2021-2022学年广东省深圳外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省深圳外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳外国语学校高一上学期期中数学试题 一、单选题1．若全集且,则集合的真子集共有(    )A．3个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【分析】先算出集合，再根据子集计算公式算出子集个数减去1即可【详解】因为,所以 所以集合的真子集共有故选：C2．根式（式中）的分数指数幂形式为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可.【详解】解：.故选：A.【点睛】本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题.3．已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（    ）A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数C．是偶函数 D．是奇函数【答案】B【分析】根据幂函数的图象过求得其解析式，然后逐项判断.【详解】设幂函数f（x）＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点 ，所以，解得，所以，所以y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A错误；B正确，因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，故选：B．4．下列幂函数中，定义域为R且为偶函数是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数解析式，判断函数的定义域，并根据偶函数定义，来判断函数是否满足，一一判断即可.【详解】对于A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误；对于B，函数为奇函数，不符合，故B错误；对于C，函数为奇函数，不符合，故C错误；对于D，函数的定义域为R，满足偶函数定义，故D正确.故选：D.5．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的范围求得的范围，此范围即为中的范围，从而可得所求定义域．【详解】函数的定义域是，则对于函数,有 ，所以；于是对于函数,有；所以对于函数，有，解得，所以函数的定义域是.故选：A．6．若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性判断a，b，c的大小关系即可.【详解】由指数函数单调性知， ，即又，即，故，故选：A.7．已知,且,那么等于(    )A．16 B．－16 C．－24 D．－32【答案】D【分析】把原函数写成一个奇函数加常数的形式，然后利用奇函数的性质获解【详解】设,则所以因为所以所以,即故选：D8．设奇函数对任意的（），有，且，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得当时，，当时，，当时，，当时，，进而解即可得答案.【详解】解：因为函数对任意的（），有，所以函数在区间上单调递减，因为函数为奇函数，，所以，所以当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以或，解得：或，所以的解集为.故选：D 二、多选题9．“”的一个必要不充分条件可以是（       ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】解不等式，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】由，解得，，，，.则它的一个必要不充分条件可以是或．故选：AD．10．下列说法正确的有（    ）A．函数在其定义域内是减函数B．命题“”的否定是“”C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件D．若为R上的奇函数，则为R上的偶函数【答案】BD【分析】直接结合函数的定义域，利用函数的单调性和奇偶性判断AD的正误，利用命题的否定判断B的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断C的正误.【详解】选项A中，函数定义域是，如图所示，函数在定义域内不是连续的，在上是减函数，在上是减函数，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B中，根据含有一个量词的命题的否定可知，命题“”的否定是是“”，故正确；选项C中，“两个三角形全等”，可推出“两个三角形相似”，反过来，“两个三角形相似”推不出“两个三角形全等”，故“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的 充分不必要条件，故错误；选项D中，若为奇函数，则满足，故函数中，，故是偶函数，故正确.故选：BD.11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AC【分析】由题知二次函数的开口方向向上且，再依次分析各选项即可．【详解】解：关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；方程的两根为、，由韦达定理得，解得．对于B， ，由于，所以，所以不等式的解集为，故B不正确；对于C，由B的分析过程可知所以 或，所以不等式的解集为或，故C正确；对于D，，故D不正确．故选：AC．12．下列结论正确的是（    ）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5D．设，，且，则的最小值是【答案】AD【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．【详解】解：时，，当且仅当时取等号，正确；当时，，没有最小值，错误；当时，，有最大值，没有最小值， 错误；，，，则，当且仅当且即，时取等号，故选：AD． 三、填空题13．设函数则当________时，.【答案】1或4【分析】分段讨论根据函数值即可求出.【详解】若，则，解得，不满足；若，则，解得，；若，则，解得，满足，综上，或4.故答案为：1或4.14．函数的单调增区间是___________.【答案】【分析】根据复合函数的单调性法则，指数函数，二次函数的性质即可求出．【详解】设，函数的单调减区间是，增区间是，而函数在上递减，根据复合函数的单调性法则可知，函数的单调增区间是．故答案为：．15．关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可【详解】若,得,符合题意若,由题知,解得综上实数的取值范围是故答案为：16．若函数在R上为增函数，则实数b的取值范围为________.【答案】【详解】在为增函数；∴，解得；∴实数的取值范围是，故答案为. 四、解答题17．已知集合．(1)求(2)若,求的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据集合交并补定义计算即可；（2）分和讨论即可.【详解】(1)由题知.所以..(2)若,则,即,符合题意，若,则,解得.综上,的取值范围为.18．已知幂函数(，)在区间上单调递减.（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用幂函数的定义及性质结合已知条件列式计算即得；(2)构造函数，再求出函数在指定区间上的最小值即可得解.【详解】（1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得又，，则，此时，，即，所以的解析式是；（2）由(1)得，于是得不等式在上恒成立，令，由(当且仅当，即时等号成立)，即，所以实数的取值范围是.19．已知函数 ，.(1)求的值；(2)试判断并证明函数的奇偶性；(3)试判断并证明函数在区间上的单调性并求的值域．【答案】(1),； (2)偶函数；（3）.【详解】试题分析：（1）列方程组解出；（2）求出f（-x），判断与f（x）的关系；（3）利用函数单调性定义证明，得出函数的单调性，根据单调性求出最值．试题解析：(1)因为所以;(2)由（1）知的定义域为，因为所以为偶函数；（3）对任意，则 ==，则所以在区间上为增函数，又为偶函数，所以在区间上是减函数，所以的最小值为=2 ,所以值域为.20．已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知(1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式∶(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.【答案】(1)(2)32万件，6104万元 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论【详解】(1)解：利用利润等于收入减去成本，可得当时，；当时，.；(2)解：当时，，时，；当时，，当且仅当，即时，，，时，的最大值为6104万元，即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数的解析式；（2）函数，当时，求函数的最小值．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）根据函数的奇偶性来求得的解析式.（2）先求得的解析式，对进行分类讨论，由此求得的最小值.【详解】（1）函数是定义在R上的奇函数，当时，此时，，又当时，，，，函数的解析式为：．（2）函数，二次函数对称轴为：，当时，即时，，当时，即时，，当时，即时，，综上，当时，，当时，，当时，.22．已知函数对任意的实数都有，且当时，有．(1)求证：在上为增函数；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设，令，，可整理得到，由此可得结论；（2）将恒成立的不等式化为，令可求得，利用单调性可得，令，由二次函数最值求法可求得的取值范围.【详解】(1)设，令，，，则；，，，在上为增函数.(2)由题意得：，，令，则，解得：，为上的增函数，，，令，设，，，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数单调性的证明、函数不等式恒成立问题；求解恒成立问题的关键是能够利用函数单调性将恒成立的不等式转化为自变量大小关系，进而可采用分离变量的方法求得变量的取值范围.