2022-2023学年重庆市第七中学校高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市第七中学校高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市第七中学校高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．若集合只含有元素a，则下列各选项正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用元素与集合之间的关系直接得出答案即可.【详解】由题意知A中只有一个元素a，∴.故选：C.【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.2．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，命题“”是全称量词命题，根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“”.故选：A.3．已知集合，，若满足，则的值为(    )A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【分析】根据可知9∈A，则或由此可求出a的值，分类讨论即可确定符合题意的a的取值．【详解】∵，∴9∈A，或，解得或或，当时，，，此时，不符合题意；当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；当时，，，此时，符合题意；综上，故选：C．4．若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特值可判断ABC，利用不等式的性质可判断D.【详解】A，取，，故A错误；B，取，则，故B错误；C，当时，，故C错误；D，，又，所以，故D正确．故选：D．5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的概念即得.【详解】由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立，反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立，故“不返家乡"是“不破楼兰"的必要不充分条件.故选：B.6．已知的集合M的个数是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】依题意且且至少有一个属于集合，再一一列举出来即可.【详解】因为，所以且且至少有一个属于集合，可能为，，，，，，共个，故选：A.7．某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（    ）A．7 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出.【详解】设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为，，，且，，为正整数，则由题意得，，，可得，即，所以，，故参加这三项比赛的人数至少为．故选：C.8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D. 二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．任何一个平行四边形的对边都平行B．非负数的平方是正数C．任何一个四边形都有外接圆D．，使得【答案】AD【分析】根据平行四边形定义可判断A，根据特值可判断B，根据四边形有外接圆的条件可判断C，利用特值可判断D.【详解】A，由平行四边形的定义知任何一个平行四边形的对边都平行，故A正确；B，因为，不是正数，故B错误；C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，故C错误；D，因为当，时，，故D正确.故选：AD．10．已知，且.则下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当时，，所以BD选项错误.A，，当且仅当时，等号成立，A正确.C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：AC11．若，则下列说法正确的是（    ）A．“对恒成立”的充要条件是“”B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“”是“无最小值”的既不充分也不必要条件【答案】BC【分析】根据二次不等式的解法，不等式的性质，二次方程的根的分布结合充分条件，必要条件的定义逐项分析即得.【详解】因为当，时，推不出，故A错误；由可推出，而由，可得或，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；由方程有一个正根和一个负根，可得，可推出，由推不出，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确；由，，可得(当且仅当取等号)，无最小值，所以“”是“无最小值”的充分条件，故D错误.故选：BC.12．（多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）A．是优集 B．是优集C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集【答案】ACD【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A中，任取，因为集合是优集，则，则 ，，则，所以A正确；对于B中，取，则或，令，则，所以B不正确；对于C中，任取，可得，因为是优集，则，若，则，此时 ；若，则，此时 ，所以C正确；对于D中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D正确.故选：ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 三、填空题13．设全集，集合，则_______．【答案】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合，所以,∴.故答案为：.14．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．【答案】3【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值.【详解】由得，故，因为“”是“”的充要条件，所以，解得，所以实数m的取值是3.故答案为：3.15．若且，则的最大值是____________．【答案】7【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.【详解】，则，解得：即，因为且，所以，故，故的最大值为7故答案为：716．若大于1的正数满足，则的最小值是_______．【答案】【分析】先将化得，再利用基本不等式即可求得的最小值.【详解】因为，所以，故，又因为，所以，所以，当且仅当，且，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 四、解答题17．（1）设，求的最小值；（2）设正数满足，求的最小值.【答案】（1）5；（2）4.【分析】（1）根据题意，配凑可得，利用基本不等式，即可得答案.（2）由题意，根据基本不等式中“1”的妙用，即可求得答案.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5；（2）正数满足，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.18．已知集合，或．(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；【详解】（1）解：当时，，或，∴．（2）解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要条件，∴是的真子集，∵，∴，∴，∴，故实数的取值范围为．19．已知集合．(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出；（2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可.【详解】（1）当时，，∵，因此，；（2）∵．①当时，即，∴，此时满足题意；②当时．则或，解得或．综上所述，实数a的取值范围是．20．已知命题p：，不等式恒成立；命题q：，成立．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）命题p是二次不等式恒成立问题，只需即可；（2）命题q是二次不等式存在性问题，只需即可求得m的取值范围，再分类讨论p真q假与p假q真两种情况，从而求得m的取值范围.【详解】（1）若命题p为真命题，则，解得，故实数m的取值范图.（2）若命题q为真命题．则，解得，∵命题p，q中恰有一个为真命题，∴命题p，q一真一假，①当p真q假时，，故；②当p假q真时，，故；综上：或，即实数m的取值范围为．21．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．(1)写出n关于x的函数关系式；(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．【答案】(1)（且）(2)21名 【分析】（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出（且）；（2）求出总损失关于x的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.【详解】（1）由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为所以有，可得（且）．（2）设总损失为y，则，当且仅当时，即时，等号成立．所以应派21名工人去抢修，总损失最小．22．若实数满足，则称x比y远离m．(1)解不等式(2)若比远离，求实数x的取值范围；(3)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)比x更远离m，理由见解析 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可求解；（2）根据题意列出，求解不等式即可；（3）利用基本不等式的变形得到，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，利用配方法可以得到结论【详解】（1）令，即有，所以x比3远离0，从数轴上可得x的取值范围是；（2）由x比远离1，则，即，∴或，解得或，∴的取值范围是；（3）因为，有，因为，所以，从而，①当时，，即；②当时，，又，则，∴，即，综上，，即比x更远离m．【点睛】关键点睛：本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，在第二问中还需分和两种情况进行讨论