. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于点D，则AD的长为_______.

【正确答案】8

【详解】试题解析：∵AB=AC=10，AD⊥BC于点D，
∴BD=BC=6，
∴AD=，
故答案为8.．
15. 如图，分别以线段BC的两个端点为圆心、适当长度（大于BC长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点D和E；作直线DE交BC于点F；在直线DE上任取一点A（点A没有与点F重合），连结AB、AC．若AB=9cm，∠C=60，则CF的长为____cm.

【正确答案】4.5

【详解】试题解析：由作图可以得出：AB=AC，DE垂直平分BC，
又∠C=60，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=9cm
∴BF=BC=×9=4.5(cm).
故答案为4.5.
三、解 答 题（本大题共9小题，共63分）
16. 解方程：．
【正确答案】．

【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程两边同乘以，得
解得
检验：将代入知，
所以是原方程的根．
本题考查解分式方程，注意分式方程的结果要检验．
17. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在所给网格中画一个边长分别为、2、3的三角形．

【正确答案】见解析.

【详解】试题分析：根据勾股定理分别作出3、2、的线段，且构成三角形可得．
试题解析：如图所示，△ABC即为所求，

其中AC=、AB=2、BC=3．
18. 计算：(1)(2m-4n)(m+5n)；(2)；(3).
【正确答案】（1）原式=；（2）原式=2；（3）原式=．

详解】试题分析：（1）按多项式乘以多项式法则进行运算，结果合并同类项；
（2）把b-a变成-（a-b），先加减再约分；
（3）先计算x-，再算除法．
试题解析：（1）原式==．
（2）原式==2．
（3）原式==．
19. 如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED.

【正确答案】证明见解析.

【详解】试题分析：利用“AAS”即可得证．
试题解析：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED
考点：三角形全等的判定．
20. 先化简，再求值：，其中a=﹣3，b=．
【正确答案】2ab，﹣3

【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-3，b=代入进行计算即可．
【详解】解：原式=2b2+a2-b2-（a2+b2-2ab）
=2b2+a2-b2-a2-b2+2ab
=2ab，
当a=-3，b=时，原式=2×（-3）×=-3．
21. 在大课间中，同学们积极参加体育锻炼，小龙在全校随机抽取了一部分同学就“我最喜爱的体育项目”进行了（每位同学必选且只选一项）．下面是他通过收集的数据绘制的两幅没有完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）小龙一共抽取了　 　名学生．
（2）补全条形统计图；
（3）求“其他”部分对应的扇形圆心角的度数．

【正确答案】（1）50（2）见解析（3）64.8°

【详解】试题分析：（1）根据跳绳的人数是15，占30%，即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义求得踢毽子的人数，则其他项目的人数可求得，从而补全直方图；
（3）利用“其他”部分对应的百分比乘以360°即可求解．
试题解析：（1）抽取的总人数是：15÷30%=50（人）；
（2）踢毽子的人数是：50×20%=10（人），则其他项目的人数是：50-15-16-10=9（人），
补全条形统计图：

（3）“其他”部分对应的扇形圆心角的度数是×360°=64.8°．

22. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为500千米，B、C两城的路程为450千米，甲车比乙车的速度快10千米／时，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度．
【正确答案】甲车速度为100千米/时，乙车的速度为90千米/时.

【详解】试题分析：设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是（x-10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．
试题解析：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时.
根据题意，得.
解得x=90.
经检验，x=90是原方程的解，且符合题意.
当x=90时，x+10=100.
答：甲车的速度为100千米/时，乙车的速度为90千米/时.
23. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=90，AD=BC=20，AB=DC=16.将四边形ABCD沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．

（1）求BF的长；
（2）求CE长．
【正确答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：由折叠的性质可得：AF=AD=20，再由勾股定理可求出BF=12.
（2）设CE=x，DE=EF=16-x，然后利用勾股定理得到，再解方程求出x即可．
（1）∵△AFE是△ADE折叠得到的，
∴．
在Rt△ABE中，

(2）∵△AFE是△ADE折叠得到的，
∴．
设，则

在Rt△EFC中，
即
解得
即：CE=6.
24. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D没有与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为　 　．
拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　．
（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　．

【正确答案】探究：证明见解析；应用：；拓展：（1）BC= CD-CE，（2）BC= CE-CD

【详解】试题分析：探究：判断出∠BAD=∠CAE，再用SAS即可得出结论；
应用：先算出BC，进而算出BD，再用勾股定理求出DE，即可得出结论；
拓展：（1）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论；
（2）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论．
试题解析：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．                                                 
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD． 
应用：在Rt△ABC中，AB=AC=，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC-CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，DE=，
∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+
故答案为2+
拓展：（1）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=CD-BD=CD-CE，
故答案为BC=CD-CE；
（2） 同探究的方法得，△ABD≌△ACE． 
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-CD，
故答案为BC=CE-CD．
















2022-2023学年吉林省四平市八年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（每题3分，共24分）
1. 下面图案中是轴对称图形的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC是（　　）
A. 钝角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
3. 在和中，，高，则和的关系是( )
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 以上都没有对
4. 如图，中，，D是中点，下列结论中没有正确的是（ ）

A. B. C. 平分 D.
5. 由下列条件没有能判定为直角三角形的是（　　）
A. B.
C. D.
6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
7. 下列说法中正确的是（　　）
A 两个直角三角形全等 B. 两个等腰三角形全等
C. 两个等边三角形全等 D. 两条直角边对应相等的直角三角形全等
8. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别为81 cm2和144 cm2，则正方形③的边长为（　　）

A 225 cm B. 63 cm C. 50 cm D. 15 cm
二、填 空 题（每题2分，共20分）
9. 如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是___________
10. 直角三角形的两条直角边分别是9和12，则斜边是___________
11. 如图，在中，为斜边的中点，=6 cm,=8 cm，则 的长为___________cm.

12. 如图，在中，，点为中点，，则的度数为_____．

13. 已知等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为7 cm，则底边长为__________.
14. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东60°的方向走了12 km，乙往南偏东30°的向走了5 km，这时甲、乙两人相距___________km
15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，如果∠B=20°，则∠CAD=_____________

16. 如图，中，, 分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.

17. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．

18. 如图，，已知中，,的顶点分别在边上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持没有变，在运动过程中，点到点的距离为____________.

三解 答 题（共56分）
19. 如图，在正方形网格上有一个△DEF.
(1)作△DEF关于直线HG的轴对称图形；
(2)作△DEF的EF边上的高；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．

20. 如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，有一海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一没有明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向海岛O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
21. 如图，是的平分线，点在上，且交于点.试说明: 平分.

22. 已知：如图，在中，是的中点，点在上，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若=2，求四边形的面积．

23. 如图，在中，平分，于点.
（1）求的度数．
（2）求证：

24. 如图，已知中，是边上的点，将绕点旋转，得到.
（1）当时，求证.
（2）在（1）的条件下，猜想， ，有怎样的数量关系，并说明理由．

25. 如图，已知点D为OB上的一点，请用直尺和圆规按下列要求进行作图，保留作图痕迹．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a ；
（3）爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使
得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定数量关系，请写出∠OEP
与∠ODP的数量关系，并说明理由．

26. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都没有是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．












2022-2023学年吉林省四平市八年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（每题3分，共24分）
1. 下面图案中是轴对称图形的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，找出轴对称图形的个数即可．
【详解】解：各图案中，是轴对称图形的有：第（1）第（2）个，共2个.
故选B.
本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.
2. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC是（　　）
A. 钝角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【正确答案】B

【详解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=55°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选B．
点睛：本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定，熟记三角形的内角和是解题的关键．
3. 在和中，，高，则和关系是( )
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 以上都没有对
【正确答案】C

【详解】试题解析：当∠C′为锐角时，如图1所示，

∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，
∴∠C=∠C′；
当∠C为钝角时，如图3所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，
∴∠C=∠A′C′D′，
∴∠C+∠A′C′B′=180°．
故选C.
4. 如图，中，，D是中点，下列结论中没有正确的是（ ）

A. B. C. 平分 D.
【正确答案】D

【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D没有正确）．
故选：D．
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
5. 由下列条件没有能判定为直角三角形的是（　　）
A B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或角是否是90°即可.
【详解】A、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，故是直角三角形，正确；
B、∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴∠B=×180°=90°，故是直角三角形，正确；
C、∵（）2+（）2≠（）2，故没有能判定是直角三角形；
D、∵（b+c）（b-c）=a2，∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确．
故选C．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
【正确答案】A

【详解】解：另一直角边长是：=5．则直角三角形的面积是×12×5=30．
故选A．
7. 下列说法中正确的是（　　）
A. 两个直角三角形全等 B. 两个等腰三角形全等
C. 两个等边三角形全等 D. 两条直角边对应相等的直角三角形全等
【正确答案】D

【详解】试题解析：A、两个直角三角形只能说明有一个直角相等，其他条件没有明确，所以没有一定全等，故本选项错误；
B、两个等腰三角形，腰没有一定相等，夹角也没有一定相等，所以没有一定全等，故本选项错误；
C、两个等边三角形，边长没有一定相等，所以没有一定全等，故本选项错误；
D、它们的夹角是直角相等，可以根据边角边定理判定全等，正确．
故选D．
8. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别为81 cm2和144 cm2，则正方形③的边长为（　　）

A. 225 cm B. 63 cm C. 50 cm D. 15 cm
【正确答案】D

【详解】试题解析：∵四边形①、②、③都是正方形，
∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠DBC=90°，
∴∠AEB=∠CBD．
在△ABE和△CDB中，
，
∴△ABE≌△CDB（AAS），
∴AE=BC，AB=CD．
∵正方形①、②的面积分别81cm2和144cm2，
∴AE2=81，CD2=144．
∴AB2=63．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AE2+AB2=81+144=225，
∴BE=15．
故选D．
二、填 空 题（每题2分，共20分）
9. 如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是___________
【正确答案】80°

【详解】试题解析：180°-50°×2
=180°-100°
=80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
10. 直角三角形的两条直角边分别是9和12，则斜边是___________
【正确答案】15

【详解】试题解析：由一个直角三角形的两条直角边分别是9和12，
利用勾股定理得斜边长为=15．
11. 如图，在中，为斜边的中点，=6 cm,=8 cm，则 的长为___________cm.

【正确答案】5

【详解】试题解析：由勾股定理得，AB==10cm，
∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=×10=5cm．
12. 如图，在中，，点为中点，，则的度数为_____．

【正确答案】55°

【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【详解】解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°-70°）=55°．
故55°．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13. 已知等腰三角形周长为15cm，其中一边长为7 cm，则底边长为__________.
【正确答案】1 cm或7 cm

【详解】试题解析：当底为7cm时，此时腰长为4cm和4cm，满足三角形的三边关系；
当腰为7cm时，此时另一腰为7cm，则底为1cm，满足三角形的三边关系；
所以底边长为1cm或7cm.
14. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东60°的方向走了12 km，乙往南偏东30°的向走了5 km，这时甲、乙两人相距___________km
【正确答案】13

【详解】试题解析：如图所示，

∵甲往北偏东60°的方向走了12km，乙往南偏东30°的向走了5km，
∴∠AOB=90°，
∴AB==13（km）．
15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，如果∠B=20°，则∠CAD=_____________

【正确答案】50°

【分析】

【详解】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=20°，
∵∠C=90°，
∴∠CAD=180°-20°×2-90°=180°-40°-90°=50°，
故答案为50°．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．
16. 如图，中，, 分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.

【正确答案】3或8

【详解】试题解析：分为两种情况：①当AP=3时，
∵BC=3，
∴AP=BC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，

∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
②当AP=8时，
∵AC=8，
∴AP=AC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，

∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
故答案为3或8．
17. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．

【正确答案】3cm

【分析】由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm ），∠DEB=90°，
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
故答案为3cm．
本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
18. 如图，，已知中，,的顶点分别在边上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持没有变，在运动过程中，点到点的距离为____________.

【正确答案】7

【详解】试题解析：如图，取AB的中点D，连接CD．

∵AC=BC=5，AB=6．
∵点D是AB边中点，
∴BD=AB=3，
∴CD==4；
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有值，值是OD+CD，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=3，
∴OD+CD=3+4=7，即OC=7．
三解 答 题（共56分）
19. 如图，在正方形网格上有一个△DEF.
(1)作△DEF关于直线HG的轴对称图形；
(2)作△DEF的EF边上的高；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）3.

【分析】（1）分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用钝角三角形高线作法得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，△DEF关于直线HG的轴对称图形为△D′E′F′；
（2）如图所示，DH即为所求；
（3）S△DEF=×3×2=3．

此题主要考查了作图--轴对称变换和三角形面积求法，关键是确定组成图形的对应点位置．
20. 如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，有一海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一没有明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向海岛O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【正确答案】（1）见详解；（2）BC=25海里

【分析】（1）连接AB，然后作AB的垂直平分线，交OA于一点C，则点C即为所求；
（2）由（1）可设AC=BC=x，则有OC=45-x，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：（1）连接AB，分别以点A、B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，交OA于点C，则C即为所求；如图所示：

（2）连接BC，如图所示：

由（1）及OB=15海里，OA=45海里，可设AC=BC=x，则有OC=45-x，
在Rt△BOC中，
，即，
解得：，即BC=25海里．
本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键．
21. 如图，是的平分线，点在上，且交于点.试说明: 平分.

【正确答案】证明见解析.

【分析】先根据SAS证明△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质得到CD=ED，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠DEC=∠FEC，从而得出结论．
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ACD与△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=ED，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠DEC=∠FEC，
∴CE平分∠DEF．
本题考查的是三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
22. 已知：如图，在中，是的中点，点在上，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若=2，求四边形的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）1．

【分析】（1）首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，再证明BD=CD，∠DCF=∠A，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，继而可得出结论；
（2）根据全等可得S△AED=S△CFD，进而得到S四边形CEDF=S△ADC，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【详解】解：（1）证明：如图，连接CD．

因为，
所以是等腰直角三角形
所以
因为为的中点
所以，平分，
所以
又因为
所以
所以，
因为
所以
即
(2)因为
所以
所以
因为是的中点
所以
所以．
23. 如图，在中，平分，于点.
（1）求的度数．
（2）求证.

【正确答案】（1）22.5；（2）证明见解析．

【详解】试题分析：(1)因为∠E=∠A，∠CDE=∠BDA，可得∠ECD=∠ABD,由条件知∠ABC=45°且BD平分∠ABC，从而得解.
（2）延长BA，CE交于点F，证△ABD≌△ACF，通过角之间的关系，得到BF=BC，又由CE⊥BD，进而可求解．
试题解析：（1）∵
∴∠ABC=45°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC=22.5°
在△ABD和△ECD中，∠E=∠A，∠CDE=∠BDA
∴∠ECD=∠ABD=22.5°；
（2）证明：如图所示，延长BA，CE交于点F，

∵∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
又∵AB=AC，
在Rt△ABD和Rt△ACF中

∴Rt△ABD≌Rt△ACF，
∴BD=CF，
在Rt△FBE和Rt△CBE中
∵BD平分∠ABC，
∴∠BCF=∠F，
∵∠BEC=90°
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵BE=BE
∴Rt△FBE≌Rt△CBE
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
即BD=2CE．
24. 如图，已知中，是边上的点，将绕点旋转，得到.
（1）当时，求证：
（2）在（1）的条件下，猜想， ，有怎样的数量关系，并说明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【详解】试题分析：（1）利用旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再计算出∠EAD′=∠DAE=45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以DE=D′E；
（2）由（1）知△AED≌△AED′得到ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠ACB=45°，则根据性质得性质得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=90°，于是根据勾股定理得CE2+D′C2=D′E2，所以BD2+CE==DE2．
试题解析：（1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAD′=∠DAE，
在△AED与△AED′中
，
∴△AED≌△AED′，
∴DE=D′E；
（2）解：BD2+CE==DE2．理由如下：
由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，∠B=∠ACD′，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′
∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，
∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，
在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2，
∴BD2+CE==DE2．
点睛：旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
25. 如图，已知点D为OB上的一点，请用直尺和圆规按下列要求进行作图，保留作图痕迹．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a ；
（3）爱动脑筋小刚仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使
得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP
与∠ODP的数量关系，并说明理由．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）或．

【详解】试题分析：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a；
（3）以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，利用HL证明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P=∠ODP，再根据平角的定义即可求解．
试题解析：（1）如图，OC即为所求；

（2）如图，OP=a；
（3）∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，
PN⊥OB于N，则PM=PN．
在△E2PM和△DPN中，
，
∴△E2PM≌△DPN（HL），
∴∠OE2P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OA于另一点E1，连接PE1，
则此点E1也符合条件PD=PE1，

∵PE2=PE1=PD，
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，
∵∠OE2P=∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP=180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
26. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都没有是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【正确答案】解：（1）SAS；△AFE．
（2）∠B+∠D=180°．
（3）BD2+EC2=DE2．理由见解析

【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【详解】解：（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AEF（SAS）．
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，

∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故∠B+∠ADC=180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，

∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2．
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．