2022-2023学年湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学八年级（上）期末数学试卷(含解析)

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2022-2023学年湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）

2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．3x3+2x2＝5x2 B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2 D．（ab）3＝a3b
3．（3分）若分式x-2x+3有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3且 x≠2 D．x≠2
4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
6．（3分）计算xx-1-yy-1的结果为（　　）
A．-x+y(x-1)(y-1) B．x-y(x-1)(y-1)
C．-x-y(x-1)(y-1) D．x+y(x-1)(y-1)
7．（3分）某铁路隧道严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通列车．原计划每天修多少米？设原计划每天修x米，所列方程正确的是（　　）
A．120x+5-120x=4 B．120x-120x+5=4
C．120x-5-120x=4 D．120x-120x-5=4
8．（3分）（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是（　　）
A．0 B．23 C．-23 D．-32
9．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝NC，其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为 　 　米．
12．（3分）若分式x2-1x+1的值为0，则x＝　 　．
13．（3分）代数式2x-1与代数式3x-2的值相等，则x＝　 　．
14．（3分）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 　 　．
15．（3分）已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，则（x﹣2017）2的值是　 　．
16．（3分）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）a3•a+（﹣3a3）2÷a2；
（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣2（a﹣b）2．
18．（8分）因式分解：
（1）ab2﹣4a；
（2）（x2﹣5）2+8（5﹣x2）+16．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．

20．（8分）化简式子x2-2x+1x2-x÷（x-1x），并在﹣1，0，1，2中选一个合适的数字代入求值．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．
（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 　 　；
（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．

22．（10分）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用 2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元．
（1）该商店第一次购进这种水果多少千克？
（2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？
23．（10分）已知：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD为AC边上的中线，过A作AE⊥BD，交BD延长线于点E．
（1）直接写出∠EAD+∠ABD＝　 　°；
（2）如图②，过点C作CF⊥BD于F．求证：BF＝2AE；
（3）在（2）的条件下，如图③，在△ABC的外部作∠BCG＝∠BCF，且满足CG＝CF，连接AG．若AB＝4，求线段AG的长．

24．（12分）在平面直角坐标系中，已知A（0，a）（其中a≠0），B（b，0）且a2+2ab+b2＝0．
（1）三角形AOB的形状是 　 　．
（2）如图1．若A（0，4），C为OB中点，连接AC，过点A向右作AD⊥AC，且AD＝AC，连CD．过点M（1，0）作直线MP垂直于x轴，交CD于点N，求证：CN＝ND．
（3）如图2，E在AB的延长线上，连接EO，以EO为斜边向上构等腰直角三角形EFO，连接AF，若AB＝4，EB＝3，求△AEF的面积．

2022-2023学年湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．3x3+2x2＝5x2 B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2 D．（ab）3＝a3b
【解答】解：A.3x3与2x2不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．a•a2＝a3，故B符合题意；
C.3a6÷a3＝3a3，故C不符合题意；
D．（ab）3＝a3b3，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）若分式x-2x+3有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3且 x≠2 D．x≠2
【解答】解：∵分式x-2x+3有意义，
∴x+3≠0，
解得：x≠﹣3．
故选：A．
4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
5．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
【解答】解：A、2x2﹣4x＝2x（x﹣2），故本选项错误；
B、a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），故本选项正确；
C、a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，故本选项错误；
D、x3﹣81x＝x（x+9）（x﹣9），故本选项错误．
故选：B．
6．（3分）计算xx-1-yy-1的结果为（　　）
A．-x+y(x-1)(y-1) B．x-y(x-1)(y-1)
C．-x-y(x-1)(y-1) D．x+y(x-1)(y-1)
【解答】解：原式=x(y-1)(x-1)(y-1)-y(x-1)(x-1)(y-1)
=xy-x-xy+y(x-1)(y-1)
=-x+y(x-1)(y-1)．
故选：A．
7．（3分）某铁路隧道严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通列车．原计划每天修多少米？设原计划每天修x米，所列方程正确的是（　　）
A．120x+5-120x=4 B．120x-120x+5=4
C．120x-5-120x=4 D．120x-120x-5=4
【解答】解：原来所用的时间为：120x，实际所用的时间为：120x+5．所列方程为：120x-120x+5=4．
故选：B．
8．（3分）（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是（　　）
A．0 B．23 C．-23 D．-32
【解答】解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，
∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，
∴2+3m＝0，
解得，m=-23，
故选：C．
9．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC=12（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
综上，∠OEC的度数不可能为60°，
故选：C．

10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝NC，其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，
∴①正确；
在△AFB和△CNA中，
∠BAF=∠CAB=AC∠ABF=CAN，
∴△AFB≌△CAN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴⑤正确；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN，
∴③正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC=2AB，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴AEEC=ABBC=AB2AB=22，
∴AE=22EC，
∴④错误，
即正确的有4个，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为 　2.03×10﹣7　米．
【解答】解：某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为2.03×10﹣7米．
故答案为：2.03×10﹣7．
12．（3分）若分式x2-1x+1的值为0，则x＝　1　．
【解答】解：分式x2-1x+1的值为0，得
x2﹣1＝0且x+1≠0．解得x＝1，
故答案为：1．
13．（3分）代数式2x-1与代数式3x-2的值相等，则x＝　﹣1　．
【解答】解：根据题意得：2x-1=3x-2，
去分母得：2（x﹣2）＝3(x﹣1)，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是方式方程的根．
故答案为：﹣1．
14．（3分）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 　36°或45°　．
【解答】解：（1）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，求∠ABC的度数．
∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，
∵∠CDA＝2∠ABC，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝36°，
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，求∠ABC的度数．
∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB
∴∠BAC＝2∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：36°或45°．


15．（3分）已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，则（x﹣2017）2的值是　16　．
【解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，
∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2＝34，
∴（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1＝34，
2（x﹣2017）2+2＝34，
2（x﹣2017）2＝32，
（x﹣2017）2＝16
故答案为16．
16．（3分）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝　30°或120°﹣α．　．

【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1，
∵△OMN是等边三角形，
∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°，
∵∠MNP＝∠AOB＝α，
∴∠PON＝∠PNO，
∴PO＝PN，
△MPO≌△MPN，（SAS）
∴∠OMP＝∠NMP=12∠OMN=12×60°＝30°
（2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，
此时△MPQ是等边三角形，
∴∠MPQ＝60°，
∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
故答案为：30°或120°﹣α．


三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）a3•a+（﹣3a3）2÷a2；
（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣2（a﹣b）2．
【解答】解：（1）原式＝a4+9a6÷a2
＝a4+9a4
＝10a4；

（2）原式＝4a2﹣b2﹣2（a2﹣2ab+b2）
＝4a2﹣b2﹣2a2+4ab﹣2b2
＝2a2﹣3b2+4ab．
18．（8分）因式分解：
（1）ab2﹣4a；
（2）（x2﹣5）2+8（5﹣x2）+16．
【解答】解：（1）原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2）；
（2）原式＝（x2﹣5）2﹣8（x2﹣5）+16
＝（x2﹣5﹣4）2
＝（x2﹣9）2
＝（x+3）2（x﹣3）2．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．

【解答】证明：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADCB=CDAC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D．

20．（8分）化简式子x2-2x+1x2-x÷（x-1x），并在﹣1，0，1，2中选一个合适的数字代入求值．
【解答】解：原式=(x-1)2x(x-1)÷x2-1x
=x-1x•x(x-1)(x+1)
=1x+1，
∵x（x﹣1）≠0，x+1≠0，
∴x≠0，1，﹣1，
故x＝2，
当x＝2时，原式=13．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．
（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 　（3，2），（4，﹣1）　；
（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．

【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）；

（2）①如图1在，点P即为所求（答案不唯一，（2，2），（﹣3，3）也满足条件）；
②如图2中，线段AQ即为所求．
22．（10分）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用 2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元．
（1）该商店第一次购进这种水果多少千克？
（2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克．
由题意，得1000x+2=24002x，
解得x＝100．
经检验，x＝100是所列方程的解．
答：该商店第一次购进水果100千克．

（2）设每千克这种水果的标价是 y 元，则
（100+100×2﹣20）•y+20×0.5 y≥1000+2400+950，
解得y≥15．
答：每千克这种水果的标价至少是15元．
23．（10分）已知：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD为AC边上的中线，过A作AE⊥BD，交BD延长线于点E．

（1）直接写出∠EAD+∠ABD＝　45　°；
（2）如图②，过点C作CF⊥BD于F．求证：BF＝2AE；
（3）在（2）的条件下，如图③，在△ABC的外部作∠BCG＝∠BCF，且满足CG＝CF，连接AG．若AB＝4，求线段AG的长．

【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，∠CBD+∠CDB＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∵∠EDA＝∠CDB，
∴∠EAD＝∠CBD，
∴∠EAD+∠ABD＝∠CBD+∠ABD＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）证明：连接AE，在BF上截取BP＝AE，连接CP，如图2所示：

由（1）知，∠EAD＝∠CBD，
∵AE＝BP，AC＝BC，
∴△AEC≌△BPC（SAS），
∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，
∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP＝∠ACB＝90°，
即∠ECP＝90°，
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴∠CEP＝∠CPE＝45°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD＝90°，∠PCF=12∠ECP＝45°，EF＝PF，
∴CF=12PE＝PF，
∵BD为AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AE＝PF，
∴BF＝BP+PF＝2AE；
（3）解：连接BG，取BG的中点H，连接CE、CH、AH，如图3所示：

则BH=12BG，
∵CG＝CF，∠BCG＝∠BCF，BC＝BC，
∴△BCF≌△BCG（SAS），
∴∠FBC＝∠GBC，BF＝BG，
∴BH=12BF，
由（2）得：BF＝2AE，
∴BH＝AE，
∵∠GBC＝∠FBC＝∠EAC，
∴∠EAC+∠CAB＝∠GBC+∠ABC，
即∠EAB＝∠HBA，
又∵AB＝BA，
∴△ABE≌△BAH（SAS），
∴∠BHA＝∠AEB＝90°，
∴AH⊥BG，
∵BH＝GH，
∴AG＝AB＝4．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知A（0，a）（其中a≠0），B（b，0）且a2+2ab+b2＝0．

（1）三角形AOB的形状是 　等腰直角三角形　．
（2）如图1．若A（0，4），C为OB中点，连接AC，过点A向右作AD⊥AC，且AD＝AC，连CD．过点M（1，0）作直线MP垂直于x轴，交CD于点N，求证：CN＝ND．
（3）如图2，E在AB的延长线上，连接EO，以EO为斜边向上构等腰直角三角形EFO，连接AF，若AB＝4，EB＝3，求△AEF的面积．

【解答】（1）解：∵a2+2ab+b2＝0，
∴（a+b）2＝0，
∴a＝﹣b，
∵A（a，0），B（0，b），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
（2）证明：过点D作DH⊥y轴，垂足为H，HD交MP于点S．则∠AHD＝90°．

∵A（0，4），
∴AO＝BO＝4．
∵C为OB中点，
∴CO＝2．
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠DAH＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠ACO＝∠DAH，
在△CAO和△ADH中，
∠AOC=∠DHA∠ACO=∠DAHAC=DA，
∴△CAO≌△ADH（AAS），
∴HD＝AO＝4，
∵M（1，0），MP垂直于x轴，DH⊥y轴，
∴MO＝HS＝1，∠NMC＝∠NSD＝90°，
∴DS＝HD﹣HS＝4﹣1＝3，CM＝CO+OM＝2+1＝3，
∴DS＝CM，
在△NSD和△NMC中，
∠SND=∠MNC∠NMC=∠NSDDS=CM，
∴△NSD≌△NMC（AAS），
∴CN＝ND；
（3）解：如图2中，过点O作OT⊥EO交EF的延长线于点T，连AT．

∵△EFO为等腰直角三角形，
∴∠FEO＝45°，∠EFO＝90°，
∵OT⊥EO，
∴∠EOT＝90°
∴∠FTO＝45°，
∴△ETO为等腰直角三角形，
∴EO＝OT，
∵∠BOE+∠BOT＝90°，∠AOT+∠BOT＝90°，
∴∠BOE＝∠AOT．
在△BOE和△AOT中，
BO=AO∠BOE=∠AOTEO=TO，
∴△BOE≌△AOT（SAS），
∴∠EBO＝∠TAO，EB＝AT＝3，
∵∠ABO＝45°，
∴∠EBO＝180°﹣∠ABO＝135°，
∴∠TAO＝135°，
∴∠TAE＝∠TAO﹣∠BAO＝135°﹣45°＝90°，
∵AB＝4，EB＝3，
∴AE＝4+3＝7，
∴S△ATE=12•AT•AE=12×3×7=212，
∵△ETO为等腰直角三角形，OF⊥EF，
∴EF＝FT=12ET，
∴S△AFE=12S△ATE=214．