山东省东营市实验中学2022-2023学年第一学期九年级数学期末试卷(含解析)

这是一份山东省东营市实验中学2022-2023学年第一学期九年级数学期末试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期期末教学质量评估试卷
九年级数学
一、选择题（共 10 小题）
1．－2022 的倒数是（ ）
A．2022 B． C．－2022 D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．2x＋3y＝5xy B．（x＋1）（x－1）＝x
C．x3·x2＝x6 D．（x4）3＝x7
3．如图，已知 a∥b，直角三角板的直角顶点在直线 a 上，若∠1＝40°，则∠2 等于（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
4．已知一元二次方程 x2－3x＋1＝0 的两根分别为 m，n，则－m－n－mn 的值是（ ）
A．5 B．3 C．－3 D．－4
5．一个不透明的箱子里装有 m 个球，其中红球 3 个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在 0.3 附近，则可以估算出 m 的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
6．若 与|x－y＋3|互为相反数，则 x＋y 的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．27
7．如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE∥BC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是同一直角坐标系中函数 y1＝2x 和 y2＝ 的图象．观察图象可得不等式 2x＞ 的解集为（ ）
A．－1＜x＜1
B．x＜－1 或 x＞1
C．x＜－1 或 0＜x＜1
D．－1＜x＜0 或 x＞1
9．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为 4cm 的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm
10．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的动点，∠BAC ＝∠MAN＝60°，连接 MN、OM，MN 与 AC 相交于点 E．以下四个结论：
①△AMN 点是等边三角形；
②MN 的最小值是 ；
③若 BM＝3 时，CE＝ ；
④当 OM⊥BC 时，OA2＝DN•AB．
其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（共 8 小题）
11．目前，我国基本医疗保险覆盖已超过 13.5 亿人，数据 13.5 亿用科学记数法表示为 ．
12．因式分解：a2b－2ab＋b＝ ．
13．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的 30 名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是 分 ．


14．如图，在⊙O 中，弦 AC∥半径 OB，∠BOC＝50°，则∠OAB 的度数为 ．

15．若关于 x 的一元二次方程（k－1）x2－4x－1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ．
16．如图，在△ABC 中，点 F、G 在 BC 上，点 E、H 分别在 AB、AC 上，四边形 EFGH 是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC 的高，BC＝8，AD＝6，那么 EH 的长为 ．


17．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点 A 在反比例函数 （x＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为 ．

18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为 4 的等边三角形，边 AO 在 y 轴上，点 B1，B2，B3，…都在直线 上，则点 A2021 的坐标是 ．


三、解答题（共 6 小题）
19．（1）计算：；


（2）先化简，再求值：，其中 m＝ ．


20．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．





21．如图，在△ACD 中，点 B 为 AC 边上的点，以 AB 为直径的⊙O 与 CD 相切于点 E，连接 AE，∠D＝2∠EAC．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若∠D＝60°，⊙O 的半径为 4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）



22．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，位于中国广东省伶仃洋区域内，为珠江三角洲地区环线高这公路南环段，青州航道桥“中国结三地同心”主题的斜拉索塔如图（1）所示．某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题，请你解答．
如图（2），BC，DE 为主塔 AB（主塔 AB 与桥面 AC 垂直）上的两条钢索，桥面上 C，D 两点间的距离为 16m．主塔上 A、E 两点的距离为 18.4m．已知 BC 与桥面 AC 的夹角为 30°，DE 与桥面 AC 的夹角为 38°，求主塔 AB的高．（结果精确到 1 米，参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8．tan38°≈0.8）




23．如图，抛物线 y＝ax2＋bx－3（a≠0）与 x 轴交于点 A（－1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点 Q，使△ACQ 的周长最小，求点 Q 的坐标；
（3）P 是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC 面积 S 的最大值及此时 P 点的坐标．



24．问题探究
（1）在△ABC 中，BD，CE 分别是∠ABC 与∠BCA 的平分线． ①若∠A＝60°，AB＝AC，如图 1，试证明 BC＝CD＋BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图 2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形 ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图 3，试探究线段 AD，BC，AC 之间的等量关系，并证明．






2022-2023学年第一学期期末教学质量评估试卷
九年级数学解析
一、选择题（共 10 小题）
1．－2022 的倒数是（ ）
A．2022 B． C．－2022 D．
【解答】解：－2022 的倒数是：．
故选：B．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．2x＋3y＝5xy B．（x＋1）（x－1）＝x
C．x3·x2＝x6 D．（x4）3＝x7
【解答】解：2x＋3y 不能合并同类项，故 A 错误，不符合题意；
（x＋1）（x－1）＝x2－1，故 B 正确，符合题意；
x3•x2＝x5，故 C 错误，不符合题意；
（x4）3＝x12，故 D 错误，不符合题意；
故选：B．
3．如图，已知 a∥b，直角三角板的直角顶点在直线 a 上，若∠1＝40°，则∠2 等于（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【解答】解：∵直角三角板的直角顶点在直线 a 上，∠1＝40°，
∴∠3＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．已知一元二次方程 x2－3x＋1＝0 的两根分别为 m，n，则－m－n－mn 的值是（ ）
A．5 B．3 C．－3 D．－4
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程 x2－3x＋1＝0 的两根为 m，n，
∴m＋n＝3，mn＝1，
∴－m－n－mn＝－（m＋n）－mn＝－3－1＝－4．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系式是解题关键．
5．一个不透明的箱子里装有 m 个球，其中红球 3 个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在 0.3 附近，则可以估算出 m 的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
【解答】解：由题意知，m 的值约为 3÷0.3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
6．若 与|x－y＋3|互为相反数，则 x＋y 的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．27
【分析】利用互为相反数两数之和为 0 列出关系式，再利用非负数的性质得出方程组，求出方程组的解得到 x与 y 的值，即可求出 x＋y 的值．
【解答】解：由题意得：，
可得， ②－①得：y＝6，
把 y＝6 代入②得：x＝3，
则 x＋y＝9，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE∥BC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解: A、∵DE∥BC，
∴ ，故正确；
B、∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，故错误；
C、∵DE∥BC，
∴ ，故错误；
D、∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，故错误；
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．
8．如图是同一直角坐标系中函数 y1＝2x 和 y2＝ 的图象．观察图象可得不等式 2x＞ 的解集为（ ）
A．－1＜x＜1
B．x＜－1 或 x＞1
C．x＜－1 或 0＜x＜1
D．－1＜x＜0 或 x＞1
【分析】结合图象，数形结合分析判断．
【解答】解：由图象，函数 y1＝2x 和 y2＝ 的交点横坐标为－1，1，
∴当－1＜x＜0 或 x＞1 时，y1＞y2，即 2x＞ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解题是关键．
9．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为 4cm 的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm
【分析】求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
【解答】解：设半圆形铁皮的半径为 rcm，
根据题意得：πr＝2π×4，
解得：r＝8，
所以围成的圆锥的母线长为 8cm，
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．
10．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的动点，∠BAC ＝∠MAN＝60°，连接 MN、OM，MN 与 AC 相交于点 E．以下四个结论：
①△AMN 点是等边三角形；
②MN 的最小值是 ；
③若 BM＝3 时，CE＝ ；
④当 OM⊥BC 时，OA2＝DN•AB．
其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由四边形 ABCD 是菱形得 AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC 和△ADC 都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得 AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN 是等边三角形，可判断①正确；
当 AM⊥BC 时，AM 的值最小，此时 MN 的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2 可求得 MA＝AM＝ ，可判断②正确；
证明△ABM∽△CME，求得 CE，可判断③正确；
由 CB＝CD，BM＝CN 得 CM＝DN，再证明△OCM∽△BCO，得 ，所以 OC2＝CM•CB，即 OA2＝DN• AB，可判断④正确．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°－∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∵AM＝AN，
∴△AMN 是等边三角形，
故①正确；
当 AM⊥BC 时，AM 的值最小，此时 MN 的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝4，
∴MN＝AM＝AB•sin60°＝4× ，
∴MN 的最小值是 ，故②正确；
∵BM＝3，
∴CM＝4－3＝1，
∵∠AMN＝∠ABM＝∠MCE＝60°，
∴∠AMB＋∠BAM＝∠AMB＋∠CME＝120°，
∴∠BAM＝∠CME，
∴△ABM∽△CME，
∴ ，即 ，
∴CE＝ ，故③正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB－BM＝CD－CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴ ，
∴OC2＝CM•CB，
∴OA2＝DN•AB，
故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
二、填空题（共 8 小题）
11．目前，我国基本医疗保险覆盖已超过 13.5 亿人，数据 13.5 亿用科学记数法表示为 1.35×109 ．
【分析】根据科学记数法的要求进行即可．
【解答】解：13.5 亿＝1350000000＝1.35×109．
故答案为：1.35×109．
【点评】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定 a，运用整数位数减去 1 确定 n 值是解题的关键．
12．因式分解：a2b－2ab＋b＝ b（a－1）2 ．
【分析】先提公因式 b，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝b（a2－2a＋1）
＝b（a－1）2，
故答案为：b（a－1）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
13．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的 30 名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是 98 分 ．



【分析】根据众数的定义进行解答即可．
【解答】解：98 出现了 10 次，出现的次数最多，则众数是 98 分．
故答案为：98 分．
【点评】此题考查了众数．解题的关键是掌握求众数的方法，众数是一组数据中出现次数最多的数．
14．如图，在⊙O 中，弦 AC∥半径 OB，∠BOC＝50°，则∠OAB 的度数为 25° ．


【分析】由圆周角定理求得∠BAC＝25°，由 AC∥OB，∠BAC＝∠B＝25°，由等边对等角得出∠OAB＝∠B＝25°，即可求得答案．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BOC＝50°，
∴∠BAC＝25°，
∵AC∥OB，
∴∠BAC＝∠B＝25°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝25°，
故答案为：25°
【点评】此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
15．若关于 x 的一元二次方程（k－1）x2－4x－1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k＞－3 且 k≠1 ．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（－4）2－4（k－1）×（－1）＝4k＋12＞0，
∴k＞－3，
∵k－1≠0，
∴k＞－3 且 k≠1，
故答案为：k＞－3 且 k≠1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
16．如图，在△ABC 中，点 F、G 在 BC 上，点 E、H 分别在 AB、AC 上，四边形 EFGH 是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC 的高，BC＝8，AD＝6，那么 EH 的长为 ．


【分析】设 AD 交 EH 于点 R，由矩形 EFGH 的边 FG 在 BC 上证明 EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得 ，其中 BC＝8，AD＝6，AR＝，可以列出方程 ，解方程求出 EH 的值即可．
【解答】解：设 AD 交 EH 于点 R，
∵矩形 EFGH 的边 FG 在 BC 上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC 于点 D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴ ，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EF＝ ，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6－ ，
∴ ，
解得 EH＝ ，
∴EH 的长为 ，
故答案为： ．

【点评】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
17．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点 A 在反比例函数 （x＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为 ．


【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 ，进而由 S△AOD，得 S△BOC，便可得出答案．
【解答】解：过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，
∵∠BOA＝90°，

∴∠BOC＋∠AOD＝90°，
∵∠AOD＋∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴ ，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴ ，
∴ ，
∵点 A 在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴ S△AOD，
∴S△BCO＝ ，
设经过点 B 的反比例函数的解析式为：y＝ ，
∴ ∣m∣＝2S△BCO＝，
∵经过点 B 的反比例函数图象在第二象限，
∴m＝ ，
故反比例函数解析式为：．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出 S△BCO 的值是解题关键．
18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为 4 的等边三角形，边 AO 在 y 轴上，点 B1，B2，B3，…
都在直线 上，则点 A2021 的坐标是 （ ，4046） ．



【分析】过 B1 作 B1C⊥x 轴，垂足为 C，由条件可求得∠B1OC＝30°，利用直角三角形的性质可求得 B1C＝2，OC＝ ，可求得 A1 的坐标，同理可求得 A2、A3 的坐标，则可得出规律，可求得 A2021 的坐标．
【解答】解：如图，


∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为 4 的等边三角形，
∴∠AOB1＝∠AB1B2＝∠A2B2B3＝…＝60°，
∴AO∥A1B1∥A2B2∥…，
∵AO 在 y 轴上，
∴A1B1⊥x 轴，A2B2⊥x 轴，…
过 B1 作 B1C⊥x 轴，垂足为 C，
∵点 B1 在直线 上，
设 B1（x， ），
∴∠B1OC＝30°，
∵△OAB1 是等边三角形，且边长为 4，
∴B1C＝2，OC＝，
∴A1 的坐标为（ ，4＋2），
同理 A2（ ，4＋4）、A3（ ，4＋6），
∴A2021 的坐标为（ ，4046），
故答案为：（ ，4046）．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，利用等边三角形和直角三角形的性质求得 A1 的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题（共 6 小题）
19．（1）计算：；

（2）先化简，再求值：，其中 m＝ ．
【分析】（1）利用平方差公式计算、代入三角函数值、计算零指数幂和乘方，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4－3＋2× －1＋4
＝4－3＋ －1＋4
＝4＋ ；
（2）原式＝，




当 m＝ 时，
原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值和实数的运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 99 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．



【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有 25 种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有 5 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°× ＝99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120× ＝18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120－30－33－18－15＝24（名），
补全条形统计图如下：

（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为 A、B、C、D、E，画树状图如下：

共有 25 种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有 5 种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为 ＝ ．
21．如图，在△ACD 中，点 B 为 AC 边上的点，以 AB 为直径的⊙O 与 CD 相切于点 E，连接 AE，∠D＝2∠EAC．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若∠D＝60°，⊙O 的半径为 4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）


【分析】（1）由切线的性质得到∠COE＋∠C＝90°，再证得∠D＝∠COE，进而得到∠D＋∠C＝90°，即可证得
AD 是⊙O 的切线；
（2）根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵OA＝OE，
∴∠EAC＝∠AEO，
∵∠COE＝∠EAC＋∠AEO＝2∠EAC，
∵∠D＝2∠EAC，
∴∠D＝∠COE，
∵⊙O 与 CD 相切于点 E，
∴∠OEC＝90°，
∴∠COE＋∠C＝90°，
∴∠D＋∠C＝90°，
∴∠DAC＝180°－∠C－∠D＝90°，
∴DA⊥AB，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴AD 是⊙O 的切线；
（2）解：由（1）得，∠BOE＝∠D＝60°，
∴∠C＝30°，
∴OC＝2OE＝2×4＝8，
在 Rt△OCE 中，
CE＝ ，
∴阴影部分的面积＝S△OCE－S 扇形 OBE＝．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，扇形的面积公式，圆周角定理，证得∠D＝∠COE 是解决问题的关键．
22．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，位于中国广东省伶仃洋区域内，为珠江三角洲地区环线高这公路南环段，青州航道桥“中国结三地同心”主题的斜拉索塔如图（1）所示．某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题，请你解答．
如图（2），BC，DE 为主塔 AB（主塔 AB 与桥面 AC 垂直）上的两条钢索，桥面上 C，D 两点间的距离为 16m．主塔上 A、E 两点的距离为 18.4m．已知 BC 与桥面 AC 的夹角为 30°，DE 与桥面 AC 的夹角为 38°，求主塔 AB的高．（结果精确到 1 米，参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8．tan38°≈0.8）


【分析】根据锐角三角函数的定义可求出 AD 的长度，然后即可求出 AC 的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：在 Rt△ADE 中，tan∠ADE＝ ，
∴AD＝，
∴AC＝AD＋CD＝23＋16＝39，
在 Rt△ABC 中，tan∠C＝ ，
∴AB＝AC•tan∠C＝39×tan30°＝39× ＝13 ，
≈23（米），
答：主塔 AB 的高约为 23 米；
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
23．如图，抛物线 y＝ax2＋bx－3（a≠0）与 x 轴交于点 A（－1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点 Q，使△ACQ 的周长最小，求点 Q 的坐标；
（3）P 是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC 面积 S 的最大值及此时 P 点的坐标．



【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接 CB 交对称轴于点 Q，当 C、B、Q 三点共线时，△ACQ 的周长最小，直线 BC 与对称轴的交点即为所求 Q 点；
（3）过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D．设点 P 坐标为（t，t2－2t－3），
则 S＝，
当 t＝ 时，S 的最大值为 ，此时 P（ ， ）．
【解答】解：（1）将点 A（－1，0），B（3，0），代入 y＝ax2＋bx－3，

∴ ，
解得 ，
∴y＝x2－2x－3；
（2）连接 CB 交对称轴于点 Q，
∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，
∵A、B 关于对称轴 x＝1 对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC＋AQ＋CQ＝AC＋CQ＋BQ≥AC＋BC，
当 C、B、Q 三点共线时，△ACQ 的周长最小，
∵C（0，－3），B（3，0），
设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x－3，
∴Q（1，－2）；
（3）过点 P 作 PG∥y 轴交 BC 于点 G，
设点 P 坐标为（t，t2－2t－3），则 G（t，t－3），
∴PG＝t－3－（t2－2t－3）＝－t2＋3t，
∴S＝ ×3×（－t2＋3t）＝－（t－ ）2＋ ，
∴当 t＝ 时，S 的最大值为 ，
此时 P（ ， ）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
24．问题探究
（1）在△ABC 中，BD，CE 分别是∠ABC 与∠BCA 的平分线． ①若∠A＝60°，AB＝AC，如图 1，试证明 BC＝CD＋BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图 2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形 ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图 3，试探究线段 AD，BC，AC 之间的等量关系，并证明．
【分析】（1）①证明△ABC 是等边三角形，可得结论；
②结论成立．如图 2 中，设 BD 交 CE 于点 O，在 BC 上取一点 G，使得 BG＝BE，连接 OG．证明△EBO≌△
GBO（SAS），推出∠BOE＝∠BOG＝60°，再证明△OCD≌△OCG（ASA），推出 CD＝CG，可得结论；
（2）结论：AC＝AD＋BC．如图 3 中，作点 B 关于 AC 的对称点 E，连接 AE，EC．证明满足②条件，利用②中结论解决问题．
【解答】（1）①证明：如图 1 中，

∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵BD，CE 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴点 D，E 分别是 AC，AB 的中点，
∴BE＝ AB＝ BC，CD＝ AC＝ BC，
∴BE＋CD＝BC；
②解：结论成立．
理由：如图 2 中，设 BD 交 CE 于点 O，在 BC 上取一点 G，使得 BG＝BE，连接 OG．

∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∵BD，CE 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝ ∠ABC＋ ∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝180°－60°＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOG＝60°，
∴∠COD＝∠COG＝60°，
∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，
∴△OCD≌△OCG（ASA），
∴CD＝CG，
∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC；
（2）解：结论：AC＝AD＋BC．
理由：如图 3 中，作点 B 关于 AC 的对称点 E，连接 AE，EC．

∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠DAB＋∠BCD＝180°，
∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，
∴3∠BAC＋3∠ACD＝180°，
∴∠BAC＋∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠FAC＋∠FCA＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠EFC＝60°，
∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，
由②可知 AD＋EC＝AC，
∵EC＝BC，
∴AD＋BC＝AC．