2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中数学试题

这是一份2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中数学试题，共16页。试卷主要包含了 若，则的值为， 若，且，则的值为， 设计如图所示的四个电路图，等内容，欢迎下载使用。
金坛区2021年秋学期期中教学质量调研高一数学试题注意事项：1.本试题由选择题､填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的校名､班级､姓名､学号填写在答题纸上规定的地方.3.所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位烈无效.一､单项选择题（本题共8小题，每题5分共40分，每题四个选项中，只有一项是正确的）1. 设全集.集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】由已知可得，因此，.故选：D.2. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得出，即可解得实数的取值范围.【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得.故选：B.3. 若、都是正实数，则“”是“”（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为、都是正实数，若，取，，则，即“”“”；若，由基本不等式可得，即“”“”.因此，“”是“” 必要不充分条件.故选：B.4. 若，则的值为（    ）A.  B.  C. 1 D. 7【答案】C【解析】【分析】利用根式的性质可求的值.【详解】,故选：C.5. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】结合图象可知，分段函数为减函数，则两段函数都递减，且第一段的右端点不在第二段左端点的下方，然后可得.【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得.故选：A6. 若，且，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.【详解】由题设，，即，又，且，所以.故选：A.7. 已知集合，若则实数的取值集合为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】分析】由知，然后对讨论可得.【详解】当时，集合B为空集，显然满足题意，故排除A、B；当时，集合，集合，则有，或，即或.故选：C8. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式可得出的范围，由已知可得，取交集可得的取值集合，分析可知为的取值集合的子集，即可得解.【详解】由可得，因为，则，解得或，若“，”为假命题，则，因为或，由题意可知，.故选：D.二､多项选择题（本题共4小恩，每题5分共20分，每题四个选项中，有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知集合，则下列说法中正确的是（    ）A. 但B. 若，其中，则C. 若，其中，则D. 若，其中，则【答案】BC【解析】【分析】A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误.【详解】，故，，所以，A错误；，其中，，故，B正确；，其中，，故，C正确；因为，若，此时无意义，故，D错误.故选：BC10. 设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.【详解】由题知，A中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，故A中是的充分而不必要条件；B中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中是的充要条件；C中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，故C中是的必要而不充分条件；D中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，故D中是的充要条件．故选：BD.11. 在下列命题中不正确的是（    ）A. 当时，则B. 当时，则C. 当时，函数的最小值是3D. 若，则，当且仅当时，等号成立【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式或反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，由基本不等式有，但，故等号不可取，故，故A正确.对于B，取，则，此时不成立，故B不正确.对于C，，因为，故，故等号不可取，故的最小值不是3，故C错误.对于D，，故，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BC.12. 已知函数（其中）.则以下命题正确的是（    ）A. 若函数的值域为，则B. 若函数有唯一零点，则C. 若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是D. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为3【答案】ABD【解析】【分析】化简函数，结合二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，若函数的值域为，可得，解得，所以A正确；若函数有唯一零点，可得，所以，所以B正确；由函数，可得函数在单调递增，要使得函数在区间上有且仅有一个零点，则满足，可得，即实数取值范围是，所以C不正确；由不等式恒成立，即不等式恒成立，因为，所以的最大值为，所以，所以的最小值为3，所以D正确.故选：ABD.三､填空题（本大题共4小题，每小还5分，共20分）13. 若，则称的数量级为，已知宇宙中某星球的质量为，且满足，则的数量级为__________.【答案】【解析】【分析】利用对数式与指数式的互化可得出，即可得出的数量级.【详解】因为，，，故的数量级为.故答案为：.14. 若，且，则的值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据等量关系得到，进而利用对数运算法则进行计算.详解】由题意得：，即，即，，则故答案为：215. 若实数满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由已知条件，应用基本不等式可得，即可求目标式的范围，注意等号成立条件.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，所以，可得.故答案为：16. 已知不等式的解集为，则实数的值为_______，函数的所有零点之和等于__________.【答案】    ①. ；    ②. .【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集及根与系数关系求参数a、b，再由根系关系求所有零点之和.【详解】由题设，易知：是的两个根，则，所以，对于，其所有零点之和为.故答案为：，.四､解答题：（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则，准确运算，即可求解；（2）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.【小问1详解】解：根据对数的运算法则，可得.【小问2详解】解：根据指数幂的运算公式，可得.18. 已知，且 ，，且或.（1）若，，求实数的值；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；    （2）或.【解析】【分析】（1）根据集合的运算可得出关于实数的等式组，由此可解得实数的值；（2）由题意可知，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为，或，且，，所以， ，解得.【小问2详解】解：因为是的充分不必要条件，则，则或，解得或.19. 求解下列问题：（1）若，且，求的最小值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用1的代换结合基本不等式可求最小值.（2）因为，故可利用基本不等式求目标代数式的最小值.小问1详解】因为，且，所以，则.当且仅当时，即时，也即时，上式取等号，故当时.【小问2详解】因为，且，所以，当且仅当时，又，所以当且仅当时，上式取等号，故当时，，20. 已知函数.（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围.【答案】（1）；    （2）；    （3）.【解析】【分析】（1）由偶函数性质可得都有成立，即可得的值；（2）（3）根据二次函数的性质，结合给定区间的单调性求参数范围即可.【小问1详解】因为定义在上的函数为偶函数所以对，都有成立，即对，都有成立，整理可得：都有成立，则，即所求实数的值为，【小问2详解】因为函数的对称轴为，①当时，即时，此时，二次函数在上递减②当时，即时，此时，二次函数在上递增，由①②知：要使函数在上具有单调性，则的取值范围为.【小问3详解】因为函数在上不具有单调性，则必有，解得,所以要使函数在上不具有单调性，则的取值范围为.21. 某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的㳖度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂的质量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？（2）如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放约剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.【答案】（1）21天    （2）【解析】【分析】小问1：当时，求出的表达式，自来水达到有效净化只需，讨论求解不等式即可；小问2：分析函数的单调性从而求得函数值域，根据最佳净化标准的要求，列不等式求解即可．【小问1详解】当时，，①当时，恒成立，即当时，自来水达到有效净化的标准；②当时，由，解得即当时，自来水达到有放净化的标准.由①②可知当时，自来水均能达到有效㓍化的标准也即自来水达到有效净化一共可持续21天，【小问2详解】因为从投放药齐第1天算起到第9天结束，所以③当时，，设，则，即则函数在区间上为增函数，故，即，④当时，，设则，即则函数在区间上为淢函数，故，即；由③④得又因为从投放药剂第1天算起到第9天结束，期间自来水要达到最佳浄化标准，所以必有.解得即应该投放的药剂质量的取值范围为22. 已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.（1）求及的值；（2）求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；    （2）证明见解析；    （3）.【解析】【分析】（1）在等式中，令可求得的值，令，结合可求得的值；（2）在等式中令可证得函数为奇函数，然后任取、，并且，根据函数单调性的定义可证得函数为上的增函数；（3）利用（2）中的结论将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为对任意的实数、，恒成立，所以在上式中令得，即，又在上式中令，得.又，.【小问2详解】证明：在等式中令得.即，且定义域为，则函数为奇函数.又由已知可得：当时，，任取、，并且，则，即，所以，即，则函数在区间上为增函数.【小问3详解】解：因为对任意的实数、，恒成立，令，则，即，又因为，所以，又由（2）知函数为上的奇函数，则，即，又因为，所以，又由（1）知，即，则，也即，又由（2）知函数为上的增函数，所以，即，解得或，故所求实数的取值范围为.