2021-2022学年江苏省苏州市张家港高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省苏州市张家港高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设，，下列各式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题主要考查元素与集合的关系，根据集合元素的特征即可作出判断.

【详解】因为集合，

∵，，∴,故选项B错误，选项C正确；

因为，所以,故选项A错误；

因为是集合，所以，故选项D错误，

故选：C.

2．已知集合仅有两个子集，则实数的取值构成的集合为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为集合仅有两个子集,可知集合仅有一个元素.对分类讨论,即可求得的值.

【详解】由集合仅有两个子集

可知集合仅有一个元素.

当时,可得方程的解为,此时集合,满足集合仅有两个子集

当时,方程有两个相等的实数根,则,解得或,代入可解得集合或.满足集合仅有两个子集

综上可知, 的取值构成的集合为

故选:B

【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.

3．下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；    ②与；

③与；    ④与

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.

【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；

②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；

③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；

④与是同一函数；

所以是同一函数的是③④.

故选：C.

4．若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ）

A．8，0 B．0， C．4，0 D．，

【答案】B

【分析】由题意可知，1是方程的根，代入可求，，然后结合二次函数的性质可求

【详解】解：的解集为，

，1是方程的根，

，

，，

则二次函数开口向下，对称轴，

在区间上，当时，函数取得最大值0，当时，函数取得最小值

故选：．

5．记实数、、、中的最大数为，最小数为，若，则函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意首先绘制出函数的图象，然后结合函数图象联立方程，即可求得函数的最大值．

【详解】在同一个平面相交坐标系中绘制函数，，的图象如下图所示，

结合题中的定义可知函数的图象为图中的实线部分所示，

联立直线方程，可得．

即函数的最大值为．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数最大值的求解，解题的关键在于理解的意义，利用数形结合思想进行求解.

6．若对于任意实数都有,则

A．3 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由对于任意实数都有，令得到的方程组，求出，由此能求出的值．

【详解】解：对于任意实数都有，

，

解得，

．

故选．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】正实数x,y满足，

则，

当且仅当取得最小值2.

由有解,可得，

解得m>2或m<−1.

本题选择C选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

8．已知函数在上是减函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．

【详解】若函数在上是减函数，

则，解得，

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数以及反比例函数的性质，考查分段函数的单调性问题，是一道基础题．

二、多选题

9．下列结论成立的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

【答案】CD

【分析】对于A，运用举反例的方法，可判断；

对于B，由只有不等式同向才有可加性可判断；

对于C，由，得，根据不等式的同向可加性可判断；

对于D，由，得，根据不等式的正数同向可乘性可判断.

【详解】对于A，取，，，此时，但，故A不成立；.

对于B，，，，得不出，故B不成立；

对于C，，，又，，故C成立；

对于D，，，，即，故D成立.

故选:CD.

【点睛】本题考查运用不等式的性质判断不等式是否成立，关键在运用不等式的性质时，需严格满足所需的条件，属于基础题.

10．命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据任意性的定义，结合充分不必要的定义进行求解即可.

【详解】，因为，所以，

所以该命题为真命题的充要条件是.

故其充分不必要条件对应的集合是的真子集，正确选项为CD.

故选：CD

11．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】分离常数，根据在区间上单调递增，可得，从而可得出选项.

【详解】，

在区间上单调递增，

，，

由在区间上单调递增，

.

故选：AC

12．下列命题正确的是（    ）

A．若，则的最小值为4

B．若，则的最小值为3

C．若，则的最大值为5

D．若，则的最大值为2

【答案】CD

【解析】对于A，由于，所以对变形后再利用基本不等式求最值判断即可；对于B，不满足基本不等式的条件；对于C，D利用基本不等式判断即可

【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当取等号，所以有最大值，所以A错误；

对于B，，而不成立，所以的最小值不等于3，而其最小值为，

对于C，由可知，得，当且仅当时取等号，的最大值为5，所以C正确；

对于D，由于，所以，即，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为2，

故选：CD

【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题

三、填空题

13．集合，用列举法表示_______________．

【答案】

【分析】本题从比值为整数且有的范围，则分析出为10的公因数，最后即可得出答案.

【详解】因为且，所以为10的公因数，所以或或，解得或或，

故答案为：.

14．若命题，，则命题p的否定为___________.

【答案】，.

【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】∵，，

∴命题p的否定为，.

故答案为：，.

15．已知函数的定义域为，函数，则的定义域为________．

【答案】

【解析】根据定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域．

【详解】由题意得，即定义域为

故答案为：

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题．

16．已知正实数a，b满足，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．

【详解】正实数a，b满足2a+b=3，

∴2a+b+2=5，

则=2a++=2a+b+2+﹣4

=1+=1+（）[2a+（b+2）]

=1+（4+）=，

当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，

即的最小值是．

故答案为

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误

四、解答题

17．解下列不等式：

(1)；

(2)

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法进行求解即可；

（2）根据分式的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】（1）由，可得，

即，解得：，

故原不等式的解集为；

（2）由，整理可得：，

等价于且，解得：，

故原不等式的解集为：.

18．设全集为R，集合，.

(1)若，求；

(2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)化简集合，根据补集与交集的定义，计算即可；

(2)选择①作为已知条件，根据得，再讨论和时，分别求出a的取值范围.(选择②、③的解法同①).

【详解】（1）因为，∴.

又，∴，∴.

（2）选择①，作为已知条件.

∵，∴，

又由得：

当时，，解得；

当时，或，

∴或，∴或.

综上，可得a的取值范围为.

选择②，作为已知条件，∵，∴，

又由得：

当时，，解得；

当时，或，

∴或，∴或.

综上，可得a的取值范围为.

选择③，作为已知条件，∵，∴，

又由得：

当时，，解得；

当时，或，

∴或，∴或.

综上，可得a的取值范围为.

19．已知恒成立.

(1)求a的取值范围；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据二次项系数是否为零，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可；

（2）根据一元二次方程两根的大小分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）因为恒成立，

①当时，恒成立；

②当时，要使恒成立.则且，

即，解得：.

综上，a的取值范围为：；

（2）由，得.

因为：，

①当，即时，则；

②当，即时，，不等式无解；

③当，即时，则.

综上所述，当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为.

20．已知定义域为的函数.

(1)判断函数的单调性，并证明；

(2)解不等式.

【答案】(1)函数在区间上为增函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）在定义域内任取，，且，化简，与零比较大小，确定和的大小，对函数的单调性下结论.

（2）利用函数的单调性解不等式.

【详解】（1）函数在区间上为增函数，

证明：设，

则，

又由，则，，

则有，故在上为增函数.

（2）由，则，

由（1）知在上为增函数，则，

解可得：，故不等式的解集为.

21．已知二次函数满足，且．

求函数的解析式

令，

若函数在区间上不是单调函数，求实数m的取值范围

求函数在区间的最小值．

【答案】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①. ②见解析

【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．

（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，

①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；

②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．

【详解】由已知令；

（1）

  又

.

（2）①=其对称轴为

在上不单调，，.

②当，即时，

当，即时，

当，即时，,

综上， .

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

22．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态果园特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元），已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)投入的肥料费用为30元时，最大利润是270元.

【分析】（1）直接由已知求出的函数关系式即可；

（2）当时，由二次函数的性质求出最大值；当时，由基本不等式求出最大值，两者比较即可求解.

【详解】（1）由题意知，，即；

（2）由（1）知，当时，，易得在上单减，在上单增，

又，故在上的最大值为240；

当时，，

又，当且仅当即时取等，故当时，取得最大值270；

综上可得，当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.