2022-2023学年浙江省台州山海协作体高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省台州山海协作体高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（     ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据存在量词的命题的否定是全称量词命题可得．

【详解】命题“，”的否定为“，”，

故选：C.

2．已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】由题意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，从而可求出集合的个数.

【详解】因为

所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，

所以集合的个数为，

故选：C

3．已知函数，则（     ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式计算可得.

【详解】解：因为，所以，

所以．

故选：B

4．以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为2

B．的最小值为2

C．正实数，满足，则的最小值为4

D．的最小值为2

【答案】D

【分析】利用基本不等式，逐一验证，注意检验等号是否成立，可得答案.

【详解】对于A，，由方程无解，则等号不成立，故A错误；

对于B，当时，，当且仅当，即时等号成立；

当，即时，，当且仅当，即时等号成立；故B错误；

对于C，，当且仅当且，即时，等号成立，故C错误；

对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.

故选：D.

5．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．

【详解】的定义域是，关于原点对称，

，是偶函数，排除BC；

又时，，是增函数，排除A．

故选：D．

【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．

确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．

6．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.

【详解】解：因为函数是定义在上的减函数，

所以解得，即.

故选：A.

7．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方程，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．12 D．24

【答案】B

【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最后利用基本不等式求最值即可.

【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所以，

当且仅当，即，时等号成立.

故选：B.

8．当时，下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性可依次判断大小.

【详解】对A，，，则单调递减，又，则，故A错误；

对B，，，，故B错误；

对C，由A选项，单调递减，又，则，故C错误；

对D，可得，又，则，则，故D正确.

故选：D.

二、多选题

9．下列各对函数中，图象完全相同的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BC

【分析】根据相等函数的定义逐一判断即可.

【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两函数不同，故A不符题意；

对于B，两函数的定义域都是，由，则两函数的对应关系也相同，所以两函数相同，故B符合题意；

对于C，两函数的定义域都是，由，，则两函数的对应关系也相同，所以两函数相同，故C符合题意；

对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两函数不同，故D不符题意.

故选：BC.

10．下列四个选项中，的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】由不等式成立的条件判断各选项与题干能否互相推得即可.

【详解】A选项，当时，不能推得，A不正确；

B选项，中，，一定可以推得，而当时，则不能由推得，故是的充分不必要条件，B正确；

C选项，等价于，是充要条件，C不正确；

D选项，一定可以推得，但当时，则不能由推得，D正确.

故选：BD.

11．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的性质及其基本不等即可求解.

【详解】对于选项,∵，，，∴，解得，同理可知，则不正确，正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，

则正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，

∴，则正确．

故选：.

12．德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（    ）

A．值域为 B．

C．为奇函数 D．

【答案】ABD

【分析】根据狄里克雷函数的性质，逐个选项进行分析讨论，可得答案.

【详解】对于A，根据狄里克雷函数的性质，值域为明显成立，故A正确；

对于B，若为有理数，则也为有理数，；若为无理数，则也为无理数，，故B正确；

对于C，若为有理数，则也为有理数，则，不满足奇函数的性质，故C错误；

对于D，若为有理数，则，得，若为无理数，，得，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．______

【答案】

【分析】利用指数幂的运算性质化简即可求解.

【详解】因为

故答案为：.

14．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是   .

【答案】1

【分析】幂函数的图象不过原点，可得幂指数小于0，系数为1，进而即可得解．

【详解】解：幂函数的图象不过原点，所以

解得m＝1，符合题意．

故答案为1

【点睛】本题考查幂函数的图象及其性质，考查计算能力，是基础题．

15．已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为________.

【答案】

【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出，的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.

【详解】解：因为不等式的解集为，

所以和为方程的两根且，

所以，解得，

则，

令，解得，

所以函数的定义域为，

因为的单调递增区间为 ，在定义域上单调递增，

所以的增区间为（开闭均正确）.

故答案为：.

16．已知函数，则关于的不等式的解集为________.

【答案】

【分析】构造函数为R上单调递增的奇函数，再利用其性质将原不等式转化求解即可.

【详解】令，

则，

故为奇函数，

则原不等式变形为等价于.

因为是R上的增函数，所以是R上的减函数，

所以在R上单调递增，

所以，

解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合A={x∈R|＜8}，B={y∈R|y=+5，x∈R}

(1)求A∪B

(2)集合C={x|1m≤x≤m1}，若集合C（A∪B），求实数m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出集合A，B，再求两集合的并集，

（2）由C（A∪B），分和两种情况求解即可

【详解】（1）由，得，所以，

因为，所以，所以，

所以或

（2）当时，，得，此时C（A∪B），

当时，因为C（A∪B），或，

所以或，

得或，

综上，，即实数m的取值范围为

18．已知函数二次函数，且满足，，.

(1)求函数的解析式；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由已知得，设，，根据题意列出相应的方程组，计算求解即可.

（2）根据题意，化简得到，，

分类讨论和的关系，即可求解.

【详解】（1）设，，利用，，，得

，解得，得

（2）由（1）得，，整理得

当，即无实数解

当，即，

当，即，

19．已知函数

(1)若是偶函数，

①求的值；②判断函数在上的单调性并用定义证明.

(2)设，若值域为，求的取值范围.

【答案】(1)①，②在上的单调递增，理由见解析；

(2).

【分析】（1）①根据函数的奇偶性，列出方程，求出；②判断出函数在上单调递增，利用定义法进行证明；

（2）根据值域为得到能取遍所有非负数，分，和三种情况，结合函数单调性和基本不等式进行求解，得到的取值范围.

【详解】（1）为偶函数，故，

即，解得：，

②函数在上的单调递增，理由如下：

任取，，

则

，

因为，所以，

又因为，所以，故，

故，故，

故函数在上的单调递增；

（2），

值域为，故能取遍所有非负数，

若，则，值域为，不合要求，舍去；

若，则单调递增，且当时，，当时，；满足要求，

若，因为，，

由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

故只需，结合，解得：，

综上：的取值范围是.

20．已知函数

(1)当时，画出函数图像，并写出单调区间；

(2)当，求的最大值.

【答案】(1)图象见详解，单调增区间为

(2)

【分析】(1)当时，化简函数的解析式，可得它的图象，结合图象写出其单调递增区间；

(2)数形结合，分类讨论得出函数在的最大值即可.

【详解】（1）因为，所以，其图象如图：

结合图象可知：函数的单调递增区间是.

（2）因为，又因为，

所以当时，在上单调递增，；

当时，函数在上的解析式为，且在上单调递增，；

当时，函数在上的最大值为，所以时，，所以时，函数在上的最大值为，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为；

当时，函数在上单调递增，所以，

综上所述：函数当，

21．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调查发现，某水果树的单株产量V（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元.已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.

(1)求函数的解析式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为元．

【分析】（1）利用利润收入成本，列出函数关系即可；

（2）分和两种情况，分别利用二次函数的性质以及基本不等式求解最值，比较即可得到答案．

【详解】（1）解：（1）由题意，，

故；

（2）解：当时，，

其对称轴为，故当时，函数取得最大值；

当时，，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值为．

因为，

所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为元．

22．已知函数，存在满足，且对任意恒有

(1)求的值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据对任意恒有，得到，再结合，列方程，解方程得到，即可得到；

（2）将原不等式整理为，即，然后利用换元法和二次函数单调性求最值即可；

（3）将方程有三个不同的根，转化为方程，有三个不同的根，然后令得到，结合的图象得到方程有两个根，，或，，然后结合二次函数图象和性质列不等式求范围即可.

【详解】（1）∵对任意恒有，

∴，

又，∴，解得或-1（舍去），即.

（2）由已知可得在上恒成立，

可得化为在上恒成立，

令，因，故，

则在上恒成立，

记，，

故在区间上单调递减，

所以，故.

（3）方程有三个不同的根，

即方程，有三个不同的根，

令，，则，有两不相等根，，且，或，，

记

则①或②

解不等组①，得，而不等式组②无实数解，

所以实数的取值范围是.

【点睛】一元二次方程根的分布问题可通过考虑以下因素来去解决：①开口方向；②根的判别式；③对称轴；④端点值的符号.