2023年八年级下学期数学开学考试卷（深圳专用）（解析版）

这是一份2023年八年级下学期数学开学考试卷（深圳专用）（解析版），共21页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年八年级下学期开学摸底考试卷
数学
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．5，6，7 D．1，，3
【答案】B
【分析】将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形．
【详解】A、∵42+52=41；62=36，
∴42+52≠62，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
B、∵32+42=9+16=85；52=25，
∴32+42=52，
则此选项线段长能组成直角三角形；
C、∵52+62=61；72=49，
∴52+62≠72，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
D、∵12+（）2=3；32=9，
∴12+（）2≠32，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
故选B
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
2．下列命题错误的个数有（　　）
①实数与数轴上的点一一对应；②无限小数就是无理数；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据实数与数轴的关系可判断①为真命题；根据无理数定义可判断②为假命题；根据三角形的一个外角性质可判断③为真命题；根据平行线性质可判断④为假命题即可．
【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，所以①为真命题；
无限不循环小数是无理数，所以②为假命题；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，所以③为真命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以④为假命题；
∴命题不正确的有两个．
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质，掌握实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
3．已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（    ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值．
【详解】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2

则这些学生年龄的众数和中位数分别是（　　）A．15，15 B．15，13 C．15，14 D．14，15
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义计算判断即可．
【详解】∵数据15出现的次数最多，为4次，
∴该组数据的众数是15；
∵该组共有1+3+4+2=10个数据，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数，
∵1+3＜5＜1+3+4，1+3＜6＜1+3+4，
∴第五个，第六个数据都在15这一组中，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数为=15，
故选A．
【点睛】本题考查了数据的众数，中位数，熟练掌握众数的定义，中位数的定义，并能灵活确定数据，准确计算中位数是解题的关键．
5．两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．＝﹣5
【答案】A
【分析】由二次根式的乘法运算可判断A，由二次根式的化简可判断B，D，由二次根式的加法运算可判断C，从而可得答案.
【详解】解：故A符合题意；
是最简二次根式，不能化简，故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法运算与加法运算，熟悉二次根式的化简与加法，乘法的运算法则是解本题的关键.
7．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%．将某种果汁饮料每瓶的价格上调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，根据题意，列出方程组即可．
【详解】解：设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，
由题意得，．
故选A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键．
8．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【详解】解：，
∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝，
∴AB2＋AC2＋BC2＝10，
∴S阴影＝×10＝5．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系是解决本题的关键．
9．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则一次函数y=﹣bx+k的图象大致是（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中的一次函数图像判断出、的正负，进而确定y=﹣bx+k的参数正负，最后根据一次函数图像与参数的关系，找出根据符题意的图像即可．
【详解】解：由题意及图像可知：，，
y=﹣bx+k中的，，
由一次函数图像与参数的关系可知：D选项符合条件，
故选：D．
【点睛】本题主要是考查了一次函数图像与参数的关系，熟练掌握参数的正负与函数图像的关系，是解决该题的关键．
10．正方形，…按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线解析式先求出，进而证明、…都是等腰直角三角形，则可得的纵坐标是1，再求出的纵坐标是2，的纵坐标是，得出规律，即可得出结果．
【详解】解：设直线与x轴的交点为D，
∵直线与x轴，y轴的交点坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵正方形，…
∴、…都是等腰直角三角形，
∴ …，
∴点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
…
点的纵坐标为，
故选：B．

【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定，明确题意，准确得到规律是解题的关键．




二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．4的算术平方根为______________．
【答案】2
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查算术平方根的定义（如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根），熟练掌握该知识点是解题关键．
12．已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】20
【分析】通过观察已知方程组中x，y的系数，根据加减法，即可得答案．
【详解】由 ，
两式相加，可得，
故答案为：20 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用等式的性质把两式相加是解题的关键．
13．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为___________．

【答案】
【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：解：∵直线与交点的横坐标为1，
∴纵坐标为，
∴两直线交点坐标，
∴x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
14．为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”）

【答案】＞
【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞．
【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD==，AB==，
∴BD+AD=+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键．
15．如图所示，已知点，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段，上的动点，当取最小值时，点P的坐标是 ___________．

【答案】
【分析】先找到点N关于的对称点，当取最小值时，即时，再求出直线的解析式，联立，即可求出答案．
【详解】如图，点N关于的对称点，过点作交于M，则的最小值为，
∵直线的解析式为，
设直线的解析式为，代入，

∴，
∴直线的解析式为
联立，
得
∴P点坐标为

故答案为：

【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，涉及一次函数图象的性质、等腰三角形的性质和垂线段最短等知识，解题关键是作出最短路线时的图形．


三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题8分，第18题5分，第19题10分，第20题7分，第21题8分，第22题11分，共55分）
16. 计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据二次根式的性质，二次根式的除法，二次根式的乘法及平方差公式计算，再算加减．
【详解】（1）解：



（2）解：


【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

17．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）整理后用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1），
①×5+②得：17x＝51，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝4，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②×5得：21x＝﹣21，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．

18. 为拓宽学生的知识面，某校开展了读书活动，学校对本校八年级学生9月份的读书数量进行了随机抽样调查，对所有随机抽取的学生的读书数量（单位：本）进行了统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

(1)请补全条形统计图；
(2)本次所抽取学生9月份读书数量的众数为_______本，中位数为_______本；
(3)根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级1500名学生中，9月份读书数量不少于4本的学生人数．
【答案】(1)补全条形统计图见解析
(2)3，3
(3)估计9月份读书数量不少于4本的学生有450人

【分析】（1）根据题意求出被调查的学生总人数，从而可求出读书数量为4本的人数，即可补全统计图；
（2）根据众数和中位数的概念即可求解；
（3）求出被调查的人数中读书数量不少于4本的学生人数所占百分比，再乘该校八年级总人数即可．
【详解】（1）∵调查的学生总人数为5÷10%=50（人），
∴读书数量为4本的有50-(5+10+20+5)=10（人）．
故补全统计图，如图所示：

（2）∵读3本的人数最多，
∴众数为3本．
50人中处于最中间的为第25和第26人，两人都为读了3本，
∴中位数为3本．
故答案为：3，3；
（3）（人），
答：估计9月份读书数量不少于4本的学生有450人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，中位数和众数，由样本估计总体．根据条形统计图和扇形统计图找出必要的信息和数据是解题关键．

19．．在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进  行销售，两次购进的同一商品进价相同，购进数量和所需费用如表所示：
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪

第一次
30
40
8300
第二次
40
30
6400

(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件．
①若设购进测温枪件，该公司销售完上述1000件商品获得的利润为元，请写出与的函数关系式；   
②若购买消毒液得数量不小于温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
【答案】(1)消毒液进价为10元、测温枪进价为200元
(2)①，②16000元

【分析】（1）设消毒液和测温枪每件的进价分别为 元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）①设购进消毒液件，则购进测温枪件，利润为元，根据题意列出函数关系式；
②根据题意求得，根据一次函数的性质得出最值即可求解．
【详解】（1）解：设消毒液和测温枪每件的进价分别为 元，元．
由题意得：
解得：
所以消毒液进价为10元、测温枪进价为200元．
（2）①设购进消毒液件，则购进测温枪件，利润为元．
由题意得：     
∴
②∵购买消毒液得数量不小于温枪数量的4倍
∴
                        
又∵是关于的一次函数，同时
∴随着的增大而减小，
当时，最大
∴最大利润为16000元
【点睛】本题考查了二元次一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组、不等式、函数关系式是解题的关键．


20. 如图，为了求平面直角坐标系中任意两点A，B之间的距离，可以为斜边作，则点C的坐标为C（），于是，根据勾股定理可得．反之，可以将代数式的值看做平面内点到点的距离．例如：可将代数式看作平面内点到点的距离．

根据以上材料解决下列问题：
(1)若点，求P，Q两点间的距离；
(2)若点，点O是坐标原点，判断是什么三角形，并说明理由．
(3)求代数式的最小值．
【答案】(1)13
(2)直角三角形，见解析
(3)

【分析】（1）利用距离公式进行求解即可；
（2）利用距离公式，分别求出，利用勾股定理逆定理，得出是直角三角形；
（3）式子表示点到点距离，以及点到点的距离之和的最小值，根据两点之间，线段最短，即可得解．
【详解】（1）解： P，Q两点间的距离为：
；
（2）是直角三角形，
理由如下：
，
，
，
则，                
∴是直角三角形；
（3）解：：表示点到点和点的距离之和的最小值，
∴当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和最小，其最小值为以两点和为端点的线段长度，
∴的最小值为：
【点睛】本题考查坐标系下两点间的距离．理解并掌握两点间的距离公式是解题的关键．


21．（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个；

（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可得出、、、的数量关系；
（2）分别以点、、为交点，观察图形，即可得出答案；
（3）根据（1），得出，，再两式相加，结合角平分线的定义，可得，再把，代入计算即可得到答案；
（4）根据（1），得出，，然后整理，得出，，再结合角平分线的定义，得出，即，然后等量代换，得出，进而即可得出结论．
【详解】解：（1）结论为：，理由如下：
∵，
又∵，
∴；
故答案为：
（2）交点有点、、，
以为交点有1个，为与，
以为交点有4个，为与，与，与，与，
以为交点有1个，为与，
综上所述，“8字形”图形共有6个；
故答案为：
（3）由（1）可知：，
，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
得：
，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（4）关系：，
由（1）可知：，，
∴，，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质是解题的关键．


22. 建立模型：如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．
实践操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

【答案】实践操作：详见解析；模型应用：（1）y=x+4；（2）A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．
【解析】
【分析】
操作：根据余角的性质，可得∠ACD＝∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；
应用（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；
（2）分两种情况讨论：①当Q在直线AP的下方时，②当Q在直线AP的上方时．根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】操作：如图1：

∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．
在△ACD和△CBE中，∵，∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（1）∵直线yx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，4）、B（﹣3，0）．如图2：

过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴．
在△BDC和△AOB中，∵，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3）．
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得：，解得：，l2的函数表达式为yx+4；
（2）由题意可知，点Q是直线y＝2x﹣6上一点．分两种情况讨论：
①当Q在直线AP的下方时，如图3，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a，解得：a＝4．

②当Q在直线AP的上方时，如图4，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a．
在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a，解得：a．

综上所述：A．P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出∠ACD＝∠CBE是解题的关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出CD，BD的长是解题的关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏．