2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．在矩形中，，，则（       ）

A．5 B．6 C．8 D．10

【答案】D

【分析】只需用几何法直接求对角线的长度即可.

【详解】

由题意 ， ；

故选：D.

2．如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用平面向量基本定理，结合平面向量加法的运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.

【详解】因为，所以，

在中，，

所以，

故选：B

3．设，向量，，，若，则（       ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】利用向量的坐标公式计算即可.

【详解】向量，，，

，

，解得：.

则.

故选：C

4．设向量，，且，则向量与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】向量，，且，则, ,, ,设向量与的夹角为，则 ，，选D.

5．在△ABC中，，则△ABC的最小角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由小边对小角原理判断三边大小可知最小，求即可.

【详解】由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，

则cosC=，所以C=.

故选：B.

【点睛】本题考查由余弦定理求解最小角，属于基础题

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（       ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理得到，得出，进而，即可求解.

【详解】因为，由正弦定理可得，即，

又因为，

所以，即，

因为，所以，

所以，所以为钝角三角形.

故选：A.

7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解.

【详解】解：以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，，所以，，，设，，

则，，，

所以，

因为，所以，

所以的取值范围是，

故选：C.

8．已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可.

【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即，

，

，显然是锐角，

因为O为锐角三角形的外心，所以O在锐角三角形内部，

由圆的性质可知：，显然是锐角，

，或舍去，

故选：A

二、多选题

9．下列说法中错误的为（       ）

A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．若，则在方向上的投影向量的模为

D．非零向量和满足，则与的夹角为

【答案】ACD

【分析】对于A，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而可求出的取值范围，对于B，判断两个向量是否共线，对于C，由可得与可能同向，也可能反向，然后利用数量积的几何意义求解即可，对于D，由，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可求得结果

【详解】对于A，，，与的夹角为锐角，

，

且（时与的夹角为），所以且，故A错误；

对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；

对于C，若，当与反向时，则在方向上的投影为，故C错误；

对于D，因为，两边平方得，则，

，

故，而向量的夹角范围为，

得与的夹角为，故D项错误．

故选：ACD

10．等边三角形中，，，与交于F，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据向量线性运算，求得各选项的表达式，由此判断出正确选项.

【详解】如下图所示：

选项A：，为中点，，A正确；

选项B：，B正确；

选项C：,,由于三点共线，，故，设，由此可得，

，C正确；

选项D：，D错误.

故选：ABC.

11．已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则的面积是面积的

C．若，，则

D．若，，则当取得最小值时，

【答案】BCD

【分析】根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D．

【详解】因为的重心为G，所以，所以，A错；

，B正确；

，， 是等腰三角形，，

是锐角，，

，

，C正确；

设，，

，

所以时，取得最小值，

此时， D正确．

故选：BCD．

12．在的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，

C．若，则 D．若，则为锐角三角形

【答案】ABD

【分析】根据题目所给的条件，运用余弦定理以及基本不等式可以得出结论.

【详解】对于A， ，

由余弦定理（当且仅当 时等号成立），

 故A正确；

对于B， ， ，

由余弦定理 ，

当且仅当 时等号成立，故B正确；

对于C，依条件有 ， ，

由余弦定理 （当且仅当 时等号成立），故C错误；

对于D， ， ，

并且 ，由三角形大边对大角得 ,

由余弦定理 ，

角C是锐角，所以角A和角B也是锐角，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为_________．

【答案】

【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，向量与共线，

可得，即，可得，解得.

故答案为：.

14．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角的大小为_________．

【答案】

【分析】由正弦定理得，化简得到，进而求得的值，即可求解.

【详解】因为，可得的，

由正弦定理得，

因为，

化简得，

又因为，可得，所以，

又由，可得.

故答案为：.

15．在中，，，，若对任意的实数t，恒成立，则面积的最小值是_________

【答案】0.5

【分析】由对任意的实数t，恒成立，可得，根据向量的模长公式以及勾股定理，求出、，从而根据即可求解.

【详解】解：因为对任意的实数t，恒成立，

所以由向量减法的几何意义可知，点B到直线AC的最短距离为BC，

所以，

因为，，

所以，，

所以，

所以，即面积的最小值是，

故答案为：.

四、双空题

16．已知的外接圆圆心为O．且，，则_________，向量在向量上的投影向量的模长为_________

【答案】     ；     .

【分析】根据平面向量的加法运算性质，结合平面向量数量积的运算性质、投影向量的定义进行求解即可.

【详解】由，

所以点共线，因为的外接圆圆心为O．

所以是圆O的直径，故，

因为，所以，，

向量在向量上的投影向量的模长为：

，

故答案为：；

五、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求边c和的面积．

【答案】时，的面积是，时，的面积是．

【分析】利用余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【详解】∵，，，

∴，

∴，化为，解得或．

当时，∴S△ABC==．

当时，∴S△ABC==．

18．设向量

（1）若向量 与向量 平行，求 的值；       

（2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值.

【答案】（1）；（2）1或.

【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；

(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.

【详解】（1），   

向量 与向量 平行，

（2）因为 ， ，   

因为 与 互相垂直，所以 ，      

即 ，

，解得 或 .

19．如图，在中，点D是边上一点，

(1)求的大小；

(2)若的面积为，求边的长．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）运用余弦定理，结合诱导公式进行求解即可；

（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.

【详解】(1)，因为，

所以，

；

(2)由正弦定理可知：

，

因为的面积为，

所以，于是，

由余弦定理可知：

.

20．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记，已知在该坐标系下

(1)计算的大小

(2)求与的夹角大小

【答案】(1) ，

(2) .

【分析】题目给出的是非直角坐标系，与直角坐标系不同的是，当两向量垂直的时候，其数量积不为0；

（1）将向量 用基底 表示，按照模的运算法则即可；

（2）求出向量 的模，用向量夹角公式计算即可.

【详解】(1)依题意，

，

；

(2) ， ，

，

；

综上，，.

21．如图，在中，已知，，，点D是上一点，满足，点E是边上一点，满足

(1)当时，求

(2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由

【答案】(1)

(2)存在非零实数，使得

【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、，然后根据已知条件即可求解；

（2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和，

由求出值即可．

【详解】(1)解：当时，，，

、分别是，的中点，

，，

；

(2)解：假设存在非零实数，使得，

由，得，

；

又，

；

，解得或（不合题意，舍去），

所以存在非零实数，使得．

22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，C满足

(1)求证：A，B，C三点共线，并求和值．

(2)已知，，，若函数的最小值为，求实数m的值

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】(1) 化简得，进而可得的值；

（2）先求出，再换元利用二次函数的图像和性质求实数的值.

【详解】(1)由题意知，，即，

所以，则，为公共点，所以A，B，C三点共线，

则.

(2)易知，，，

则，，

所以，

令，

则，，其对称轴方程是.

当时，的最小值为，解得（舍）；

当时，的最小值为，解得（舍）；

当时，的最小值为，解得.

综上可知，实数的值为.