2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高一上学期第二次月考数学试题(解析版)
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这是一份2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高一上学期第二次月考数学试题(解析版),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题1.命题“”的否定是( )A. B.C. D.不存在,【答案】B【分析】直接利用存在性命题的否定解答即可.【详解】根据存在性命题的否定知,命题的否定是.故选:B2.下列函数中,周期为的是( )A.y=sin B.y=sin2xC.y=cos D.y=cos(-4x)【答案】D【解析】根据周期公式求解即可.【详解】根据公式的周期为,故A错误;的周期为,故B错误;的周期为,故C错误;的周期为,故D正确;故选:D【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期,属于基础题.3.若正实数a,b满足lg a+lg b=1,则的最小值为( )A. B.2 C. D.2【答案】D【解析】应用对数运算得到,由目标式结合基本不等式有即可求其最小值.【详解】∵,即,∴,而,∴当且仅当时等号成立.∴的最小值为2.故选:D【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方4.若扇形的面积为,圆心角为,则该扇形的弧长为( ).A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】直接利用扇形面积公式计算得到,再计算弧长得到答案.【详解】, 故选:【点睛】本题考查了扇形面积,弧长的计算,意在考查学生的计算能力.5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车,及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少要经过( )小时才能驾驶.(参考数据:,)A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【分析】设经过个小时才能驾驶,则,再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【详解】设经过个小时才能驾驶,则,即 由于在定义域上单调递减,∴ ∴他至少经过5小时才能驾驶.故选:C6.若函数的图象和轴有交点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】将题意等价转化为函数的图象与的图象有交点,根据指数函数的性质可得,列出关于的不等式,解出即可.【详解】函数的图象和轴有交点,即方程,等价于函数的图象与的图象有交点,时,,即,解得,即实数的取值范围是,故选:D.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用问题,将问题转化为函数的图象与的图象有交点是解题的关键,属于基础题.7.化简:=( )A.-sinθ B.sinθC.cosθ D.-cosθ【答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】原式=,=,=-sinθ.故选:A8.已知函数f (x)=,若f (2a2-5a+4)<f (a2+a+4) ,则实数a的取值范围是( )A.∪(2,+∞) B.[2,6)C.∪[2,6) D.(0,6)【答案】C【解析】由解析式知在定义域上递增,由已知函数不等式有,即可求解a的取值范围.【详解】由题意,在上单调递增,∵,即,∴或,可得或.故选:C【点睛】关键点点睛:利用函数的单调性,列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略. 二、多选题9.下列四个命题:其中不正确命题的是( )A.函数在上单调递增,在上单调递增,则在R上是增函数B.若函数与x轴没有交点,则且C.当时,则有成立D.和不表示同一个函数【答案】ABC【分析】结合单调性的概念,二次函数的图象,不等式的性质和函数的定义判断各选项,错误选项可举反例说明.【详解】A不正确,如满足题意,但在上不是增函数;B不正确,若且,的图象与轴也没有交点;C不正确,若满足,但;D正确,,值域为,值域是,不是同一函数.故选:ABC.10.已知,则下列不等式成立的是( )A. B.C. D.【答案】ACD【解析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解:因为,为减函数,所以,因为,为增函数,所以,又因为在区间上为减函数,在区间上也为减函数,所以,同理可得,,故选:ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题,主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题,熟记初等函数的单调性是关键.11.对于函数下列说法中不正确的是A.该函数的值域是B.当且仅当时,函数取得最大值1C.当且仅当时,函数取得最小值-1D.当且仅当时,【答案】ABC【分析】画出函数的图像,根据图像判断出结论不正确的选项.【详解】画出函数的图像如下图所示,由图像容易看出:该函数的值域是;当且仅当或,时,函数取得最大值1;当且仅当,时,函数取得最小值;当且仅当,时,,可知A,B,C不正确.故选ABC.【点睛】本小题主要考查利用三角函数图像研究三角函数的性质,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.12.已知函数f(x)=(x∈R)的值域为[m,+∞),则实数a与实数m的取值可能为( )A.a=0,m=0 B.a=1,m=1C.a=3,m=3 D.a=,m=【答案】ABD【分析】先推出函数的单调性,采用换元法,将化为,结合各选项判断其单调性,确定函数值域,即可判断出答案.【详解】先说明函数时的单调性;任取 且 ,则 ,当 ,且,∴,,∴,∴,∴函数 在 上是单调递减的;同理可证函数 在上是单调递增的;由题意得函数,设 ,则 ,当时,在上单调递增,时,,故, ,A正确;当时,在上单调递增,时,,故, ,B正确;当时,在上单调递减,在上单调递增,时,,即,,C错误.当时,在上单调递增,时,故,,D正确;故选:ABD 三、填空题13.的值是_________.【答案】【分析】直接进行对数和分数指数幂的运算即可.【详解】原式,故答案为:.【点睛】本题主要考查对数的运算性质,分数指数幂的运算,属于基础题.14.已知cos(45°+α)=,则cos(135°-α)=________.【答案】-【分析】由诱导公式直接可得.【详解】因为,所以.故答案为:15.已知集合,且,则实数a的取值范围为________.【答案】【分析】根据补集的概念,求出,再由,即可得出结果.【详解】因为,所以或,又,,所以只需,即实数的取值范围为.故答案为:16.已知函数在区间,上恒有则实数的取值范围是_____.【答案】【分析】根据对数函数的图象和性质可得,函数f(x)=loga(2x﹣a)在区间[]上恒有f(x)>0,即,或,分别解不等式组,可得答案.【详解】若函数f(x)=loga(2x﹣a)在区间[]上恒有f(x)>0,则,或当时,解得<a<1,当时,不等式无解.综上实数的取值范围是(,1)故答案为(,1).【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性,及不等式的解法,其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键,属于中档题. 四、解答题17.已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ.【答案】当x=1时,sin θ=,tan θ=3;当x=-1时,此时sin θ=,tan θ=-3.【分析】利用三角函数的定义求出x=±1,根据x的值以及三角函数的定义即可求解.【详解】由题意知r=|OP|=,由三角函数定义得cos θ==.又∵cos θ=x,∴=x.∵x≠0,∴x=±1.当x=1时,P(1,3),此时sin θ==,tan θ==3.当x=-1时,P(-1,3),此时sin θ==,tan θ==-3.【点睛】本题考查了三角函数的定义,掌握定义是解题的关键,同时考查了基本运算求解能力,属于基础题.18.(1)已知,求;(2)求函数,的单调区间.【答案】(1);(2)增区间为,;减区间为.【分析】(1)根据,,三者的关系可知一求二;(2)根据正弦型函数的单调性,求解即可.【详解】(1),,则,所以θ在第二象限,则,又,则.(2)函数,令,解得,又,所以的增区间为,;令,解得,又,所以的减区间为.19.函数是定义在上的奇函数,且.(1)确定函数的解析式;(2)用定义证明在上是增函数.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)由函数是定义在上的奇函数,则,解得的值,再根据,解得的值从而求得的解析式; (2)设,化简可得,然后再利用函数的单调性定义即可得到结果.【详解】解:(1)依题意得∴∴∴(2)证明:任取,∴∵,∴,,,由知,,∴.∴.∴在上单调递增.20.已知函数,其中均为实数.(1)若函数的图象经过点,,求函数的值域;(2)如果函数的定义域和值域都是,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由题意先求得、的值,可得函数的解析式,利用指数函数的性质求得函数的值域.(2)根据函数的定义域和值域都是,求得、的值,可得的值.【详解】解:(1)函数的图象经过点,所以,解得,所以因为,,即,所以故的值域为(2)利用指数函数的单调性建立关于的方程组求解.当时,函数在上为增函数,由题意得,解得,当时,函数在上为减函数,由题意得,解得,综上:【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,指数函数的单调性的应用,属于基础题.21.已知函数.(1)求,的值;(2)设,试比较、的大小,并说明理由;(3)若不等式对一切恒成立,求实数的最大值.【答案】(1),;(2);详见解析(3).【分析】(1)根据函数解析式,代入即可求值.(2)根据函数解析式,利用作差法即可比较、的大小.(3)将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数的最大值.【详解】(1)因为函数所以(2),理由如下:因为则因为,则,,所以,即,所以即(3)因为函数则代入不等式可化为化简可得,即因为对于一切恒成立所以当时,二次函数取得最小值,即所以实数的最大值为【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题.22.近年来,中美贸易摩擦不断,美国对我国华为百般刁难,并拉拢欧美一些国家抵制华为,然而这并没有让华为却步.今年,我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力,计划在2020年利用新技术生产某款新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万元,每生产千部手机,需另投入成本万元,且,由市场调研知,每部手机的售价为0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2020年的利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本).(2)2020年产量为多少时,企业所获利润最大?最大利润是多少.【答案】(1);(2)2020年产量为100千部时,企业所获得利润最大,最大利润为9000万元. 【分析】(1)根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本,分段求出利润关于的解析式;(2)根据(1)求出利润的函数解析式,分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值,即可得到结论.【详解】(1)解:由题意可知,2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本,当时,当时,,所以.(2)当时,,此时函数开口向上的抛物线,且对称轴为,所以当时,(万元);当时,,因为,当且仅当即时,等号成立,即当时,(万元),综上可得,当时,取得最大值为(万元),即2020年产量为100千部时,企业获利最大,最大利润为9000万元.
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