2021-2022学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集的定义求解即可.

【详解】因为集合，，

则.

故选：D.

2．已知，，则是的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】可举例说明时不成立;对分类讨论去绝对值证明时有成立.

【详解】令，，满足，但，故不能推出，

当，时，

①当时，，②当时，，

故能推出，

故是的必要不充分条件.

故选：C.

3．设命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可.

【详解】由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题：，，

则命题的否定是：，.

故选：B.

4．已知,定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则

A．为减函数 B．为增函数

C．是减函数 D．是增函数

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得，设且，因为是增函数，所以，因为是减函数，所以，所以，所以函数为增函数，故选B.

【解析】函数单调性的判定.

5．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．10

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性的定义判断为奇函数，再由奇函数求值即可.

【详解】的定义域为，

且，

所以为奇函数，

由，

则.

故选：C.

6．若实数a，b满足，则下列式子正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质以及幂函数的单调性分别进行判断即可.

【详解】对A，，，因为，所以. 因为幂函数在上为增函数，所以，A错；

对B，因为幂函数在上为增函数，所以成立，B对；

对C，因为，，且幂函数在上为增函数，所以，C错；

对D，因为幂函数在上为增函数，所以，D错；

故选：B.

7．定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集.

【详解】定义在上的奇函数满足，可得，

当时，，当时，，可得时，；时，，

则等价为或，解得或，即所求解集为.

故选：C.

8．，，恒成立，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，将原不等式变形可得，结合基本不等式的性质可得成立，进而可得，解可得的取值范围，即可得答案.

【详解】根据题意，，，恒成立，必有，

变形可得，

又由，当且仅当时等号成立，

若恒成立，必有，

又由､，则，必有，

解可得或，

而，则，即的最小值为2，

故选：B.

二、多选题

9．下列四组函数与，其中表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BC

【分析】分别求得各个选项函数的定义域和对应法则，由只有定义域和对应法则完全一样，才是同一函数，可得结论.

【详解】对于A，，即，它们的定义域不同，故不为同一函数；

对于B，，即，它们的定义域相同，对应法则一样，故为同一函数；

对于C，即，即，它们的定义域相同，对应法则一样，故为同一函数；

对于D，即，即，它们的定义域相同，对应法则不一样，故不为同一函数.

故选：BC.

10．设，，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．是的真子集 D．

【答案】CD

【分析】把，配方，求其值域，即可判断得出结果.

【详解】因为，

，

即集合比集合多一个元素1，因此，.

故选：CD.

11．的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，下列结论正确的（    ）

A．函数没有对称中心

B．函数的对称中心为

C．函数的对称中心的横坐标为

D．定义在的函数的图象关于点成中心对称.当时，，则的值域为

【答案】BD

【分析】由条件的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，结合对称中心的定义判断ABC选项，利用为奇函数求出值域，从而可求得上的值域，判断D选项.

【详解】由于的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，

对于A，因为，

所以，满足，是奇函数，

故关于点对称，故A错误；

对于B，因为，定义域为，满足，是奇函数，

所以点为的对称中心，故B正确；

对于C，设的对称中心为，

设，则，即，

即，

所以恒成立，即，

所以，故函数的对称中心的横坐标为，故C错误；

对于D，因为定义在的函数的图象关于点成中心对称.

所以可得为奇函数，

设，即是奇函数，

当时，，

所以，

时，，所以，

所以时，，故D正确；

故选：BD.

12．设、分别为中a、b两边上的高，的面积记为S.当时，下列不等式正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由题可得，.作差法可判断A；用基本不等式可判断B；分别化简不等式左边和右边可判断C；假设法可判断D.

【详解】如图，

易知，.

A：（当时取等号），，故A正确；

B：（当时取等号），故B正确；

C：，

又（当时取等号），，故C正确；

D：假设成立，

则，

即，

即，

当且时上式不成立，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】保证被开方式大于等于零即可

【详解】解：若使得函数有意义，

只需，解得，

所以函数的定义域为，

故答案为：.

14．函数的单调增区间为___________.

【答案】，

【分析】将解析式化为分段函数的形式，作出函数图象可得单调增区间.

【详解】，作出函数的图象，

由图可知的单调增区间为，.

故答案为：，.

15．已知＞0，＞，则的最小值为________．

【答案】18

【分析】把式子x+y变形为x+y=（x+y）（），再利用基本不等式求出它的最小值．

【详解】已知＞0，＞，则x+y=（x+y）（）=10+≥10+2=18当且仅当即x=6，y=12时，等号成立．故x+y的最小值为18．

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子进行的变形是解题的关键．

16．已知，，令，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可.

【详解】解：令，解得或，

则，

当或时，，

当时，函数没有最小值但大于，

综上：函数的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．集合，.求，，.

【答案】答案见解析．

【分析】根据集合的基本运算即可求解.

【详解】或，，

∴，，或．

18．已知定义在上的函数，

(1)求证：为偶函数；

(2)用定义法证明在上单调递增.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由偶函数定义证明是偶函数.

（2）根据函数单调性的定义进行证明即可.

【详解】(1)由题知，因为，，

所以，故为偶函数；

(2)当时，，

任取，，且，

则，因为，所以，，所以，所以，即，所以在上单调递增.

19．已知二次函数，

(1)若不等式的解集为，求a、b的值.

(2)当时，方程有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.

【答案】(1)a，b的值分别为

(2)

【分析】（1）根据题意可得1，2是方程的两个实数根，列方程，从而即可求出a与b的值；

（2）根据函数图象列不等式，进一步即可求出a的取值范围.

【详解】(1)根据题意，1，2是方程的两个实数根，

∴，解得，

∴a，b的值分别为；

(2)当时，，图象开口向下，

∵有一个根小于1，一个根大于1，

∴，整理得，解得，

所以实数的取值范围是.

20．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量x（单位：个）满足函数：.

(1)将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入总成本利润）

(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？（单位利润利润产量）

【答案】(1)

(2)当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元

【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.

（2）设零件的单位利润为，得到的解析式，再结合基本不等式的公式，即可求解.

【详解】(1)当时，，

当时，，

故.

(2)设零件的单位利润为，

则，

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

当时，，

故当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.

21．，，，为四个互不相等的实数.若A､B､C､D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A､B､C､D中最小的数.

【答案】，A､B､C､D中最小的数为D

【分析】先由A､B､C､D中C最大可得，，，从而解出a的范围，再检验四个数互不相等并得出最小值．

【详解】由题意得，，解得，，

，解得，且，

，解得，或，

综上所述，，

当时，

最大，，，，

经检验，，故四个数互不相等，

故实数a的取值范围为，

A､B､C､D中最小的数为D.

22．已知函数，.

(1)求的值域；

(2)讨论在上的单调性；

(3)设，，证明：.

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式的性质即可求；

（2）求得解析式，令，可得，（），对a分类讨论，利用二次函数的性质及复合函数的单调性即可判断判断在上的单调性；

（3）由（2）可知，时，的最小值为，则，同理当时，的最小值可能是或，代入即可得到.

【详解】(1)由基本不等式，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的值域为；

(2)，令，，设，

i. 当，即，

当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；

当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；

ii. 当时，即时，令，解得，，

当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；

当时，，关于单调递减，单调递减，所以单调递增；

当时，，关于单调递增，单调递减，所以单调递减；

当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；

综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在和单调递减，在和单调递增.

(3)证明：i. 根据（2）的结论，时，的最小值为，

此时，，得，，所以，

ii. 时，的最小值可能是或，而，所以，

此时，，，且，所以，

综上可知，当时，.